книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfи = |
’ = о-ш + е —1 |
(8.46) |
|
1 - 2 ы ‘ |
|
Упражнение 8.6. Показать, что для того, чтобы оператор Е был симметричным, необходимо выполнение условия
/ |
о>(1 — 2ы) |
1 —1/ |
\ |
... . |
V |
а; + е — 1 |
(1 + !/)[!/- е(1 + »/)]/ |
|
|
Упражнение 8.7. Показать, что для Того, чтобы величина
(8.48)
была положительно определена, необходимо, чтобы кроме условий (8.47) выполнялись условия
| <и/ < 1, |
(8.49) |
причем параметр е должен выбираться следующим образом:
е ^ 1 - о > . |
(8.50) |
Упражнение 8.8. Показать, что область (8.49) для и/ мснсно расширить:
и > о>о, |
(8.51) |
где шо « —0.27981 является корнем уравнения
(ш+ 1)(4ы — 5а>2 — 1) =. 15(1 —ш)(ш — и>1)(ш2 — а>), |
(8.52) |
||
= 4-\/5б |
’ |
= 4 + у/Ш |
(8.53) |
15 |
|
|
|
Глава 2
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДЫ
§ 1. УПРУГАЯ СРЕЛА
Определим упругое тело следующим образом. Обратимая среда, в которой термодинамическими параметрами состояния являются температура Т и тензор деформации е, называется упругой средой.
То, что в этом определении говорится об обратимой среде, означает, что функция рассеивания IV* —0. Из предположения о параметрах состояния следует, что всякую термодинамическую функцию состояния, например свободную энергию ф(Т, е) можно представить в виде
ф = фо(Г) + ф,(ет ),
где
ет = е —ад .
Упражнение 1.1. Показать, что из (1.1) следует
дф _ |
дф0 |
дфх |
дфо |
дф |
д т ~ ~ д т ~ |
Щ |
а 0 ~ ~ д Т ~ |
д е Г а *>’ |
|
д 2ф |
д 2ф0 |
д 2ф |
^ |
|
д Т 2 |
“ д Т 2 + |
де]}де11а,}0““ ' " |
||
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
В силу представления (1.1) из результатов § 5 гл. 1 следует (см. формулу (5.17))
дф
(1.5)
а * ~ РЩ '
Отсюда и из формул (5.20), (5.21) гл. 1 получим выражения теп лоемкостей ср и с„:
„ |
_ |
грд2фо |
( 1.6) |
Рр |
|
~рт~дТ^' |
|
|
|
||
РсV = ~ р Т ~ РСР |
^ |
а >]а Ы РСР ~ То |
0сг)&к1• (Т7) |
Из (5.25)гл. 1 получим выражение энтропии
Т |
я |
( 1 .8) |
р Н = рср Ь — + (Т^Оц; |
рСр— Ь 0)} ОЦ]. |
|
■IО |
-10 |
|
И наконец, из (5.26) гл. 1 следует уравнение притока тепла для упругой среды
рерТ = (А^ТД,- - Т а ^ 0 ^ + р^. |
(1.9) |
Как следует из (5.43) гл. 1, последние уравнение может быть линеаризовано:
рерТ' = (АуТД,- - Т0а у < + р^. |
(1.10) |
Используя связь между теплоемкостями (1.7), можно записать уравнение (1 .10) в виде
рСр Т = (А 5ТД , - Т0Щ - а ,^ ы + рд. |
(1.11) |
Всюду ранее мы предполагали тензор а потенциальным, т.е. в данном случае должна существовать скалярная функция ИДс), называемая упругим потенциалом, такая, что
°Ч> |
д Щ |
(1 .12 ) |
|
дбг} |
|||
|
|
Как видно из (1.5), при изотермических процессах, т.е. когда $ = 0, упругий потенциал совпадает со свободной энергией:
Щ = рф. |
(1.13) |
Нетрудно видеть, что если рассматриваются адиабатические про цессы, то в уравнении (2.31) гл. 1 рд = 0, д, = 0 и мы получим
01} —Р |
дц |
(1.14) |
|
деп |
|||
|
т.е. при адиабатическом процессе упругий потенциал совпадает с внутренней энергией:
Щ = рУ. |
(1.15) |
В общем случае мы введем в рассмотрение так называемый тер моупругий потенциал Ж, зависящий от тензора ет, причем
«ц = |
IV = Щ е ? ). |
(1.16) |
В линейно-упругой среде определяющие соотношения должны быть линейными.Это будет достигнуто, если выражение термоуп ругого потенциала считать квадратичным:
^ = \ с т ^ тк1. |
(1.17) |
Тогда закон связи между напряжениями и деформациями в ли нейно-упругой среде (закон Гука), как следует из (1.16) и (1.17), имеет вид
оц — |
- а ^ д ) |
(1.18) |
и обратно |
|
|
= Луи®*! + аы$. |
(1.19) |
|
Как было указано в § 4 гл. 1, |
называется тензором модулей |
|
упругости, а <7^*1 — тензором упругих податливостей. |
Введем |
|
тензор второго ранга 0 и скаляр 0 |
следующим образом: |
|
0%) ~ Сцк1а к1> |
0 —01]°Ч]- |
(1-20) |
Тогда определяющие уравнения линейной упругости (1.18) можно записать в виде
<тц = |
— 0^0, |
(1 -2 1) |
а связь между теплоемкостями ср и с„ (1.7) для линейной упру гости — в виде
Упражнение 1 .2 . Используя формулы (4.22), (4.32) и (5.10) гл. 1 , показать, что для изотропной среды
0ц = а(ЗА + 2ц)6ц, 0 = За2(ЗА + 2ц) = 9а2К. |
(1.23) |
Упражнение 1.3. Используя формулы (4.24) и (5.11) гл. 1, показать, что для трансверсально-изотропной среды
0и = 022 = 2 а2 (А1 + Л2) + а|Лз,
0зз = 2а2Лз + ахЛ4 , 0 = 4а2(Лх + А2) + 4с*ха2Лз + » 2Л4. (1.24)
Упражнение 1.4. Используя формулы (4.26) и (5.12) гл. 1, показать, что для ортотропной среды
0и = “чАб + «гЛх + азАз, / ? 2 2 = ахЛх + с*зЛ7 |
+ «зАз, |
0зз = сцАз + а2Лз + 01 3 Л4 , |
(1-25) |
0 = а2Лб + а2Л7 + азЛ82а!а2Л1 + 2ахазЛз + 2а2азА$.
Упражнение 1.5. Показать, что для изотропной среды урав нения (1 .2 1 ) имеют вид
<7 ,-^= А06ц + 2Ц&1] —а(ЗА -|- 2ц)6ц. |
(1.26) |
Упражнение 1.6. Показать, что для трансверсально-изотроп ной среды уравнения (1 .2 1 ) имеют вид
<7и = (Ах + 2А2)ехх + Лхе22 + Лзезз —0ц0,
а22 = АхСхх + (Ах + 2А2)е22 + Лзезз —Д221?,
®зз = Лз(ех1 + е22) + А4 &зз — 0зз0, |
(127) |
о-12 = 2Л2сх2, о-13 = 2Л§ехз,
<?23= 2Аз^зз-
Упражнение 1.7. Показать, что для ортотропной среды со отношения (1 .2 1 ) имеют вид
<7ц = Л$ех1 + Лхе22 + Азезз —0ц0, |
|
|
<722 = ЛхСхх + Л-7^22 + ^8^33 — 0220, |
|
|
<гзз= Лзец + Л8е22 + А4езз - 0зз0, |
(1.28) |
|
<712 = 2Л2е12, |
||
|
||
<713 = 2А5513, |
|
|
<72з = 2Лэе2з- И |
|
При выводе соотношений (1 .2 2 ) мы п о л ь з о в а л и с ь выражениями
Сцы = |
д<ту _ до-у |
(1.29) |
|
деы |
|||
|
Эти выражения справедливы при постоянной температуре. Поэ тому модули Суы называются изотермическими. Однако можно дать определение так называемым адиабатическим модулям уп ругости
|
(и о ) |
Для их вычисления из выражения энтропии (1.8) |
|
рН = рср— + А ,еу — 0Ф = рсь — + |
(1-31) |
выразим д и подставим в (1.21).Тогда получим |
|
*ц = Сцыеы - ~ г { Н - Днем). |
(1.32) |
рСу |
|
Отсюда и из (1.30) |
|
С $ . = СцЫ+ ~ Р ц Р ы . |
(1.33) |
Исходя из общих постановок задач М ДТТ, приведенных в $ 5 гл. 1, дадим постановку задач теории упругости, или, как обычно говорят, «упругих» задач.
Связанная динамическая нестационарная задача линейной те ории термоупругости для анизотропной неоднородной среды зак лючается в интегрировании трех уравнений движения
Рих = рР{ + (Суц»*,! - 0Ду)«; |
(1-34) |
|
и уравнения притока тепла (1.11) |
|
|
рс„Т = (А,^Т; )|,- — То0ыик1 + до |
(1.35) |
|
при выполнении граничных условий |
|
|
«. к = «?(*, О, (СцыЩ,1 - О Д Ы * |
= $?(*, 0. |
(!-36) |
+ ЬЫт = 7*<«>СМ), ,= |
1,2, |
(1.37) |
76
и начальных данных:
при |
* = <0 |
II,- = Щ(2 ), и;. = К'(х); |
(1.38) |
при |
I = 1а |
Т = То{х). |
(1.39) |
Заметим, что связанные задачи в линейной теории упругости чаще всего представляют академический интерес, ибо величина То/Зы«к|, входящая в (1.35), значительно меньше остальных чле нов. Поэтому практический интерес представляет рассмотрение несвязанных задач термоупругости. А для таких задач, как бы ло указано в конце § 6 гл. 1, после решения отдельно задачи теплопроводности, т.е. уравнения
РЪТ = (\ Т .Т ^ + р9 |
(1.40) |
с граничными условиями (1.37) и начальными данными (1.39), мо жет быть решена динамическая задача упругости в перемещениях для изотермических процессов, т.е. система уравнений
ри\ = рР* + (Сг}ыик>,)^ |
(1.41) |
с граничными условиями
И | | е = « ° , Сх)к1Щ,1^ | в г = 5 * ° |
( 1 - 4 2 ) |
и начальными данными (1.37). Звездочку у величин рР* и 5-°:
Р р ; = рР х - { № ) ) ; , 5?° = 5? + Щ п } \ ъ , |
(1-43) |
мы будем опускать, и только если понадобиться рассмотреть неизометрические процессы, мы вспомним о выражениях (1.43).
Лля однородной среды оператор Ь:
1>хк = Сцк& д] , |
(1.44) |
называется оператором Ламе, а оператор /:
(1.45)
— оператором напряжений.
Упражнение 1.8. Локазать, что для изотропной среды опера торы Ламе Ь и напряжений I имеют соответственно вид
1>ц = (А + р)дгд} + р М А , |
(1.46) |
|
1ц —Ап*д> + |
+ рйцпкдк- Я |
(1.47) |
С помощью оператора Ламе можно сформулировать поста новку задач теории упругости для однородных сред.Например, статическая задача теории упругости заключается в решении уравнений
Ь и + р Р — 0, + рР{ = 0 (1-48)
(которые называются уравнениями Ламе) при выполнении гра ничных условий
«»Ы, = «;, = 5?- (1-49)
Лля того чтобы дать постановку задачи теории упругости в напряжениях, нужно выразить условия совместности деформаций
(1.22) гл. 1 |
|
—^гк1^тп^кп,1т —О |
(1.50) |
в напряжениях.
Упражнение 1.9. Выражая в формулах (1.39) гл. 1 деформации через напряжения по закону (1.19) для изотермического случая и считая среду однородной, доказать, что уравнения совместности
в напряжениях имеют вид |
|
Д^тп = 0тпк1&к1г |
(1.51) |
где |
|
Фтпк! = Стпг] (^рк1^р®] + <^]рк1^р^г ^р^к^^р^д%д^). |
(1.52) |
Упражнение 1.10. Подставляя в формулу (1.39) гл. 1 соотно шения, обратные к (1.26), и считая среду однородной, доказать,
что справедливы уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
+ т— 0 |
-г— |
|
Д66у + — |
н |
|
+ АТбц) = |
|
1 +»/ |
1 + и |
|
1+ |
|
|
||
|
<Г*к,к1 + |
|
|
|
(1.53) |
||
|
1 |
— V |
2аЕ |
ДТ. |
(1-531) |
||
|
1 |
—А е + 2т— |
|
||||
|
+ н |
1 + 1/ |
|
' |
|||
Упражнение 1.11. Выражая в уравнениях движения (6.16) гл. 1 деформации по закону (1.19) для изотропной однородной среды, доказать справедливость уравнений
а гк ,к ] + <Т}к,кг — - ^ [ а - Е Т в у - + |
( 1 + |
— |
|
Е |
|
|
(154) |
ач,Н = |
- |
• ■ |
(1 -55) |
Итак, в случае динамической задачи мы имеем уравнения движения, выраженные в напряжениях (1.54), и уравнения сов местности, выраженные в напряжениях (1.52).Лля статической задачи имеем те же уравнения совместности (1.52) и уравнения
равновесия |
|
<ГЦЛ + рЪ = 0. |
(1.56) |
В уравнениях (1.53) можно освободиться от правой части с по мощью выражений (1.54) и от АО с помощью (1.531) и (1.55). Тогда получим
Аоч + |
+ |
+ |
+ ~ГГ7.Рк’к&1> = |
|
|
|
|
1 - |
1/ |
Е ( 1-1/) |
4 Е |
ч |
1- |
1/ |
|
а Е |
а Е |
_ |
(1.57) |
-------АГбц |
Т + й Т'**' |
|||
1 |
— V |
|
||
Итак, статическая задача теории термоупругости заключает |
||||
ся в решении уравнений совместности |
|
|
||
1 |
|
|
ои |
|
А<т0' + |
+ |
+ * Ь ) + ~}~^Рк‘к6ч + |
||
осЕ |
а Е |
|
(1.58) |
|
+ 1------ЛТ8ц + Т- г - Т ц = 0 |
||||
1 —1/ |
1 + */ |
' |
|
|
при удовлетворении уравнениям равновесия (1.56) и граничным условиям в напряжениях
в = 5?. |
(1.59) |
Динамическая задача термоупругости заключается в решении уравнений (1.54), (1.57) при удовлетворении граничным условиям (1.59) и некоторым начальным данным (6.18) гл. 1.
Как следует из § 8 г л. 1, можно дать и другую постановку задачи теории упругости в напряжениях. Для изотропной среды нужно решить шесть уравнений относительно шести независимых компонент тензора напряжений:
ДЯу + о)0,7- — еДвйу + а(<Г(*,ь; + <Т}к,кг) + 6о-ы,ы<^+ |
|
||
+ (а + 1 |
+ * Ь ) + (а + 1)~^ _ 2^ рЕк,к&ц — 0, |
(1.60) |
|
|
|||
где |
6 = ш + е — 1 |
ы = 1 |
|
|
(1.61) |
||
|
1 — 2ы а, |
1 + |/' |
|
Пусть выполнятся граничные условия (1.59) и
(*н+рГ{)я = о. |
(1 .62) |
Если в (1.6) положить а = е = 0, то получим уравнения БельтрамиМичелла.
Лля того чтобы доказать единственность решения статической задачи теории упругости (1.48), (1,49), воспользуемся теоремой, доказанной в § 7 гл. 1. Лля этого нам нужно только показать, что для упругой среды удовлетворяется неравенство (7.60). В нашем случае оно принимает вид
^ |
гп > 0, |
(1.63) |
где к — произвольный симметричный тензор второго ранга. Но (1.63) представляет собой не что иное, как требование положитель ной определенности тензора модулей упругости. Следовательно, если это требование выполнено, то решение задачи теории упру гости (1.48), (1.49) может быть только единственным. В часности рассматривая изотропную среду и выбирая в качестве тензора к тензор деформации е, имеем
А02 -(- |
в2 + 2реуву > 0. |
(1.64) |
Отсюда следует, что единственность имеет место при выпол нении условии
р > 0 , |
(1.65) |
Лля доказательства единственности решения динамической задачи предоложим, что существует два таких решения их и игЛля разности этих решений и = 3| —й2 имеем однородную задачу, т.е. однородные уравнения движения Ламе
(1-66)
однородные граничные условия
Щ|е , = 0, Ц] и7- |е 2 = 0 |
(1.67) |
и однородные начальные условия
при 1 = 0 и, = 0, и( = 0. |
(1 .68) |