книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

102

ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ

1559.

У х -|- У у = У а .

1560.

у= 1пх.

1561.

у =

ех .

1562.

х =

а (3 cos t - \ - cos 3^). У

=

я (3 sin t - f sin 3^).

1563.

Найти наибольшее значение

радиуса

кривизны линии

p = asin3 ^ .

1564.

Показать, что кривизна в точке Р линии

y = f(x) равна

|y"cos:ia|, где а — угол,

образуемый касательной

к

линии

в точ­

•Ш,В5)

ке Р с положительным направлением

оси

абсцисс.

1565.

Показать,

что

кривизну

линии

в произвольной

точке

можно

,

d s i n a

представить выражением k =

- dx

где

а

имеет

то

же значение,

что

и в

предыдущей

задаче.

1566.

Функция

f(x)

определена

так: f(x) =гх3в интервале — о о < х ^ 1 ,

/ (х) =

ах 2+ Ь х + с

в

интервале

1 С

< х <

+ оо.

Каковы

должны

быть

а,Ь ,е, для того чтобы линия y = f(x )

имела

везде

непрерывную

кривизну.

1567.

Даны

(рис. 35): дуга

A M

окружности

с

радиусом, рав­

ным 5, и с центром

в точке (0, 5)

и отрезок

ВС прямой,

соеди­

няющей

точки 5 ( 1 ,

3) и С(11, 66). Требуется точку М соединить

с точкой

В дугой параболы так,

чтобы линия A M ВС имела везде

непрерывную

кривизну. Найти уравнение искомой параболы (взять

параболу 5-го порядка).

В задачах 1568— 1574

найти

координаты

центра

кривизны и

уравнение эволюты для данных линий.

1568. Парабола п-го порядка у -

1569.

Гппербола

^ = 1.

1570.

Астроида x2/3-j-i/2/3 = а2/3.

157!.

Полукубическая парабола у3 = дх2.

1572.

Парабола х —3/, у = Ц —6.

1573.

Циссоида у2--;

А''

1574.

2 а

— х '

Линия х = а (1 4-cos2 () sin t ,

y= asin2/cos(.

1575.

Показать, что эволюта трактрисы х =

— a^lntg 2 -f cos/j,

104

ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ II ИХ ГРАФИКОВ

ниченной следующими линиями:

и параболой у —дс2+ 1;

J)

осями

координат,

прямой

дс = 3

2) осью

абсцисс,

прямыми

х = а,

х = Ь и линией у = е*-\- 2

(Ь > а);

и дугой синусоиды у = sin х, соответствующей

3) осью абсцисс

первому полупериоду;

и у = 8 — хг;

4)

параболами

у = х2

5)

параболами

у = х2

и у = У х ;

6)

линиями у = 1пх и у —In2ж.

1593. Фигура

ограничена

осью абсцисс и прямыми у = 2х,

х —4, х = 6 . Найти

площади

входящих и выходящих «ступенча­

Убедиться,

что оба полученных выражения стремятся при неогра­

ниченном

возрастании п к одному и тому же пределу S — пло­

щади фигуры.

Найти абсолютную и относительную погрешности

при замене данной площади площадями

входящих и выходящих

«-ступенчатых

«лестниц».

1594.

Криволинейная

трапеция с основанием [2, 3] ограничена

параболой

у = х2. Найти

абсолютную и относительную погрешно­

сти при

замене данной площади площадью входящей 10-ступен­

чатой «лестницы».

1595.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

у = х г/2,

прямыми х = 3,

х = 6

и осью абсцисс.

1596.

Вычислить площадь

сегмента,

отсекаемого прямой у =

■=2.к + 3

от параболы у = х2.

1597.

Вычислить площадь параболического сегмента с основа­

нием

10 см

и стрелкой h —б см. (Основанием служит хорда,

перпендикулярная к оси параболы, рпс. 36.)

1598.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у =

106

ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1600.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной параболами

у = к1 — 6х + 10 и у = 6а — л-2.

между параболой у =

1601.

Вычислить площадь,

заключенную

= а 2 — 2а + 2, касательной

к

пей в точке

(3,

5), осью ординат и

осью абсцисс.

1602.

Материальная точка

движется

со

скоростью

и = 2/ +

+ 4 см/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 10 с.

1603.

Скорость v

при

свободном

падении

равна gt.

Найти

гивая пружину на 4 см, произвели

работу 100 Дж . Какая работа

будет произведена при растяжении пружины

на

10

см?

1806.

Чтобы растянуть пружину на 2

см,

нужно произвести

работу 20 Д ж . Насколь­

ко

можно растянуть пружину,

затратив

ра­

боту 80 Дж?

v радиоактивного

1607.

Скорость

рас­

пада

является

заданной функцией

времени:

v = н(/). Выразить количество т радиоактив­

ного

вещества,

распавшегося

за

время. от

момента

7\>

до

момента Ту. а)

приближен­

н о — суммой,

б) точно — интегралом.

Рис.

36

1608.

Скорость

нагревания тела является

заданной функцией времени ф(/). На сколько

градусов

0 нагреется тело

за

время от момента ТпДо момента

Т i?

1609. Переменный ток / является заданной функцией времени

/ = /((). Выразить

(приближенно — суммой

и точно — интегралом)

количество Q электричества, протекшее через поперечное сечение

проводника за время Т, считая от начала опыта.

1610. Напряжение Е переменного тона является заданной

функцией

времени

£ = ф (/); ток

/ —тоже заданной функцией вре­

мени

/

Выразить

работу

А тока за

время от момента То

до

момента Т у

а)

приближенно — суммой,

б) точно — интегралом.

1611. Электрическая

цепь питается батареей аккумуляторов.

В

течение

10 мпп напряжение на клеммах равномерно падает от

/С — 60 В

до

£ = 40 В.

Сопротивление цепи R —20

Ом. Найти

количество

электричества, протекшее через

цепь за 10

мин.

1612. Напряжение электрической цепи равномерно падает,

уменьшаясь на а = 1 , 5 В

в минуту. Первоначальное напряжение

цепи

£ 0= 1 2 0

В;

сопротивление

цепи Я = 60 Ом. Найти работу

тока

за 5

мин.

Индуктивностью

и емкостью пренебрегаем.

§ I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА

107

моугольника. Длина

ее а = 60 см, а

высота b = 25 см. б) Разде­

лить горизонтальной

прямой стенку

аквариума так, чтобы силы

давления на обе части стенки были одинаковыми.

В ы ч и с л е н и е и н т е г р а л о в с у м м и р о в а н и е м

1616. Непосредственным суммированием и последующим пере-

I

ходом к пределу вычислить интеграл

\fex dx. (Интервал интегри-

рования делить на п равных частей.)

о

1617. Непосредственным суммированием и последующим пере-

ь

1618. При

помощи формулы, полученной в предыдущей задаче,

вычислить интегралы:

а

1°

0 + 2

г“ ,

2

I)

$ xdx;

2)

J

xdx;

3)

$

x2 dx; 4)

\ -£ • dx;

О

а —2

а/2

a

а

т

2 5

5)

^ (З*2 —х +

l)dx;

6)

С

dx>

7) S

(2 * + 1 )2 dx;

о

о

1

8)

$ (* - а) (х ~ Ь) dx;

9)

j

dx'

10)

$

dx;

а

—а

О

II)

\х3 dx;

12)

$ f

dx;

13)

| ( y -

dx.

О

I

0

1619*. Найти

lim /1 *+ 2 *+ ---+ я_\ при ^ >

o. Вычислить при-

ближенно l5 +

25 +

n

- o o \

n fc+1

1

. . - +

1003.

В задачах

1630— 1635 оценить интегралы.

3.5

2

5л/4

1630.

J

1631.

>632.

J ( l+ s in 2x)dx.

1.5

0

я/4

£/2

У з

е

1633.

I ~

—^dx. 1634. $

Jcarctgxdx.

1635. \x7er~xldx.

1/2

У з/З

Ь'«

1

1

2

2

1)

J x 2dx

или

Jx *d x ;

2 ) $x2dx

или

$ x3dx?

0

0

1

1

1637.

Выяснить,

какой

из

интегралов

больше:

1

I

2

2

I)

§2**dx

или $2-**dx;

2) $ 2*J dx

или

$ 2 х' dx;

0

0

1

i

2

2

4

4

3)

Jin xdx

или

$ (ln x )2dx;4)

$ In xdx или

$(ln x)2dx?

1

1

l

з

_

з

______

1638.

Доказать,

что

$ ]/ l + xadx <"|/"5/2,

воспользовавшись

о

неравенством

Коши — Буняковского

\ h (х) h

(х) dx U

l /

$ 1/i W P d x ] f \ [ h (*)P dx.

а

I

Г

д

r

a

п о

ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ и н т е г р а л

[1

______

1641.

Оценить интеграл

jj|/l ф- x*dx, пользуясь:

|6

а) основной теоремой об оценке интеграла,

б)

результатом задачи 1639,

в)

неравенством

Коши — Буняковского (см. задачу 1638).

С р е д н е е з н а ч е н и е ф у н к ц и и

1642.

Вычислить среднее значение линейной функции y = kx-\-b

на

отрезке |xi, хф.

Найти точку, в которой функция принимает

это

значение.

1643.

Вычислить

среднее значение квадратичной функции у =

— ах1

на

отрезке [хи х2]. В скольких точках интервала функция

принимает это значение?

1644.

Вычислить

среднее

значение функции

у = 2х2 + Зх-|-3

на

отрезке [1, 4].

1645.

Исходя из

геометрических соображений, вычислить сред­

нее

значение функции

y = Y a 1 —* а на отрезке [— а, а].

1646. Исходя из геометрических соображений, указать сред­

нее

значение непрерывной нечетной функции на

интервале, сим­

метричном относительно начала

координат.

1647. Сечение желоба имеет форму параболического сегмента.

Основание его а = 1

м,

глубина

Л = 1 , 5 м (см. рис. 36 нас . 106).

Найти

среднюю глубину желоба.

1648. Напряжение электрической цепи в течение минуты рав­

номерно увеличивается

от £ 0=ЮО В до Е х= 120 В . Найти сред­

нюю силу тока за это

время. Сопротивление цепи 10 Ом.

первого

часа

работы.

И н т е г р а л с п е р е м е н н ы м п р е д е л о м '

1650.

Вычислить интегралы с

переменным верхним пределом:

X

X

^

1) ] х2 dx;

2) ] Xs dx;

3)

^

dx.

1651. Скорость движения тела пропорциональна квадрату вре­

мени. Найти

зависимость

между

пройденным расстоянием s и вре­

менем t,

если

известно,

что

за

первые 3 с тело

прошло 18 см,

а движение

началось в момент ^ = 0.

1652.

Сила,

действующая

на

материальную

точку, меняется