2. БАЙЕСОВСКИЕ СЕТИ КАК ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЕ

СРЕДСТВО РАЗРАБОТКИ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ

1. Байесовские сети доверия

2.1.1. Основные понятия и определения

Байесовские сети доверия (Bayesian Belief Network) — это направленный анали-тический граф, обладающий следующими свойствами:

• каждая вершина представляет случайную величину, которая может иметь несколько состояний;

• все вершины, связанные с «родительскими» определяются таблицей условных вероятностей (ТУВ) или функцией условных вероятностей (ФУВ);

• для вершин без «родителей» вероятности её состояний являются безусловным (мар-гинальными).

Другими словами, в байесовской сети доверия вершины представляют случайные переменные, а дуги – вероятностные зависимости, которые определяются через таблицы условных вероятностей. Таблица условных вероятностей каждой вершины содержит вероятности состояний этой вершины при условии состояний её «родителей».

Байесовские сети доверия используются в тех областях, которые характеризуются наследованной неопределённостью. Эта неопределённость может возникать в следствие неполного понимания предметной области, неполных знаний и когда задача характеризуется случайностью.

Таким образом, байесовские сети доверия применяют для моделирования ситуаций, содержащих неопределённость в некотором смысле. Для байесовских сетей доверия иногда используется ещё одно название причинно-следственная сеть, в которых случайные события соединены причинно-следственными связями.

Соединения методом причин и следствий позволяют более просто оценивать вероятности событий. В реальном мире оценивание наиболее часто делается в направлении от «наблюдателя» к «наблюдателю», или от «эффекта» к «следствию», которое в общем случае более сложно оценить, чем направление «следствие

эффект», то есть в направлении от следствия.

Если две вершины сети соединены дугой, то подразумевается, что нам известны условные вероятности состояний вершины(наследника), в которую входит данная дуга, при определённом состоянии вершины(родителя), из которой данная дуга исходит. Когда вершина имеет несколько родителей, то задаются условные вероятности состояния вершины - наследникапри определённой комбинации сос-тояний вершин-родителей.

Вероятности состояний каждой вершины рассчитываются по формуле полной вероятности:

_m

P( c_k ) = ∑ p(c_k | Aj) ∙ P(Aj) (2.1)

^{j = 1}

где

Aj = a_{1 xj} ∩ a_{2 xj} ∩…∩ a_{N xj} - j-ое сочетание состояний родительских вершин-шансов;

m - количество таких сочетаний;

N - число вершин-родителейвершины С;

p(c_k | Aj ) - значение из таблицыусловных вероятностей вершины С, соответствую-щее j-ому сочетанию состояний вершин - родителей.

Расчёт может проводится и в обратном ориентации дуг направлении. Так , если вер-

шина A - родительская для C, то вероятности её состояний при изменившихся вероят-ностях состояний наследника вычисляются по формуле полной вероятности следую-щим образом:

_m

P( a_k ) = ∑ p(a_k | c j) ∙ P(c j) , гдеa _k иc _j - состояния этих вершин.

^{j = 1}

Условные вероятности p(a_k | c j) рассчитываются по формуле Байеса:

_n

p(a_k | c j) = p(c _j | a _k) ∙ P(a _k) / ∑ p(c _i | a _k) ∙ P(a _k) , где

^{i = 1}

p(c _j | a _k) - вероятности из ТУВ, P(a _k) - априорная вероятность состоянияa _k .

Формула Байеса для расчёта апостериорных вероятностей в общем случае:

_m

p( h_k | E) = p(E | h _k) ∙ P(h _k) / ∑ p(E | h _k) ∙ P(h _k) (2.2)

^{i = 1}

где

h_i - i -ое состояние исследуемой вершины, вероятность которого рассчи-

тывается;

m - число состояний вершины Н;

E - набор поступивших свидетельств:E = e_{1 x} ∩ e_{2 x} ∩…∩ e_{n x}.

С поступлением новой информации(свидетельств) о состояниях некоторых вершин производится пересчёт вероятностей состояний остальных вершин по приведённым выше формулам.

Рассмотрим пример сети (рис 2.1) в которой вероятность вершины «e» зависит от

вершин «c» и «d» и определяется выражением (2.1):

где p(e_k c_i , d_j) – вероятность пребывания в состоянииe_k в зависимости от состояний c_i , d_j.

Так как события, представленные вершинами «c» и «d» независимы, то

p(c_i , d_j) = p(c_i)  p(d_j).

Рис. 2.1. БСД 1.

Рассмотрим более сложный пример сети (рис. 2.2) :

Рис. 2.2. БСД 2.

Данный рисунок иллюстрирует условную независимость. Для оценки вершин «c» и «d» используются выражения, аналогичные приведённым выше для вычисленияp(e_k), тогда в соответствии с (2.1) :