книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfБ. Е. ПОБЕДРЯ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ВТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ИПЛАСТИЧНОСТИ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов университетов,
обучающихся по специальности «Механика»
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ОГЛАВЛЕНИЕ
11 |и'Дисловие ко второму изданию....................................................................... |
5 |
||||
11 |.<'ДИСловие................................................................................................................... |
6 |
||||
Чисть |
1. |
Введение в механику деформируемого твердого тела . |
8 |
||
I чана |
1. |
Основные уравнения М ДТТ............................................................... |
8 |
||
|
§ |
1. |
Кинематика сплошной среды............................................................. |
8 |
|
|
§ 2. |
Основные законы М СС ........................................................................ |
16 |
||
|
§ |
3. |
Операторные соотношения................................................................. |
21 |
|
|
§ 4. |
Связь между напряжениями и деформациями............................ |
27 |
||
|
§ |
5. |
Определяющие соотношения при неизотермических про |
38 |
|
|
|
|
|
цессах ......................................... |
|
|
§ 6. |
Классификация и постановка задач М ЛТТ.................................. |
44 |
||
|
§ 7. |
Вариационные принципы М ЛТТ...................................................... |
51 |
||
|
§ |
8. |
Новая постановка задачи МЛТТ и новый вариационный |
85 |
|
|
|
|
|
принцип...................................................................................................... |
|
I |
мн& |
2. |
Некоторые классические среды.......................................................... |
72 |
|
|
5 |
1. |
Упругая среда........................................................................................... |
72 |
|
|
§ 2. |
Фундаментальные решения теории упругости............................ |
82 |
||
|
5 3. |
Интегральные уравнения теории упругости.............................. |
93 |
||
|
§ |
4. |
Теория малых упругопластических деформаций...................... |
101 |
|
|
5 |
5. |
Теория линейной вязкоупругости.................................................... |
108 |
|
|
|
|
6. |
Нелинейная теория вязкоупругости................................................. |
113 |
I |
II на 3. |
Простейшие задачи М ДТТ.................................................................. |
118 |
||
|
4 |
|
1. |
Одномерные статические задачи...................................................... |
118 |
|
5 |
|
2. |
Плоская задача М Д Т Т ......................................................................... |
121 |
|
5 |
3. |
Волны в упругой среде........................................................................... |
131 |
|
|
5 4. |
Волны в упругопластическом стержне............................................ |
138 |
||
|
I) 5. |
Связанные задачи М ДТТ..................................................................... |
143 |
||
|
' I н гг. II. |
Методы вычислений........................................................................... |
158 |
||
|
I ... |
|
4. |
Введение в разностные методы........................................................... |
156 |
|
7) |
|
I. |
Разностные операторы........................................................................ |
156 |
|
Ч 2. |
Аппроксимация и устойчивость..................................................... |
167 |
||
|
4 |
|
3. |
Метод прогонки..................................................................................... |
174 |
|
5 |
|
1. |
Модельное уравнение теплопроводности..................................... |
183 |
|
Ч 5. |
Модельное волновое уравнение....................................................... |
191 |
||
|
!( 6. |
Сведение многомерных задач к одномерным........................... |
198 |
||
|
| >•»а |
|
5. |
Итерационные методы........................................................................ |
204 |
|
!! |
|
1. |
Простая итерация................................................................................. |
204 |
|
Ч 2. |
Итерационные методы со сложными операторами обраще |
|
||
|
|
|
|
ния ............................................................................................................... |
215 |
|
!1 |
3. |
Решение статических задач теории упругости........................ |
224 |
|
|
!1 |
4. |
Итерационные методы решения задач нелинейной МДТТ . |
229 |
|
|
Ч 5. |
Быстросходящийся метод последовательных приближений |
239 |
||
|
| |>н.1 |
|
6. |
Вариационные и вариационно-разностные методы................. |
247 |
|
|
|
1. |
Проблема приближения....................................................................... |
247 |
|
ч |
2. |
Методы, основанные на применении вариационных прин |
253 |
|
|
|
|
|
ципов ............................................................................................................ |
|
|
I |
3. |
Метод Я-функций Рвачева................................................................. |
259 |
|
§ |
4. |
Вариационно-разностный метод построения разностных |
||
$ |
5. |
схем |
......................................................................................................... |
267 |
Основы метода конечных элементов (М КЭ)............................. |
270 |
|||
§ в. |
Формальное .............................описание конечного элемента |
277 |
||
Глана |
7. |
Некоторые методы решения задач теории упругости |
и |
|
§ |
1. |
пластичности............................................................................................ |
266 |
|
Метод ....................................................................распада разрывов |
286 |
|||
§ |
2. |
Разностный ...............................................................метод решения |
291 |
|
§ |
3. |
Методы ...........................................................теории потенциалов |
296 |
|
§ 4. |
Методы ..........................................................................Монте-Карло |
299 |
||
§ |
Г>. |
Метод ...........................................................................................блоков |
309 |
|
§ |
6. |
Особенности численного решения задач теории малых уп |
||
|
|
ругопластических .........................................................деформаций |
314 |
|
Г лава |
8. |
Методы .....................................................теории вязкоупругости |
317 |
|
$ |
1. |
Метод ..........преобразования Лапласа и ^-преобразования |
317 |
|
$ |
2. |
Метод ...........................................................укорачивания памяти |
320 |
|
§ 3. |
Метод ..........................................................................аппроксимаций |
322 |
||
§ |
4. |
Метод ....................численной реализации упругого решения |
323 |
|
§ |
6. |
Неоднородные ....................задачи линейной вязкоупругости |
324 |
|
§ |
6. |
Вязкоупругие ............................................композиционые среды |
327 |
|
$ |
7. |
Задачи .............................нелинейной теории вязкоупругости |
333 |
|
$ |
8. |
Связанные ...................................задачи термовязкоупругости |
330 |
|
Приложение I. ......................................................................... |
Дельта - функции |
341 |
||
Приложение II. ......................................................... |
Преобразование Лапласа |
343 |
||
Приложение III. ........................................................................^-преобразование |
349 |
|||
Приложение IV. .................................................Формулы Тензорной алгебры |
351 |
|||
Приложение V. ............... |
Соотношения между упругими постоянными |
354 |
||
Литература....................... |
|
355 |
||
Предметный указатель .............................................................................................. |
362 |
|||
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
За время, прошедшее после выхода в свет первого издания книги, в развитии численных методов произошли существенные изменения. Сформировалось новое научное направление — вы числительная механика деформируемого твердого тела, целью которого является получение решения задач с заданной степенью точности с помощью Э ВМ . Создаются методы, позволяющие на иболее эффективно использовать преимущества новых поколений ЭВМ . С увеличением числа решаемых уравнений приходится отказываться от ряда методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении сравнительно небольшого числа уравнений. В са мом деле, если для решения системы линейных алгебраических уравнений второго или третьего порядка можно обойтись мето дом Крамера, то уже для решения системы 30 уравнений на Э ВМ с быстродействием 1 миллиард операций в секунду потребуется времени в 1.5 миллиарда раз больше, чем время существования Земли [82]. Поэтому очевидно, что говорить об универсальности того или иного метода, например метода конечных элементов, наиболее распространенного среди инженеров, не имеет смыс ла. Разумеется, не претендуют на универсальность и методы, излаженные в настоящем издании.
Во втором издании из гл. 7 исключен параграф, посвящен ный численному решению задач механики упругих композитов (в связи с выходом в свет книги Б .Б . Победри «Механика ком позиционных материалов»), добавлены три новых параграфа, в которых описываются новейшие достижения вычислительной ме ханики. Расширен список литературы и исправлены некоторые опечатки и неточности.
то получим бесконечное произведение
2 2
(0.6)
Д Д Д Я ' , / 2 + ч/5 Т 7 2
Л ля каждого приближения (т.е. учета нового сомножителя) здесь придется вычислять квадратные корни хотя бы описанным выше алгоритмом (0.1), но зато после 8-го приближения получим 4 верных знака, а после 15 приближений — 9 верных знаков.
Итак, возникает проблема: к результату, который нам нужно знать с наперед заданной точностью, следует добраться с на именьшими затратами. Условно ее решение можно разбить на несколько этапов:
1)постановка задачи, т.е. математическая формулировка сути изучаемого явления;
2)доказательство корректности постановки: существование решения, его единственность, непрерывная зависимость от вход ных данных;
3)дискретизация задачи, замена ее на более простую, допуска ющую решение численными методами. Доказательство коррект ности приближенной задачи и ее «близости» к исходной задаче;
4)выбор метода решения и оценка его эффективности;
5)программирование и решение на ЭВМ ;
6)анализ численных результатов. Сравнение с экспериментом, другими решениями.
В идеале механик должен был бы работать только на первом и последнем этапах, а в промежутке ему могли бы помочь математик (2-й этап), вычислитель (3-й и 4-й), программист (5-й). Но, увы! Практически на всех этапах в работу должен вмешиваться
механик. Бму-то и адресована настоящая книга, чтобы помочь в какой-то мере приступить к выполнению третьего и четвертого этапов.
Книга основана на лекциях, которые автор читал начиная с
1969 г. на механико-математическом факультете М ГУ |
по кур |
сам «Теория упругости и пластичности» и «Основы |
методов |
вычислений».
Книга состоит из двух частей. В первой очень кратко из лагаются основы механики деформируемого твердого тела, а но второй — основы методов вычислений, приспособленных для м<-хаников-прочнистов.
Автор с удовольствием учтет все замечания читателей, на правленные на улучшение содержания книги. Он благодарит •<>грудниц механико-математического факультета Л .С . Харькову, II И. Трупашеву, В.И . Ш естакову и Э.А. Победря за помощь в оформлении рукописи.
Часть 1
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МДТТ
§ 1. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Мы будем рассматривать, как правило, трехмерную сплошную среду, занимающую объем V, ограниченный поверхностью Е. Движение такой среды обычно описывается уравнениями
3 = 2(Я ,*), |
(1.1) |
где х — радиус-вектор пространственного положения частицы, которая в начальный момент времени 1 —10 занимала положение X , т.е.
г = 2 (*,< в). |
(1 -2) |
Такой способ описания движения называется лагранжевым. Его обычно используют в М ДТТ, тогда как в механике жидкости и газа более распространен эйлеровский способ описания, когда следят за изменением характеристик в некоторой фиксированной точке пространства. Вектор перемещения и частицы определяется разностью
и = х ( Х ,1 ) - Х , |
(1.3) |
а вектор скорости этой частицы
в = « ( * ,« ) = * ( * ,< ) , |
(1.4) |
где точка обозначает частную производную по времени. Вектор ускорения хЬ определяется следующим образом:
п> = х (Х ,1 ) = и'(Х ,1). |
(1.5) |
Мы будем считать, что введена некоторая система координат Х{ (г = 1,2,3) с локальными векторами базиса е,- и взаимного бази
са ? . Представим градиент вектора перемещений по координатам
Х{ в выбранном базисе следующим образом:
Сгах1и = и]е,- ® ? . |
(1.6) |
Тензор (1.6) в литературе известен под названием тензора дисторсии, или тензора градиента деформации [29]. В дальнейшем мы всюду будем считать, что выполняется условие
|Сгас1и|«1. (1.7)
Если условие (1.7) соблюдено для всех точек среды и для любого момента времени, то деформации считаются малыми. В этом случае пространственные координаты х частицы отличаются от материальных координат X на бесконечно малые величины. Не оговаривая особо, мы будем обычно подразумевать, что систе ма координат Х{ является прямоугольной декартовой, а запятая перед индексом означает частное дифференцирование по соответ ствующей координате. Разумеется, нетрудно дать обобщение на произвольную криволинейную систему координат. Мы будем ши роко пользоваться и безындексной инвариантной формой записи. Так как система координат считается всюду фиксированной, то мы будем иногда называть тензором а и систему его компонент в у .
Следует заметить, что в случае малых деформаций интерпре тация вектора перемещений (1.3) во многих случаях теряет смысл, ибо лагранжевы и эйлеровы координаты в таком случае совпа дают и перемещения можно рассматривать лишь как векторное поле, определенное в евклидовом пространстве Кз [84]*.
Разобьем тензор дисторсии на симметричную и антисиммет ричную части:
Щ,1 — |
+ и \}> |
(1.8) |
|
= |
1, |
+ Ч;,*)> |
(1.9) |
2 К |
|||
ша = |
1 / |
; - «;,*)• |
(1.10) |
2 К |
|||
* Поэтому следует с осторожностью относиться к высказыванию некото рых авторов, что в результате малых деформаций некоторые две первона чально различные точки совпали [85].
Симметричный тензор е называется тензором малых деформа ций, а его выражение через вектор перемещения (1.9) называется соотношениями Коши. В безындексной записи эти соотношения можно записать в виде
е = Ве1а. |
(1.11) |
Антисимметричный тензор и называется тензором поворота. С ним однозначным образом можно связать осевой вектор вращения
ш = ^ го! и, |
•*«*,/, |
(1-12) |
|
следующим образом: |
|
|
|
~ |
шц = |
(1.13) |
|
Упражнение 1.1. Доказать тождества |
|
||
|
= ей,] |
~ екз>{, |
(1.14) |
~ &к},I = ($И&)т |
&1т&}1)$к1,т — (%}п(1т.пек1,т- |
И (1.15) |
|
Пусть теперь известны как функции координат величины г,у(х). Требуется найти перемещения Тогда на (1.3) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для трех неизвестных функций и,(2) при заданных «начальных» условиях. Например, пусть в неко торой точке Мо с координатами я® заданы два вектора: 5® и <3®. Разумеется, задача интегрирования этой системы дифференци альных уравнений не всегда выполнима. Введем тал называемые условия их интегрируемости. Рассмотрим сначала односвязную область и в ней точку М0 с координатами я®. Пусть в этой точке известны перемещение и® и тензор поворота и>?.. Тогда перемеще ние в любой точке М можно выразить следующим образом:
мм
м, = и® + I <1щ = |
<%], |
(1.16) |
Мо Мо
где интеграл берется по любому непрерывному пути, лежаще му внутри рассматриваемой области. Применим к последнему