Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

1 / 391 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Г , H s Б Е Р М А Н

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТОЕ

Д опущ ено Министерством высш его и среднего специального образования С С С Р ,

в качестве учебного пособия для студентов высш их учебных заведений

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ

1 9 8 5

22.16 Б 50

УДК 51Z ,


Б е р м а н			Г. Н. Сборник за д а ч				по	курсу м атематик
ского	ан ал и за:		У чебное пособие			д л я	ву зо в . — 20 -е изд.
М .: Н ау к а . Г л авн ая				редакция ф изико-м атем атической					лн.
ратур ы , 1985. —			384	с.
С борник со д ер ж и т систем атически подобранны е									з а "
чи и	упраж н ен и я к			основны м р азд ел ам				ку р са м атем ати
/.кого	ан али за. Б ольш и н ство п араграф ов д л я у д о б ства								п с-
зован и я		подр азделен о на части . Группам						за д а ч с однор .
ным	содерж ан и ем			п р едш ествует		общ ее		ук азан и е. Пе^
зад ач ам и		ф изического содер ж ан и я				д аю тся нуж ны е спраг
по ф изике.
Д л я		студен тов		вы сш их	учебных заведен и й ,
19-е		издание вы ш ло в			1977 г,

Ил. 83.

	®	Издательство «Наука».
Б	1702050000-065	Главная редакция
Б	8 3 — 85	физико-математической
	053 ( 0 2 ) - 8 5	1985

ОГЛАВЛЕНИЕ

предисловия к семнадцатому				изданию , .................................................		6
1 а в а	I,	Ф ункция	.............................................................................			7
§ 1.	Первоначальные сведения о функции					7
§ 2, Простейшие свойства функций........................................					...	11
§ 3. Простейшие функции				......................................................		14
§ 4. Обратная функция. Степенная, показательная					и логарифмиче
	ская функции .............................................................			..............................		19
§ 5.	Тригонометрические и обратные тригонометрические функции					22
§ 6.	Вычислительные задачи ............................			..............................................		25
л а в а	II .	Предел.	Непрерывность..................................		..................... , .	27
§ 1.	Основные определения .................			.........................................................		27
§ 2.	Бесконечные величины.			Признаки существования предела . . .		29
§ 3.	Непрерывные		функции ..........................................................................			32
§ 4.	Нахождение		пределов.	Сравнение бесконечно малых . . . . . .		34
л а в а	III,	Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисле
ние	..........................................................................................................................					44
§ 1. . ...............................	Производная.		Скорость	изменения функции		44
§ 2. .............................................................Дифференцирование ф у н кц и й						47
§ 3. . ........................	Дифференциал. Дифференцируемостьфункции				.	63
§ 4. Производная			как скорость изменения(дальнейшие примеры)			66
§ 5, .............................................................	Повторное дифференцирование					73
: а в а ......................................	IV. Исследование функций и их графиков					79
§ 1. .............................................................................	Поведение функции				.	79
§ 2. .....................................................Применение первой производной					.	80
§ 3. .........................................................	Применение второй производной					89
§ 4. ...............................Дополнительные вопросы. Решение уравнений						92
§ 5. ...................................................	Формула Тейлора и ее применение					99
§ 6. . ................................................................................................Кривизна						101
§ 7. .........................................................	Вычислительные задачи					ЮЗ
л а в а ........................ ............................. ...	V. Определенный интеграл					105
§ 1. . . . . . . .Определенный интеграл я его простейшие свойства						105
§ 2. ........................Основные свойства определенного интеграла						108

4					ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а		V I. Неопределенный интеграл. Интегральное						исчисление . . . .			114
§	1.	Простейшие приемы интегрирования					...............................................				114
§	2.	Основные		методы	интегрирования...................		,	, ..................................			117
§ 3.		Основные классы			интегрируемых функций..................................					. .	121
Г л а в а		V II. Способы вычисления определенных интегралов. Несобствен
ные		интегралы ...............................................................................................................									128
§ 1. Способы точного вычисления интегралов ..............................................											128
§ 2. Приближенные м етоды .....................................................						..............................					135
§ 3. Несобственные интегралы............................................................................										•	138
Г л а в а		V III. Применения интеграла...................				....................................................					143
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики ..................................................											143
§ 2 . Некоторые задачи физики ............................................................................											158
Г л а в а		I Х„ Р я д ы		.................................................................................................................							168
§	1.	Числовые		рады ...................................................................................................							168
§ 2.		Функциональные р я д ы .....................................................................									172
§ 3.		Степенные ряды ...............................................................................				...					175
§ 4 .		Некоторые применения рядов Тейлора...................................................									178
Г л а в а		X . Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчис
ление ......................											182
§ 1.		Функции		несколькихпеременных.................................................................							182
§ 2. Простейшие свойства функций .....................................................................											184
§ 3.		Производные и дифференциалы функций нескольких переменных									188
§ 4. Дифференцирование функций .....................................................											192
§ 5 . Повторное дифференцирование ..........................................						...					195
Г л а в а		X I.	Применения		дифференциального исчисления				функций не
скольких переменных ....................................................................................................											199
§	1. Формула			Тейлора;	Экстремумы	функций	нескольких			перемен
		ных ............................................................									199
§ 2.		Плоские		ли н и и ...................................................................................................							204
§ 3. Векторная функция скалярного						аргумента. Линии			в	простран
		стве. Поверхности			................................................................................................						206
§ 4.		Скалярное поле.			Градиент. Производная . . .по направлению						211
Г л а в а		X II. Многомерные			интегралы и кратное . . . .интегрирование						213
§	1.	Двойные и тройные интегралы				....................................................................					213
§ 2.		Кратное		интегрирование................................................................................							214
§ 3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических коорди
		натах	...........................................................................................................................								217
§ 4.		Применение двойных и тройных интегралов......................................									220
§ 5.		Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра									229
Г л а в а		X III.	Криволинейные интегралы и интегралы по						поверхности		235
§ 1.		Криволинейные интегралы по				дли н е....................................................					235
§ 2.		Криволинейные интегралы по координатам..........................................									238
§ 3,		Интегралы по поверхности................................									243

			ОГЛАВЛЕНИЕ		5
Г л а в а	X IV . Дифференциальные уравнения..........................................................				247
§ 1.	Уравнения		первого порядка........................................................................		247
§ 2.	Уравнения		первого порядка	(продолжение).........................................	258
§ 3.	Уравнения второго и высших порядков.................................................				261
§ 4.	Линейные		уравнения....................	' ...................................................................	265
§ 5.	Системы дифференциальных			уравнений.................................................	270
§ 6.	Вычислительные задачи ....................................................................................				273
Г л а в а	XV. Тригонометрические р я д ы ......................................................................				276
§ 1.	Тригонометрические многочлены.................................................................				276
§ 2.	Ряды	Ф у р ь е ...........................................................................................................			277
§ 3.	Метод	Крылова. Гармонический ан ал и з.............................................			280
Г л а в а	XV I. Элементы теории п о л я .........................................................................				282
Ответы	.................................................................................................................				283

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К СЕМНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящий «Сборник задач» предлагается студентам, изучаю щим математический анализ в объеме программы для высших технических учебных заведений. '«Сборник» содержит системати чески подобранные задачи и упражнения к основным разделам

курса математического анализа.
Теоретические сведения и		справки о необходимых формулах
в «Сборнике	задач» не помещены; имеется в виду,		что читатель
найдет их в	соответствующих	разделах учебника.	Большинство

параграфов «Сборника задач» для удобства пользования подраз делено на части. Группам задач с однородным содержанием пред шествует общее указание. Перед задачами физического содержа ния даются нужные справки по физике. Для более трудных задач указания к решению даны в разделе «Ответы»; такие задачи отме чены звездочкой (*).

Первое издание «Сборника задач» появилось в 1947 г. Все последующие издания, дважды сопровождавшиеся значительной переработкой, осуществлялись без непосредственного участия Георгия Николаевича Бермана, скончавшегося 9 февраля 1949 г. после продолжительной и тяжелой болезни, полученной в резуль тате ранения на фронте Великой Отечественной войны. Эта работа выполнялась товарищами Г. Н. Бермана по совместной работе — И. Г. Арамановичем, А. Ф. Бермантом, Б . А. Кордемским,

Р.И. Позойеким и М. Г. Шестопал.

В1959 г. наш коллектив потерял соавтора и первого редак тора «Сборника» профессора Анисима Федоровича Берманта, ско ропостижно скончавшегося 26 мая.

Георгий Николаевич и Анисим Федорович были замечательными

товарищами, людьми высокой культуры, одаренными прогрессив ными педагогами. Память о них неизгладима.

И.Г. Араманович, Б. А. Кордсмский,

Р.И. Позойский, М. Г. Шестопал

Настоящее (двадцатое) издание печатается без существенных Изменений и практически не отличается от предыдущего (1977 г.).

Г Л А В А I

ФУНКЦИЯ

§ 1. Первоначальные сведения о функции

Ф у н к ц и и и с п о с о б ы их з а д а н и я

1. Сумма внутренних углов плоского выпуклого мйогоуголь* ника является функцией числа его сторон. Задать аналитически эту функцию. Какие значения может принимать аргумент?

2. Функция у от х задана следующей таблицей:

Независимая переменная х . .	0		0,5	1	1,5	2	3
Функция у ................. ...	- 1 ,5	— 1		0	3,2	2,6	0
Независимая переменная х . .	4	5	6	7	8	9	10
Функция у ..................................	- 1 .8	- 2 ,8	0	U	1,4	1,9	2,4

Построить ее график, соединив точки «плавной» линией, и по


графику		«уплотнить»	таблицу,	определив	значения функции при
JC= 2,5;		3,5; 4,5; 5,5;	6,5; 7,5;	8,5; 9,5.
3.	Функция задана графиком, изображенным на рис. 1. Пере
вести	чертеж на миллиметровую бумагу,				выбрать масштаб и не

сколько значений независимой переменной. Из чертежа определить значения функции, соответствующие выбранным значениям неза висимой переменной, и составить таблицу этих значений.

4. Функция задана графиком, изображенным на рис. 2. По

графику ответить на следующие вопросы:
а) При	каких значениях	независимой переменной	функция
обращается	в нуль?
б) При	каких значениях	независимой переменной	функция
положительна?
в) При	каких значениях	независимой переменной	функция

отрицательна?

5. Зависимость силы F взаимодействия двух электрических за

рядов и от расстоянияг между ними выражается по закону

Кулона формулой

ЬЧг*-

8			ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
Положив	ei = ^2==l	и е =	1,	составить таблицу		значений данной
функции для г = \ ,		2, 3,		10 и построить ее график, соединив
найденные точки «плавной» линией.					зависимость			радиуса г
6.	Записать	функцию,		выражающую	зависимость			радиуса г
цилиндра	от его высоты А при данном объеме					V = l .	Вычислить
значения	г при следующих значениях А: 0,5;					1; 1,5;	2;	2,5; 3;
3,5; 4; 4,5; 5. Построить			график функции.
				f	f

		Рис. 1				Рис.	2
7. Выразить площадь					равнобочной трапеции с		основаниями а.
и Ь как		функцию	угла		ос при основании о.	Построить		график
функции		при а —2,	b =		1.
8	. Выразить зависимость длины b одного					катета прямоуголь
ного	треугольника		от	длины а другого при		постоянной		гипоте
нузе с = 5. Построить				график этой функции.
9. Даны функции

ф(1);	Ф(И); Ф(— И); Ф W - существует					ли г 1— 1); ф (— 1)?
10.	Дана	функция	/(и) = ц3 - 1 .			Найти;	/ (1);	/ (а );/ (а + 1 );
f (а — 1); 2/(2а).			F (z) —2*_а
11.	Даны	функции	F (z) —2*_а		и	ф (г) = 21*1-2.		Найти:	F (0 );
F ( 2);	F (3); F	( - 1); F (2 ,5 );		F ( - l , 5 )		и ф ( 0 ) ;	Ф (2);	ф ( _ 1 ) ;	ф (х );
Ф ( — 1) + F (1).								( 1); ф(— 1);
12.	Дана	функция	ф(/) = /а'.		Найти;		ф(0);	( 1); ф(— 1);
ф (4 -);	ф (°);	Ф(— °)-
13.	ф(/) = /а+ 1 . Найти;			ф (^2) и	[ф (0]2-
14.	F(x) = х 4 — 2х2-)-5. Доказать,					что F(a) = F (— a).
15.	Ф (г) = ;г3 — 5z. Доказать, что					Ф (— г) =	— Ф (г).
16. f(t) =		2t2 + ^ +	j + 5 t . Доказать, что f ( t ) = f ( ± y

s 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИИ

17.

f(x) = sin х — cos х. Доказать, что

/ (1)

18.

(JC) =

lg л:. Доказать,

что

ф (х)-J-ф(х -J- 1) = ф [х (х -(-1)].

19.

F (г) = аг.

что при любом г

1) Доказать,

справедливо соотношение

F (— z)F{z) — \*=0.

2) Доказать,

что F (x )F (y )= F (x + y ).

20. Даны

график функции у = / (х )

и значения а и Ь независи-

ной

переменной

(рис. 3).

Построить

на чертеже

/(а) и /(6).

Каков геометрический

смысл

отношения -

Ь—а

21.

Показать,

что

если

любая

хорда

графика функ

ции

у = / (х)

лежит

выше

стягиваемой ею дуги, то для

всех

имеет

место не

равенство

f (x{)+f (хг) ^

22.

Дано: f(x )= x 2 —2х+ 3 . Найти все корни уравнения: a)/(x)=i

- f ( 0);

б )/ (х) =

/ ( - 1 ) .

23.

Дано: / (х) = 2х3 — 5х2 — 23х.

Найти все

корни уравнения

f ( x ) = f( - 2 ) .

24. Дана

функция

/ (JC) . Указать

хотя бы один

корень урав

нения / (х) = / (а).

25. Указать два корня уравнения f(x ) —f ( ~ ^ j , если известно,

что функция /(х)

определена на отрезке [— 5 ,5 ]. Найти все корни

данного уравнения для

случая,

когда /(х) = ха — 12x -f 3.

26.

F (х) = х2 +

6; q>(jc) = 5x. Найти все корни уравнения F (х)=>

Ч ф (*)1-

<р (х) = х — 2.

Решить

уравнение

27. / (х) = х - f 1;

1/(*) + ф (*)1 = |/( * )1 +

|ф (*)|.

28.

Найти

значения

а и b

в выражении функции / (х) = ах2+

+ &х + 5, для

которых

справедливо

тождество

f ( x + i ) —f(x) =

= &с +

29.

Пусть fix ) = aco s (b x -f г).

При

каких значениях постоян

ных а,

b к с

выполняется тождество / (x -f 1) —/ (х)==sinx.

С л о ж н ы е ф у н к ц и и

30. Дано: у —г1, г —x - f 1.

Выразить

у как

функцию х.

31.

Дано:

у = V г +

1, г = tg2 х.

Выразить у как

функцию х.

32.

Дано: у = г2,

г — у" x - f 1, х =

а'. Выразить у как функцию/.

ГЛ . I. ФУНКЦИЯ

33.

Дано: y = sinx;

v = lgy;

и = У 1 +

v2.

Выразить

как

функцию х.

_____

34.

Дано: у = 1- f x ;

2 = cos у;

v = Y 1 —za.

Выразить

как

функцию X.

35.

Следующие сложные функции

представить с

помощью це

почек, составленных из основных элементарных функций:

y =

sin3x; 2)

y = V (1 -Ь *)2;

y = lg tg x ;

y =

sin3( 2 x + l) ; 5)

у = 5 ^ + 1»2.

(х) = х3—х; (р (х) =

sin 2х. Найти:

f Ф

12 ] : б)

ф [/Ч1)];

в) ф [/(2)];

г) /Чф (х)];

д) turn е) fifuvm ж) ф [ф (*)]-

37.

Доказать справедливость следующего способа построения

графика, сложной

функции

у = / [ ф (х)] = F (х)

по известным гра

фикам составляющих

функций: у=а

= / (х),

у = ф (х).

Из

точки А гра

фика функции ф(х) (рис. 4), соот

ветствующей данному значению неза

висимой

переменной

х,

проводится

прямая, параллельная оси Ох, до

пересечения в точке В с биссектрисой

первого и третьего координатных уг

лов;

из

точки

проводится

пря

мая,

параллельная

оси

Оу, до

пере

сечения

графиком

функции

f(x )

в точке С. Если из точки С про

вести прямую, параллельную оси Ох,

то точка D ее пересечения с прямой

NN' будет точкой графика функции

F (х),

соответствующей

взя

тому значению х.

Не я в н ы е ф у н к ц и и

38.Написать в явном виде функцию у, неявно заданную сле дующим уравнением:

1)	х2+ у2= 1;	2) £ - £ = 1			;	3) х3+ У3 = а3’,
4)	ху = С; 5)	2-^ = 5;	6)	lgx +		l g ( y + 1) = 4 ;
7)	2*+у (х2—2) = х3+		7;	8)	(1 - f х) cos у - х 2= 0.

39*. Показать, что при х > 0 уравнение у + | у | —х — |х|=0 определяет функцию, графиком которой является биссектриса первого координатного угла, а при х ==^0 данному уравнению удовлетворяют координаты всех точек третьего координатного угла (включая и его граничные точки).

1 / 391 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб1Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб8Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб23Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб1Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб3Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб32Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб2Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб14Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб26Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб39Сборник задач по подземной гидравлике..pdf