книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

81

1129. Написать формулу Лагранжа для функции

у —arcsin2jf

ции

у = х п на

отрезке [0,

а];

п > 0, а > 0.

1131. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функ­

ции у — In х на отрезке [1,

е].

1132. Доказать с

помощью формулы Лагранжа неравенства

а—b

;1п

а—Ь

а

Ь

при

условии

0 < 6 s g a .

1133.

Доказать

с

помощью

формулы

Лагранжа

неравенства

i p l ^ t g a - t g

p

^

^

при

условии

0 < р < а <

1134. Доказать с

помощью формулы Лагранжа справедливость

при а > Ь

неравенств

nbn~l (а — Ь) < ап— Ьп< пап~1 (а — Ь),

если

п >

1, и неравенств

противоположного смысла, если п < 1 .

1135.

Рассмотрим функцию

f ( X) = [ * 2si nT

ПРИ

х ф 0 ’

'

I

0

при

х = 0 .

Эта функция дифференцируема при любом х.

Напишем для

нее формулу Лагранжа на отрезке [0, х\:

Будем

иметь;

/ (* ) - / « > )= * / '( I)

(0 < Е < д с ).

дс2 sin 4 - х ( 21- sin у — cos y j ,

откуда

c o s y = 2Esin у —xsin-^-.

Заставим

теперь

х

стремиться

к нулю, тогда будет стремиться

к нулю

и £, и

мы

получаем:

lim cos4- = 0.

Е—о

s

Объяснить

этот парадоксальный

результат.

1136. Применяя на отрезке [1;

U ]

к функции f (х) = atcigx

формулу

/ (хо+

Ах) «=sf (хо) +

Г (хо + ^ ) Ах,

найти

приближенное значение

arctg 1,1.

В

задачах

1137— 1141,

используя формулу

S 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

83

1158,

У = \К1-

1159.

у = 2хг -\ п х .

1160.

у = х — 2 siп х

(0=йх=^2л). ,

1161.

y = 2sinx -| -cos2x

(0 = ^ х ^ 2 л ) .

______

1162.

у = х +

cosx.

1163.

у =

1 п (х 4 -1 ^ 1 + * 2)-

1164.

у = х Y ах —х2

( а > 0).

В задачах 1165— 1184 найти

экстремумы функций.

1165.

у = 2х3 ~ Зх2.

1166.

у =

2х3 - 6 х а - 1 8 х +

7.

# 1167.

у =

3JC2

4дс+ 4

1168.

у = У х 3 -З х * + 8 \

JC2+ X +1

, , м -

N70.

!, =

^ X- V V + 2 .

1171.

у =

з-Хг К б Г = 7 .

1172.

у =

аУ ъ

9л:У Г

1173.

и= 4 ~г 3х

1174.

у =

|/ (л:2 — а2)2.

/ 4+ 5х *

в 1175.

у =

х — In (1 -fx ).

1176.

у =

х - 1 п ( 1 + х2).

1177.

у =

(х — 5)2V^(л:4 - 1)2.

И 78. у =

(*2 -

2*) 1пх -

х2 + 4*.

1179. у =

^ (л:2 + 1) arctg х —

х2 —~~2~t

1180. у = -^л:г— -jarcsinx + ^jcV" 1 —ха —^дс*.

1181. y = xsinx + cosx — \ х2 (—

1182.

У =

( у - х ) cosx +

s i n x - ^ l z ^

(o ^ = x s £ | -).

1183.

y = ^ ^ co sn (x + 3) + isin n (x + 3)

(0 < х < 4 ) .

1185.

у = х4-

2х2 + 5; [—2,

2].

* 1186.

у = х + 2 У х )

[0, 4].

«1187.

у = х * - 5 х * + 5х3У\;

[—1,

2].

1188.

у = х3-

Зх2 + 6х -2 ;

[—1,

1].

1189.

у = УТ00 —х2

(—6==£х<8).

< ИЗО. y = \ ~

t t

(0 ^ * < 1 ) .

1191.

у - ~

(0 ^ х ^ 4 ).

Ш 2 . у = ^

+ ~

( 0 < х < 1 )

(а>0, Ь>0).

1193. //= sin 2дс — а:

(.— я/2 с х

я /2).

1194.

у = 2 tgx — tg2x

(0 « £ х < я / 2 ).

1195.

у = хх

(0,1 s £ x <

+ oo).

1196.

y — Y (А‘г — 2х)2

(0«=;х<-3).

1197.

f/ = a r c t g { ^

1).

Н е р а в е н с т в а

В задачах

1198— 1207

доказать

справедливость неравенств.

1198.

2У^х > 3 —Y

(х>1).

1199.

е * > 1 + х

(х=^0).

1200.

x > l n ( l + x )

(х> 0 ) .

1201.

In х >

~~ Г~т~^

( х > 1 ) .

Л--|~ 1

1202.

2 x a r c tg x S = ln (l+ x 2).

1203.

\ + x \ n (x + V iT ^ )^ V T + 7 K

1204.

1 п ( 1 + х ) > ^ ~ j -

( х > 0 ) .

1205.

s i n x < x — ^

+

щ

(х> 0 ) .

1206.

sinx +

t g x > 2 x

( 0 < х < я / 2 ) .

1207.

c h x > l + j

(х Ф 0).

З а д а ч и на о т ы с к а н и е н а и б о л ь ш и х

и н а и м е н ь ш и х з н а ч е н и й ф у н к ц и й

1208.

Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма

их кубов была

наименьшей.

1209.

Какое

положительное число,

будучи

сложено с

обрат­

ным ему

числом, дает наименьшую сумму?

1210.

Число 36 разложить на два

таких

множителя,

чтобы

сумма их квадратов была наименьшей.

1211.

Требуется изготовить ящик

с

крышкой, объем которого

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОП ПРОИЗВОДНОЙ

85

1213.

Решить предыдущую задачу для прямоугольного листа

размером

8 x 5 см2.

линдра, чтобы его поверхность была наимень­

шей?

1216.

Найти

соотношение

между радиусом

R и высотой Н цилиндра, имеющего при дан­

ном объеме наименьшую полную поверхность.

1217.

Требуется

изготовить

коническую во­

ронку с образующей, равной 20 см. Какова

должна

быть высота

воронки,

чтобы ее объем

был наибольшим?

Fnc. 29

1218.

Из круга вырезан сектор с централь­

ным углом а. Из

сектора свернута коническая

ного вращением

этого треугольника вокруг высоты, опущенной

на основание, был

наибольшим?

1221. Найти

высоту цилиндра наибольшего объема, который

можно вписать в шар радиуса R.

1222. Найти

высоту конуса наибольшего объема, который

можно вписать в шар радиуса R.

1223. Дождевая

капля, начальная масса которой тй, падает

1225.

Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны

кубу его

скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы

на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же

расходы (не

зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час.

При какой

наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?

1226. Три

пункта Л, В и С расположены так, что / тАВС = 60°.

Из пункта

А

выходит

автомобиль, а одновременно из пункта

В — поезд.

Автомобиль

движется по направлению к В

со скоро­

стью 80 км/ч,

поезд — по направлению к С со скоростью

50 км/ч.

лельно

касательной

в точке А

так,

чтобы

площадь треуголь­

ника АВС была наибольшей.

1228. Найти сторовы прямоугольника наибольшего периметра,

вписанного в полуокружность радиуса R.

1229.

В данный сегмент круга вписать прямоугольник наиболь­

шей площади.

1230. Около данного цилиндра описать конус наименьшего

объема (плоскости

оснований цилиндра и конуса должны совпа­

дать).

1231.

Найти высоту прямого круглого конуса наименьшего

объема, описанного около шара радиуса R.

1232.

Найти угол

при вершине

осевого сечения конуса наи­

меньшей

боковой

поверхности,

описанного

около данного шара.

1233.

Каков должен быть угол при вершине равнобедренного

1237.

Через данную точку Р( 1, 4)

провести прямую так, чтобы

сумма длин положительных

отрезков,

отсекаемых ею на коорди­

натных осях, была наименьшей.

1238.

Найти стороны прямоугольника наибольшей площади,

вписанного в эллипс ^

^

= 1.

1239.

Найти наименьший

по площади эллипс, описанный около

данного

прямоугольника

(площадь эллипса

с

полуосями а и Ь

равна nab).

1240.

Через какую точку

эллипса

^

=

1 следует провести

§

2 . ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

87

1241.

На эллипсе 2х2 + у2 =

18 даны две точки Л (1, 4) и В (3, 0).

Найти на данном эллипсе третью точку С такую, чтобы площадь

треугольника

АВС была наибольшей.

расстоянии а

1242.

На оси

параболы

г/3 = 2рлс дана точка

на

от вершины. Указать абсциссу х ближайшей к ней точки кривой.

1243.

Полоса

железа

шириной а должна

быть согнута

в виде

открытого цилиндрического

желоба

(сечение желоба

имеет форму

дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла,

опирающегося

на эту дугу, при котором вместимость желоба будет

наибольшей.

1244.

Бревно

длиной 20 м имеет форму усеченного

конуса,

диаметры оснований

которого

равны

соответственно 2 м и 1 м.

Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным

сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна

и объем кото­

рой был бы наибольшим.

Каковы

должны быть

размеры балки?

1245.

- Ряд рпьгтов привел к п различным значениям xi, х2, . . . , х

для

исследуемой

величины

А. Часто

принимают в качестве зна­

чения А такое

значение х,

что сумма

квадратов

отклонений его

от xi, х2, . . . . х„ имеет наименьшее значение. Найти х, удовле­

творяющее этому

требованию.

1246.

Миноносец

стоит на

якоре в 9 км от ближайшей точки

берега;

с

миноносца

нужно

послать

гонца в лагерь,

расположен­

ный в 15 км, считая

по берегу от ближайшей к миноносцу точки

берега

(лагерь

расположен

на

берегу).

Если

гонец

может делать

пешком

по 5

км/ч,

а на

веслах

по 4 км/ч,

то

в

каком

пункте

берега

он должен

пристать,

чтобы попасть в лагерь в кратчайшее

время?

1247. Прямо над центром круглой площадки радиуса R нужно

повесить фонарь. На

какой

высоте

нужно это сделать, чтобы он

наилучшим образом освещал дорожку, которой обведена площадка.

(Степень

освещения некоторой

площадки

прямо пропорциональна

косинусу

угла

падения лучей

и

обратно

пропорциональна квад­

рату расстояния от источника света.)

1248.

На отрезке длиной /, соединяющем два источника света

силы Д и /2, найти наименее освещенную точку.

1249.

Картина

высотой

1,4 м повешена на

стену

так,

что ее

нижний

край на

1,8 м выше глаза

наблюдателя.

На каком рас­

стоянии

от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение

было наиболее благоприятным для осмотра картины

(т. е. чтобы

угол

зрения был

наибольшим)?

S8

ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ

1251. Скорость течения воды по круглой трубе прямо пропор­

циональна так

называемому гидравлическому

радиусу R,

вычис­

ляемому

по формуле R = S/p, где 5 — площадь сечения

потока

воды в

трубе,

а р —смоченный (подводный)

периметр

сечения

квадратных сантиметров.

Верхнее и нижнее поля должны быть

по а см, правое и левое — по

b

см. Если

принимать во внимание

только экономию бумаги,

то

какими должна быть наиболее

вы­

годные размеры страницы?

R,

1253*. Коническая воронка,

радиус

основания которой

1256.

Для какой

точки Р

параболы у2 = 2рх

отрезок нормали

в Р, расположенный

внутри

кривой,

имеет наименьшую длину?

1257.

Показать, что касательная к

эллипсу,

отрезок которой

§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОМ

89

В

задачах 1260— 1262

показать (при помощи

дифференциро­

вания

и без

него), что данные функции являются первообразньшц

одной и той же функции.

1260.

у =

In ах

и

у = \пх.

1261.

у =

2 sin2 х

и

у = — cos 2 х.

1262.

у =

(ех + e~xf

и

y = (ex - e ~ xf .

1263*. Показать, что функция

у = cos2Х +

cos2(-5 + * ) — cos х cos ^

есть константа (т. е. не зависит

от х). Найти

значение этой

кон­

станты.

2 х

1264.

Показать,

что

функция у — 2 arctg х

есть

-f- a resin т-

константа при х ^ 1 .

Найти значение этой

константы.

1265.

Показать,

что функция

a c o s x + 6

n

. ( i f a — Ь , х\

у =

a r

c

c

o

s ~ 2 arctg[ У

2)>

где

0 < Ь < а ,

есть

константа

при

х^ -0 .

Найти значение

этой

константы.

1266.

Убедиться

в

том,

что

функции

e2v, fiA‘sh х и ех ch х от­

личаются

одна

от

другой на постоянную величину. Показать,

что

каждая из данных функций является первообразной для функ­

ции

е2*.

1267.

у = х3 — 2ахг -J- а2х

( а > 0).

1268.

у = а2 (а — х)2.

1269.

у = х-\-а- (оД> 0).

* 1270.

y = x + Y l —x.

*1271.

y = x Y 2 —х2.

1272.

y = chax.

1273.

у = хге~*.

1274.

У = -^~ -'

1275.

у = х1'х.

1276.

При каком значении

а функция /(x) = a s i n x 4 ™ sin 3.v

1277.

Найти

значения а и Ь, при которых

функция

у = а Ы х +

+ b x 2+ x

имеет экстремумы

в точках

ху— 1

п хг =- 2.

Показать,

что при

этих

значениях а

и b данная

функция имеет минимум

90

ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ

В ы п у к л о с т ь , в о г н у т о с т ь , т о ч к и п е р е г и б а

1278.

Выяснить,

выпукла

или вогнута

линия

у = х5 — 5х3 —

— 15л:2-Ь 30

в

окрестностях

точек

(1, 11) и (3, 3).

1279.

Выяснить,

выпукла или вогнута лрния y = arctgx в окре­

стностях

точек

(1,

л /4)

и (— I,

— я/4).

1280.

Выяснить,

выпукла

или

вогнута линия у = х2 1п х в окре­

стностях

точек

(1,0)

и

(1 /с2, — 2/е1).

1281.

Показать, что график функции у = х arctgx везде вогнутый.

1282.

Показать,

что

график

функции

у = 1п (х2— 1)

везде

вы­

пуклый.

1283.

Доказать,

что

если

график

функции

везде

выпуклый

или везде вогнутый,

то

эта функция не может иметь более одного

экстремума.

Р (х) — многочлен

1284.

Пусть

с положительными

коэффициен­

тами

и четными

показателями

степеней.

Показать,

что график

функции

у — Р ( х

) а х

b

везде

вогнутый.

на интервале (а,

Ь).

1285.

Линии

у = ф(х) и у = ф(х) вогнуты

Доказать, что на данном интервале: а) линия

у = ф (л;) + ф (л;)

вогнута; б) если ф(х) и ф(х)

положительны и имеют общую точку

минимума, то

линия

у = ф(х)ф(х)

вогнута.

1286.

Выяснить

вид

графика

функции,

если

известно,

что

в интервале

(а,

Ь)\

у' < 0 ,

J)

У > 0,

у '>

0,

(/ "< 0;

2)

у > 0 ,

</">0;

3)

У < 0,

у’ >

0,

у " > 0;

4)

у > 0,

{ / < 0 ,

у" <

0.

В

задачах

1287 — 1300

найти

точки

перегиба

и интервалы

вогнутости и выпуклости графиков данных функций.

1287.

у = х3 — 5х‘--|-Зх — 5.

1288. у = (х +

'1289 .

у = х4 -

12х3 +

48х- -

50.

1 2 9 0 .

у — х + 36х2 — 2х3 —х ‘.

1 2 9 1 . у = Зх5 — бх1 + Зх — 2 .

1292.

у =

(х + 2)« + 2х +

2.

1293. У = ~

&

( а > 0).

1 2 9 4 .

у =

а — j/ x

— b.

1 2 9 5 . у=е-Хпх(— я/2== £Х ё£л/2).

1296.

у =

1 п ( 1 + х 2).

1297. у = ~ \ п ^

( а > 0).

"1298.

у = а — У\х — b f.

<■1299. у =

еагс1я;с.

1300.

у = х4 (121пх — 7).

1301.

Показать

что линия

y = ~r^j имеет три точки

перегиба,

лежащие на

одной

прямой.

1302.

Показать,

что

точки

перегиба линии у = х sinx

лежат на

линии

у2 (4 + х2) =

4х2.

1303.

Показать,

что точки

перегиба

линий

у =

лежат

на

линии

у2 (4 - fx 4) =

4.