гос ао 5-6 Мика

5. Күй айнымалылары арқылы жүйені сипаттау. Басқарылыну және бақылау.

Лаплас түрлендіруінің кейбір маңызды түрлері.

2.1 – кесте

ƒ	F
Қадамдық функция, u
ƒ
Импульстік функция,	1
,
, <1
,
, <1

Жоғарыда көрсеткендей АБЖ буындарының құрастырушыларының табиғаты әр түрлі болсада (2.1)-ге ұқсас дифференциалды теңдеулермен сипатталынуы мүмкін. Осы әдiстерді әдетте жүйенің сыртқы сипаттамаларына жатқызады. Керісінше, ішкi сипаттама күй айнымалылары арқылы берiледi, олар көбінесе бірнеше кіріс және шығысы бар жүйелер үшін қолдануға ынғайлы. Айталық жүйе күйінің айнымалысы ретінде бірінші ретті туындысы АБЖ математикалық моделіне кіретін айнымалылар жиынын алайық. Басқаша айтқанда, күй айнымалысы ретінде кіріс әсермен (t) қатар шығыс айнымалысы (t) және жүйенің болашақ күйін анықтауға мүмкіндік беретін айнымалылар жиынтығын айтуға болады. Күй айнымалысы арқылы белгіленген жүйенің математикалық моделі компьютерлік талдауға ыңғайлы болып келеді.

Айталық, сызықты жүйе n - күй айнымалысынан құралған күй векторымен сипатталсын. Жүйенің кірісіне кіріс басқарушы сигналдар түседі. Онда жүйе төменде берілген векторлық түрдегі келесі күй теңдеуімен сипатталады:

(2.17)

мұндағы және - тұрақты коэффициенттерден құрылған матрицалар, олар мына түрде болады:

, _.

(2.17) теңдігінен басқа қарастылған жүйе үшін келесі матрицалық теңдікті жазуға болады

(2.18)

мұндағы - шығыс шамалар векторы. Тұрақты шама матрицалары мына түрде болады

Екі (2.17) және (2.18) векторлық теңдеулер бір уақытқа t = t₀ шешім тауып кез келген t>t₀ уақыт үшін табуға, яғни жүйенің болашақ күйін болжауға, мүмкiндiк бередi, сонымен қатар, осы екі векторлық теңдеу арқылы шығыс шамалар векторы (t) анықталады.

(2.17) және (2.18) векторлық теңдеулер жүйелерiнен векторын шығарып тастауға болады. Бұның нәтижесіндегі теңдеу «кiрiс-шығыс» түрленуі (2.1) түріндегі тұрақты коэффициенті n-ретті сызықты дифференциалдық теңдеу болып шығады.

Бұдан бері қарастырылған АБЖ сиппатаулары бір-бірімен өз ара тығыз байланыста болғандықтан бір сипаттаудан басқаларын жеңіл табуға болады. Мысалы, АБЖ күйі айнымалылар арқылы сипатталған болса, онда АБЖ кешенді беріліс функциясын W(s) мына теңдеумен табуға болады

W(s)= (sE-)^-1,

мұндағы s – Лаплас операторы, ал Е – бірлік матрицасы.

Басқарылыну және бақылану

Күй айнымалыларының п - өлшемді кеңістігінде жүйенің әр күйіне (i = 1, 2,... п) айнымалылар мәндерімен анықталатын бейнелейтін нүктенің қайсыбір орны сәйкес келеді.

Айталық, күй кеңістігінде екі жиынтық және берілсін. Егер шектелген уақыт аралығында 0<t<T анықталған және бейнеленетін нүктені G₁ аймағынан G₂ аймағына ауыстыратын u=(u₁,u₂,…,u_r)^T басқару болса, онда қарастырылып отырған жүйе басқарылынатын болып келеді.

Егер шығыс координатаның векторын құрастыруда күй айнымалылар векторының барлық құрастырушылары қатысса, онда жүйе бақыланатын деп аталынады. Егер векторының бірде бір құраушысы жүйенің шығысының пайда болуына әсер етпесе, онда мұндай жүйелер бақыланбайтын болады.

Жүйенің басқарылынатынын және бақыланатындығын талдау сәйкес басқарылыну және бақылану матрицаларын қолданып немесе басқарылыну және бақылану грамианаларын жүргізеді. Жоғарыда анықталған , , жуйенің параметрлерінің матрицаларын қолданып мына екі қосалқы матрицаларды құрастырайық

R = [, , ..., ^n-1], D = [, ,…,^n-1].

R және D матрицалар сәйкесінше басқарылыну және бақылану матрицалары деп аталады. MATLAB программасында осы матрицаларды ctrb және obsv командалармен құрастыруға болады.

Жоғарыда (2.17) және (2.18) теңдеулермен сипатталған АБЖ басқарылатын болу үшін басқарылыну матрицасының рангы керекті және жеткілікті тұрде толық болып n-ге тең болуы rankR = n керек.

Ал АБЖ бақыланатын болу үшін бақылану матрицанын рангы керекті және жеткілікті түрде толық болып n-ге тең болуы rankD = n керек.

Тек бір ғана кірісі мен шығысы бар АБЖ басқарылыну және бақылану матрицалар шаршы болады, сондықтан, басқарылу және бақылануды тексеру үшін R және D матрицаларының анықтауыштарын табу жеткілікті. Егер олар 0 – ге тең болса, онда матрицаның толық рангы болады.

5. Лаплас түрлендіруі, беріліс функциясы.

АБЖ талдау және синтездеу үшін автоматикада дифференциалдық теңдеулерді қолданумен қатар кешенді айнымалы функцияларды және Лаплас түрлендіруін қолданады. Лаплас түрлендіруі күрделі дифференциалдық теңдеулерді алгебралық теңдеулерге алмастыру жолымен АБЖ есептерін шешуге мүмкіндік береді. Сонымен қатар, интегралдау тұрақтысын анықтау қажеттілігі жоғалады және кез келген біртекті емес дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімін тез анықтауға мүмкіндік пайда болады (2.1).

Дирихле шарты орындалған жағдайда, яғни f(t) функциясы t<0 кезінде нөлге тең болатын үздіксіз және дифференциалдаушы функция болған кезде, f(t) функциясының Лаплас түрлендіруі болатыны туралы жоғары математика курсынан белгілі.

f(t) функциясы түпнұсқа (оригинал) деп аталынады. Лаплас түрлендіруі келесі өрнекпен орындалады:

.

мұндағы F(s) – f(t) функцияның бейнесі, - кешенді айнымалы (Лаплас операторы).

Кері Лаплас түрлендіруі келесі түрге ие:

.

Бұл түрлендіру белгілі бейне бойынша түпнұсқаны (оригиналды) анықтауға мүмкіндік береді.

Тәжірибеде, әдетте, тура және кері Лаплас түрлендіруін орындау үшін 2.1 – кестеде келтірілген нәтижелер қолданылады.

Бұл жағдайда АБЖ түрлендіру операторы кешенді беріліс функциясы түрінде анықталады. Кешенді беріліс функциясы нөлдік бастапқы шартында Лаплас бойынша функциялар бейнелерінің қатынасы, яғни шығыс Y(s) және кіріс U(s) бейнелердің қатынасы ретінде анықталады

(2.16)

Мұндағы (2.16) , кешенді көпмүшелік. Оны (2.2) өрнектегі В(р) және А(р) оператолық көпмүшеліктерде p операторды s операторымен алмастыру арқылы анықтауға болады. 2.16 теңдеудің бөліміндегі сипаттама теңдеуінің түбірі полюстер деп аталынады. Сызықты жүйенің полюстері толығымен оның орнықтылығын анықтайды. Егер полюстердің нақты бөлігі теріс болса, онда жүйе орнықты болады. (2.16) теңдеудің алымындағы сипаттама теңдеуінің түбірлерін нөлдер деп атайды. Нөлдер экспоненциалды функцияның коэффициенттер мәнін анықтайды, бірақ орнықтылыққа әсер етпейді.

2.1 – кесте

Лаплас түрлендіруінің кейбір маңызды түрлері.

ƒ	F
Қадамдық функция, u
ƒ
Импульстік функция,	1

,
, <1
,
, <1