ДКР по теории вероятности - 3

раметрами µ = 0,00331 и σ 2 = 0,05132 = 0,00263. Поэтому

нормальных случайных величин, также является нормальной, причём X N 3 · 0,00331; 3 · 0,05132 . Следовательно

Ответ: 0,544.

§3. Центральная предельная теорема (ЦПТ)

В теории вероятностей центральными предельными теоремами называют теоремы, которые формулируются приблизительно следующим образом:

Распределение большого числа независимых случайных величин при весьма общих условиях близко к нормальному распределению.

Наиболее известной является так называемая ЦПТ для одинаково распределенных слагаемых:

Для бесконечной последовательности одинаково распределенных случайных величин X1,X2 ,... ,, для которых существует математическое ожидание µ = E (Xi ) и дисперсия σ 2 = D (Xi ), функции распределения нормированных

частичных сумм

стремятся при n → ∞ к функции распределения нормального закона с параметрами 0 и 1:

Их этой теоремы следует, что для промежутка любого вида предел вероятности попадания нормированной

где Φ(x) – функция Лапласа.

Пример 23. Для независимых случайных величин X1 ,X2 ,... ,

принимающих с равной вероятностью значения 1, 4 и 7,

√

найдите предел LIM P (X1 + ... + Xn < 4n + n).

n→∞

Решение. Сначала найдем математическое ожидание E (Xi ) и дисперсию D (Xi ): E (Xi ) = 4, D (Xi ) = 6. Тогда искомый предел равен

Ответ: 0,65845.

20

Пример 24. Для независимых, распределенных по геомет-

рическому закону случайных величин X ,X ,..., найдите

√ 1 2

предел LIM P (X1 + ... + Xn > 6n + 3n), если известно, что

n→∞

E (Xi ) = 6.

Решение. Для случайной величины Xi , распределенной по геометрическому закону, дисперсия равна 30. Следовательно, искомый предел равен

Ответ: 0,37591.

Пример 25. Для независимых случайных величин X1,X2 ,..., равномерно распределенных на отрезке [3,12], найдите

Решение. Для равномерно распределенной на отрезке [3,12] случайной величины Xi математическое ожидание и дисперсия соответственно равны 152 и 274 . Поэтому искомый предел равен

Ответ: 0,35016.

Требования к оформлению домашней контрольной работы

Порядок записи решений задач повторяет порядок условий в варианте контрольной работы.

Перед решением указывается порядковый номер задачи, условие не переписывается.

Номер задачи выделяется маркером или иным образом. В конце решения приводится ответ по форме: «Ответ:. . . ».

Как правило, ответ записывается как десятичная дробь или целое. Допускается также запись в виде

несократимой дроби, если такая запись содержит не

более 5 символов (например: 3611 ). Ошибка округления в ответе не должна превосходить 0,1%.

Если задача не решена, после ее номера ставится прочерк.

Решения, которые содержат грубые ошибки (отрицательная дисперсия, вероятность больше 1, . . . ), считаются неправильными.

Неправильное решение, решение задачи из другого варианта или задачи с измененным условием, отсутствие решения или ответа приводит к минимальной оценке задачи (0 баллов).

Отсутствие обоснования при правильном решении влечет снижение оценки на 2 балла.

Неправильный ответ (в том числе из-за ошибок округления) при правильном решении снижает оценку.

Оценка также снижается за плохое оформление работы (зачеркнутый текст, вставки, . . . ).

Вариант № 3-01

3.Для нормальной случайной величины X c математическим ожиданием E (X ) = 15 и дисперсией D (X ) = 16 найдите вероятность P(X > 10, 2).

4.Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой

недели, n > 1. Известно, что отношения цен

σ = 0, 0671. Найдите вероятность того, что цена акции будет расти подряд две недели.

5.Для независимых, распределенных по геометрическому закону случайных величин X1, X2, . . ..

найдите предел

√

LIM P (X1 + . . . + Xn > 8n + 3n),

n→∞

если известно, что E (Xi) = 8.

Вариант № 3-02

1.Функция плотности вероятности случайной величины X имеет вид

2. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−5, 4]. Найдите E e4X .

3.Случайная величина X распределена по пока-

зательному закону. Найдите математическое ожидание E {(X + 3)2}, если дисперсия D (X ) = 100.

4.Пусть S(n) – цена акции в конце n-ой недели, n > 1. Найдите вероятность того, что цена акции в конце третьей недели будет выше, чем в

конце первой недели, если известно, что отно-

S(n) >

шения цен S(n−1) , n 1, являются независимыми случайными величинами, которые распределены логнормально с параметрами µ = 0, 00143

и σ = 0, 0435.

5.Для независимых случайных величин X1, X2, . . ., равномерно распределенных на отрезке [1, 7], найдите предел

LIM P (X1 + . . . + Xn > 4n + 2).

n→∞

Вариант № 3-03

1.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

2.Случайная величина X равномерно распределе-

2

на на отрезке [0, 1]. Найдите дисперсию D 5X 5 .

3.Для нормальной случайной величины X c математическим ожиданием E (X ) = 10 и дисперсией D (X ) = 4 найдите вероятность P(X < 12, 2).

4.Пусть S(n) – цена акции к концу n-ой недели,

S(n)

n > 1. Известно, что отношения цен S(n−1) , n > 1, являются независимыми случайными величинами, которые распределены логнормально с параметрами µ = 0, 0013 и σ = 0, 0468. Найдите вероятность того, что за три недели цена акции вырастет более, чем на 2%.

5.Для независимых случайных величин X1, X2, . . ., равномерно распределенных на отрезке [1, 10], найдите предел

Вариант № 3-04

1.Случайная величина X имеет плотность веро-

ятности f (x). Найдите плотность вероятности g(x) случайной величины Y = X 3.

2.Случайная величина X равномерно распределе-

3.Для нормальной случайной величины X c математическим ожиданием E (X ) = 0, 7 и дисперсией D (X ) = 49 найдите вероятность P (|X | > 4, 9).

4.Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой

недели, n > 1. Предполагая, что отношения цен

S(n) >

S(n−1) , n 1, являются независимыми случайными величинами, распределенными логнормально с параметрами µ = 0, 00236 и σ = 0, 0599, найдите вероятность того, что цена акции в конце четвертой недели будет выше, чем в конце первой недели.

5.Для независимых, распределенных по геометрическому закону случайных величин X1, X2, . . .

найдите предел

→∞

если известно, что E (Xi) = 9.

Вариант № 3-05

1. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−2, 9]. Найдите вероятность

PX −2 < 6 .

2.Случайная величина X равномерно распределе-

1

7

на на отрезке [0, 1]. Найдите дисперсию D 4X 4 .

3.Случайные величины X1, . . ., X10 независимы и распределены по показательному закону. Най-

= E (X10) = 3.

4.Пусть S(n) – цена акции в конце n-ой недели, n > 1. Найдите вероятность того, что цена акции в конце третьей недели будет выше, чем в конце первой недели, если известно, что отно-

S(n) >

шения цен S(n−1) , n 1, являются независимыми случайными величинами, которые распределены логнормально с параметрами µ = 0, 00446

и σ = 0, 0858.

5.Для независимых, распределенных по показательному закону случайных величин X1, X2, . . .

найдите предел

√

LIM P (X1 + . . . + Xn > 4n − 2n),

n→∞

если известно, что E (Xi) = 4.

Вариант № 3-06

1.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

2.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−1, 5]. Найдите E (e4X ).

3.Случайная величина X имеет нормальное рас-

пределение с параметрами E (X ) = 40 и D (X ) = σ 2. Найдите вероятность попадания X в интервал (40 − 2σ , 40).

4. Пусть S(n) – цена акции к концу n-ой недели,

S(n)

n > 1. Известно, что отношения цен S(n−1) , n > 1, являются независимыми случайными величинами, которые распределены логнормально с параметрами µ = 0, 0019 и σ = 0, 0785. Найдите вероятность того, что за три недели цена акции вырастет более, чем на 6%.

5.Для независимых случайных величин X1, X2, . . ., распределенных по биномиальному закону с параметрами n = 4 и p = 23 , найдите предел

Вариант № 3-07

1.Распределение случайной величины X задано плотностью вероятности f (x). Найдите плотность вероятности g(x) случайной величины Y = 8 −7X .

2.Случайная величина X равномерно распределе-

7

на на отрезке [0, 1]. Найдите дисперсию D 5X 5 .

3.Для нормальной случайной величины X c математическим ожиданием E (X ) = 29 и дисперсией D (X ) = 64 найдите вероятность

P (26, 6 < X < 34, 6).

4.Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой

недели, n > 1. Известно, что отношения цен

σ = 0, 0641. Найдите вероятность того, что цена акции будет расти подряд три недели.

5.Для независимых, распределенных по показательному закону случайных величин X1, X2, . . .

найдите предел

n→∞

если известно, что E (Xi) = 5.

Вариант № 3-08

1.Случайная величина X имеет плотность веро-

ятности f (x). Найдите плотность вероятности g(x) случайной величины Y = X 7.

2.Случайная величина X равномерно распределе-

3.Для нормальной случайной величины X известно, что математическое ожидание E (X ) = 20, 3 и вероятность P (X < 41) = 0, 98928. Найдите дисперсию D (X ).

4.Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой

недели, n > 1. Предполагая, что отношения цен

S(n) >

S(n−1) , n 1, являются независимыми случайными величинами, распределенными логнормально с параметрами µ = 0, 00211 и σ = 0, 0475, найдите вероятность того, что цена акции в конце четвертой недели будет выше, чем в конце первой недели.

5.Для независимых, распределенных по геометрическому закону случайных величин X1, X2, . . .

найдите предел

√

LIM P (X1 + . . . + Xn < 9n + 2n),

n→∞

если известно, что E (Xi) = 9.

Вариант № 3-09

1. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−9, 18]. Найдите вероятность

P X −9 < 3 .

2.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−2, 1]. Найдите E (e5X ).

3.Для нормальной случайной величины X известно, что дисперсия D (X ) = 81 и вероятность P(X < 54) = 0, 61791. Найдите математическое ожидание m = E (X ).

4.Пусть S(n) – цена акции в конце n-ой недели, n > 1. Найдите вероятность того, что цена ак-

ции в конце третьей недели будет выше, чем в конце первой недели, если известно, что отно-1

S(n) >

шения цен S(n−1) , n 1, являются независимыми случайными величинами, которые распределены логнормально с параметрами µ = 0, 00266

и σ = 0, 0707.

5.Для независимых, распределенных по закону Пуассона случайных величин X1, X2, . . . найдите предел

√

LIM P (X1 + . . . + Xn < 5n + 3n),

n→∞

если известно, что E (Xi) = 5.

Вариант № 3-10

1.Распределение случайной величины X задано плотностью вероятности f (x). Найдите плотность вероятности g(x) случайной величины Y = 9 −4X .

2.Случайная величина X равномерно распределе-

3

на на отрезке [0, 1]. Найдите дисперсию D 4X 4 .

3. Математические ожидания и дисперсии неза-

4. Пусть S(n) – цена акции к концу n-ой недели,

S(n)

n > 1. Известно, что отношения цен S(n−1) , n > 1, являются независимыми случайными величинами, которые распределены логнормально с параметрами µ = 0, 00132 и σ = 0, 0589. Найдите вероятность того, что за три недели цена акции вырастет более, чем на 4%.

5.Для независимых, распределенных по геометрическому закону случайных величин X1, X2, . . .

найдите предел

√

LIM P (X1 + . . . + Xn < 8n − 2n),

n→∞

если известно, что E (Xi) = 8.

Вариант № 3-11

1.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

3 x2, если |x| 6 a,

f (x) = 2

0, если |x| > a.

Найдите a и P |X | > a5 .

2.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−3, 4]. Найдите E (e4X ).

3.Случайные величины X1, . . ., X8 независимы и распределены по показательному закону. Найдите

E {(X1 + . . . + X8 − 3)2}, если E (X1) = . . . = E (X8) = 3.

4.Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой

недели, n > 1. Предполагая, что отношения цен

S(n) >

S(n−1) , n 1, являются независимыми случайными величинами, распределенными логнормально с параметрами µ = 0, 00353 и σ = 0, 0696, найдите вероятность того, что цена акции в конце четвертой недели будет выше, чем в конце первой недели.

5.Для независимых, распределенных по закону Пуассона случайных величин X1, X2, . . . найдите предел

√

LIM P (X1 + . . . + Xn > 6n + 2n),

n→∞

если известно, что E (Xi) = 6.

Вариант № 3-12

1.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

4. Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой недели, n > 1. Известно, что отношения цен

σ = 0, 0547. Найдите вероятность того, что цена акции будет расти подряд три недели.

5.Для независимых случайных величин X1, X2, . . ., распределенных по биномиальному закону с параметрами n = 7 и p = 12 , найдите предел

Вариант № 3-13

1. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−3, 6]. Найдите вероятность

PX −3 > 5 .

2.Случайная величина X равномерно распределе-

1

7

на на отрезке [0, 1]. Найдите дисперсию D 6X 6 .

3.Для нормальной случайной величины X c математическим ожиданием E (X ) = 17 и дисперсией D (X ) = 16 найдите вероятность

P (15, 8 < X < 21, 8).

4.Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой

недели, n > 1. Предполагая, что отношения цен

S(n) >

S(n−1) , n 1, являются независимыми случайными величинами, распределенными логнормально с параметрами µ = 0, 0025 и σ = 0, 0565, найдите вероятность того, что цена акции в конце четвертой недели будет выше, чем в конце первой недели.

5.Для независимых, распределенных по закону Пуассона случайных величин X1, X2, . . . найдите предел

→∞

если известно, что E (Xi) = 4.

Вариант № 3-14

1.Функция плотности вероятности случайной величины X имеет вид

Найдите константу C и вероятность P (X < 5).

2.Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [−1, 5]. Найдите E (e2X ).

3.Случайная величина X распределена по пока-

зательному закону. Найдите математическое ожидание E {(X + 4)2}, если дисперсия D (X ) = 100.

4.Пусть S(n) обозначает цену акции к концу n-ой

недели, n > 1. Известно, что отношения цен

σ = 0, 0544. Найдите вероятность того, что цена акции будет расти подряд две недели.

5.Для независимых случайных величин X1, X2, . . ., распределенных по биномиальному закону с параметрами n = 5 и p = 12 , найдите предел

Вариант № 3-15

3.Для нормальной случайной величины X c математическим ожиданием E (X ) = 26 и дисперсией D (X ) = 49 найдите вероятность P (X > 21, 1).

4.Пусть S(n) – цена акции в конце n-ой недели, n > 1. Найдите вероятность того, что цена акции в конце третьей недели будет выше, чем в

конце первой недели, если известно, что отно-

S(n) >

шения цен S(n−1) , n 1, являются независимыми случайными величинами, которые распределены логнормально с параметрами µ = 0, 00196

и σ = 0, 0821.

5.Для независимых случайных величин X1, X2, . . ., равномерно распределенных на отрезке [1, 10], найдите предел

Вариант № 3-16

1.Случайная величина X имеет плотность веро-

ятности f (x). Найдите плотность вероятности g(x) случайной величины Y = X 9.

2.Случайная величина X равномерно распределе-

5

на на отрезке [0, 1]. Найдите дисперсию D 2X 2 .

3. Математические ожидания и дисперсии неза-

4. Пусть S(n) – цена акции к концу n-ой недели,

S(n)

n > 1. Известно, что отношения цен S(n−1) , n > 1, являются независимыми случайными величинами, которые распределены логнормально с параметрами µ = 0, 00162 и σ = 0, 0387. Найдите вероятность того, что за три недели цена акции вырастет более, чем на 5%.

5.Для независимых, распределенных по показательному закону случайных величин X1, X2, . . .

найдите предел

√

LIM P (X1 + . . . + Xn < 9n + 2n),

n→∞

если известно, что E (Xi) = 9.