книги / Общая термодинамика.-1

Часть потока h в размере 1ц может теряться непроизводительно или тем или иным методом переноситься в термодинамическом пространстве, например из некоторой данной системы в другую. Если к другой системе этот поток прибыл без потерь, то, приняв h i = /2* следует записать для случая взаимопревращения потока второго рода в поток третьего рода соотношение вида

(12.9)

В (12.9) член /22 представляет собой некоторого рода собственный поток (возможно, по крайней мере в некоторых случаях, к таковому отнести потерю потока при переносе его из данной системы в дру­ гую), а /23 есть поток, превращаемый в поток третьего рода.

Поясним обобщенную ситуацию, определяемую (12.9) и (12.1), на примерах. Один из них — трансформатор (идеальный): одной его части соответствует (12.2), когда электрический ток превраща­ ется в магнитный поток, а другой — (12.9), в соответствии с кото­ рым магнитный поток вызывает вторичный электрический ток. В электротехнике различие между первым током и вторым принципи­ альное, что нашло выражение в разных их определениях. В термо­ динамике же переносов возможно назначить правило взаимосвязи соотношений типа уравнений (12.9) и (12.1). Переносы, определяе­ мые одновременно соотношениями вида (12.1) и (12.9), когда поток одного типа вызывает поток другого типа через некоторый поток «промежуточного» типа, будем называть ступенчатыми. Таким об­ разом в электрическом трансформаторе осуществляется ступенча­ тый поток, где в качестве «промежуточного» потока выступает магнитный поток (положим, например, что он от первой катушки трансформатора ко второй поступает без потерь). В трансформато­ ре, как известно, происходит и выделение тепла. Метод построения уравнений ступенчатых переносов позволяет учесть и тепловой по­ ток, который эквивалентен «собственному».

12.4. Другой пример — взаимодействие излучающего колеба­ тельного контура и такового, выступающего в качестве приемника этого колебательного излучения (то, что излучение именно колеба­ тельное, не вносит в термодинамическое рассмотрение трансформа-

то^а и контура ничего принципиально нового, хотя должно учиты­ ваться). Нет необходимости много говорить о том, что последую­ щее усиление принятого излучения есть техническое решение конкретной практической задачи (иногда может потребоваться и ре­ шение обратной задачи ослабления принятого излучения), не изме­ няющее термодинамической сути ступенчатого переноса.

12.5. В соотношении потоков, определяемом (12.9), имеет место такое же эквивалентное их превращение, которое уже было рас­ смотрено pjlii обсуждении (12.1). Поэтому для этих систем уравне­ ний можно не вводить коэффициенты эквивалентности, элементар­ ное содержание которых дано в (12.2), (12.4)—(12.8). Вместе с тем следует отметить, что в (10.9) так называемой собственной частью потока третьего рода, которая, выступая как бы самостоятельно, вызывает соответствующие термодинамические явления третьего рода, является поток /33. С учетом сказанного в конечном счете всегда для ступенчатого переноса можно записать

Говоря об эквивалентности, в соответствии с (12.1) и (12.9) пред­ полагается, что имеет место идеальное эквивалентное превращение, в котором участвуют потоки I \ , h , /3 (или их строго определенные этими системами уравнений части). Вместе с тем возможно пред­ ставить и более сложные ступенчатые переносы. Например, упомя­ нутый выше электрический трансформатор, выделяющий в процес­ се работы и тепловой и электромагнитный потоки.

Термодинамика переносов позволяет последовательно рассмот­ реть ступени переносов (их в данном случае две, но может быть и больше) и дать корректное определение термодинамической сути коэффициента эквивалентности в (12.10). Следует заметить, что ес­ ли учтены и описаны термодинамическим языком все явления, в том числе так называемые побочные, то может быть достигнуто их полное термодинамическое описание.

Закон сохранения и эквивалентного превращения переносов ут­ верждает, что перенос не может возникнуть из ничего и пропасть бесследно. Одна из форм аналитического выражения этого закона представлена системами уравнений (12.1) и (12.9) при условии со­ блюдения (12.2), (12.7), (12.8).

12.6. Во взаимодействии типа взаимодействия контуров (в част­ ности, одностороннем, необратимом, как в случае отношения, на­ пример, радиоизлучателя и радиоприемника) выделим случай, когда

не весь поток одного рода превращается по (12.2) в поток другого рода, но лишь его некоторая часть. В самом общем случае, испо­ льзуя в качестве исходного соотношения (12.2), следует писать

пт

Иными словами, первичный поток может формироваться по при­ нципу аддитивности как сумма некоторых отдельных потоков этого рода, выступая вместе с тем как единый поток. Но принят он мо­ жет быть как полностью одним или несколькими приемниками, так и частично, также одним или несколькими приемниками. Поэтому необходимо в (12.11) учитывать долю принятого потока 0зь запи­ сав для этого случая уравнение переноса

12.7. В некоторых случаях бывает необходимо раскрыть термо­ динамическое содержание (12.10), представив его, используя (6.4), как

В случае единства природы параметров в (12.14) для линейного процесса, например, можно переписать это уравнение как

12.8. Простейший случай использования (12.15) — электрический трансформатор (идеальный в термодинамическом смысле этого определения), когда напряжение (электрический потенциал) во вто­ ричной обмотке пропорционально таковому в первичной:

12.9. Термодинамический метод в идеале выделяет топько две (объединенные в одну, причем иной нег) взаимодействующие тер­ модинамические системы: данную (') и другую ("). Однако данная система, взаимодействующая с другой по термодинамической силе, может быть представлена конечным числом п данных систем (од­

То же самое следует сказать и о другой системе:

т

В том случае, когда данная система является единственной, а дру­ гих систем (внутри единой) много, то следует выделять взаимо­ действие определенной т-й другой системы с соответствующей частью данной системы (тогда вопрос взаимодействия другой части данной системы не рассматривается). Для этого случая

(12.19)

Соответственно можно представить взаимодействие данной и другой термодинамических систем по экстенсивному параметру.

12.10. Сделав уточнения (12.17)—(12.19), вернемся к обсуждению взаимодействующих термодинамических систем, представленных колебательными контурами. Положим, что в качестве излучателя выступает одна данная система. Если есть только одна другая сис­ тема (третьей не дано), то их любое взаимодействие не может не подчиняться закону сохранения термодинамического действия. Если же других систем конечное число и все они известны (т. е. могут быть определены соответствующими термодинамическими пара­ метрами), то ничто не мешает решить уравнение

( 12. 20)

т

Но если среди многих других систем известна лишь одна /я-я, то следует пользоваться только локальным уравнением (12.19). Неоспоримая справедливость его (при принципиальной однокачественности всех других т - 1 систем) основывается на законе сохра­ нения термодинамического действия, т. е. законе сохранения и экви­ валентного превращения переносов.

12.11.Как уже отмечалось выше, если взаимодействует данная

идругая системы, то всегда возможно выделить основную ступен­ чатую взаимосвязь потоков, определяемую (12.10). Последнее урав­ нение определяет явление ступенчатого переноса из данной системы в другую (третьей не дано) в самом общем термодинамическом виде.

12.12. Продифференцируем (12.10) по времени с учетом измене­ ния потока по закону кинетики первого порядка. Для термодинами­ ческих одинаковых в этих двух системах /-х потоков запишем

где Мп = uxkig\ kig — константа скорости первого порядка.

Это уравнение полезно при описании взаимодействия двух коле­

использовании понятия потенциала в электротехнике из (12.21) при равенстве индуктивностей в системах получаем соотношение потен­ циалов

Таким образом, поскольку Кзх < 1, электрический потенциал в другой системе в расчете на единицу длины проводника (на один тождественный контур) всегда меньше исходного. Из (12.22), не различающего электрический потенциал и градиент электрического потенциала, не видно пути получения, например соотношения Езз/Е{ > 1. Но если строже следовать (12.21) и в понятии градиент различать число витков п (пх — длина провода, х — длина витка) указывающее на разные значения /7*, то получаем

Уравнение (12.24) показывает возможность управления величи­ нами потенциалов во взаимодействующих системах: числом витков,

ав самом общем случае по (12.21) — величинами градиентов.

13.Двумерные градиентные соотношения

13.1.Еше раз обратимся к электротехническому опыту, хотя в конечном счете будет вновь сделано дедуктивное по своей сути построение. Конкретный опыт говорит о том, что между разноз­

начными полюсами магнитов или электрическими зарядами взаи­ модействие в форме некоторого рода переносов происходит как по кратчайшей (прямой) линии действия, так и по все более удаляю­ щимся от нее иным силовым линиям.

Данные опыта по распределению силовых линий говорят о том, что ортогонально координате х имеет место градиент переноса, происходящего по линии yz действия, т. е. имеет место двумерный градиент. Подчеркивая эту ситуацию в геометрическом простран­ стве, в первом приближении опишем явление такого вида переноса эмпирической функцией вида

dlx

Форма закона изменения градиента по координате у определяет­ ся целым рядом физических факторов. Очевидно, при специальном рассмотрении этого вопроса можно найти как конкретное, так и об­ щее его решение. В данном случае задача поиска такого решения не ставится и именно поэтому допускается эмпирический подход, задачей которого является показать принципиальную возможность получения еще одного вида градиентных соотношений.

В соответствии с (13.1) изменение потока и градиента происхо­ дит в одномерных пространствах: по координате х и ортогонально к ней по координате у. Вполне правомочно рассматривать подоб­ ным образом и явления в л-мерных пространствах и не только в декартовых координатах.

13.2. В (13.1) поток определен в соответствии с (6.4) по коорди­ нате х. Если изменение потока происходит и по координате у, то при независимости результата от порядка дифференцирования

Функцию (13.1) можно по аналогии с функцией (10.4) предста­ вить уравнением любого цельночисленного или дробного порядка. Так, для уравнения первого порядка

Здесь следует отметить, что вид функции (13.1) может изменяться от одной точки, лежащей на границе, к другой; возможно постро­

и в

ить и общее уравнение, пригодное для рассмотрения явления во всей граничной области.

13.3. Рассмотрение градиентных соотношений приводит к пред­ положению (в принципе не следующему из них) о сопряженности термодинамических параметров состояния переноса — градиентов и собственно переносов. Это позволяет ввести градиентные соотно­ шения взаимности. В качестве кинетического множителя использу­ ем не их, как в (6.3), чтобы получить (6.4), но обратную величину \/их. В однопараметрических канонических градиентных функциях это по сути в соответствии с принципом суперпозиции к изменени­ ям не приведет, но для двупараметрических систем, отправляясь от (2.15)—(2.20), в частности от (2.21), получаем сопряженное с (11.5) градиентное соотношение взаимности

где также в силу соблюдения (11.3) не может не быть равенства коэффициентов

обусловившее выбор множителя 1 /их.

Сложная каноническая градиентная функция от (13.4) по коорди­ нате у имеет вид соотношения взаимности

(13.7)

где также обязательно соблюдается равенство

Градиентное соотношение взаимности, сопряженное с (11.5), будет

Вполне очевидно, что ряд преобразований типа (11.5)—(13.5)— (13.10) может бь ть продолжен. Использование получаемых соотно­ шений взаимности позволит описывать целую группу определенных линейных и нелинейных явлений термодинамики переносов, начать разработку в дополнение к теории поля, теории термодинамических пространств на базе нализа как одно- и двупараметрических, тах

итрехпараметрических систем.

14.Связь равно есий и переносов

14.1.Взаимосвязь двух фундаментальных термодинамических явлений — равновесия и переноса — является основным предметом этого параграфа, хотя приводимые здесь примеры (световое давле­ ние, всемирное тяготение, тепловое излучение, кулоновское взаимо­ действие зарядов) занимают в физике столь важное место, что мо­

гло показаться заманчивым уделить внимание • только им.

И все-таки соотношение равновесия (или стационарного состоя­ ния) и переноса (нестационарного состояния), думается, существен­ нее, ибо термодинамическое обобщение этих законов открывает но­ вые возможности анализа известных явлений и поиска новых. В данном же случае обобщение приобретает особое значение, по­ скольку ставится задача сопоставить, казалось бы, несопоставимое.

14.2. В том случае, если перенос по Я*-й координате происходит между однопараметрическими /-го рода системами (по /^-парамет­ ру), он определяется уравнением потока (6.4), которое запишем в

Положим, что явление осложнено термодинамической /-го рода силой. Уравнение такого нового состояния можно получить, испо­ льзуя принцип суперпозиции, в данном случае умножив правую и левую части этого уравнения потока на Х\. Тогда, .юсле преобразо-

где Nik — мощность потока обобщенного экстенсивного /-го рода параметра по /7*-й координате.

Явление, определяемое (14.1), является однопараметрическим в том смысле, что переносится именно 77,-параметр.

Однако возможно, что мощность /-го рода потока определяется явлениями у-го рода. Тогда для двупараметрической /, у-го рода сис­ темы (системы, для которой справедливо уравнение состояния (1.15)), сопоставляя (1.15; с (14 i), получаем уравнение потока, определяемого параметрами двух родов, /, и у:

с у-го рода параметром, изменяющимся по /7*-й координате. Суть явления, 04феделяемого (14.2), состоит в том, что мощность /-го рода потока обусловлена у-го рода силой и соответственно у, к-то рода градиентом gjk = дП]/дПк.

14.3. Закон (14.2) можно записать и в виде

NUk

(14.3)

Uk g j k

Втакой записи закон (14.2) говорит о том. что на границе данной

идругой систем /-й перенос в форме потока может вызвать возник­ новение термодинамической силы (интенсивного параметра) друго­ го, а именно у-го рода. Согласно (14.3), эта сила пропорциональна мощности /-потока (возможно назначение как / —►у, так и у -м ).

Итак, сказанное позволяет заключить, что перенос в форме по­ тока может рождать термодинамическую силу (интенсивный пара­ метр). Вся сложность определения порождаемой потоком силы со­ стоит в том, что они принципиально разной природы. Поиску си­ лы, обусловленной - потоком (и наоборот), может содействовать

описание закономерности с использованием нижних индексов при параметрах и четкое определение базовых экстенсивных параметров или, иными словами, системный анализ всех физических явлений, имеющих место в данной системе.

14.4. Рассмотрим пример, в котором поток происходит по коор­ динате ху т. е. Пк = Ху и, следовательно, Uk = их есть скорость пого-

исоответственно N^k — мощность энергетического потока.

Вэтом частном случае градиент dv/dx = о есть площадь, орто­ гональная направлению потока, что позволяет упростить (14.3) и получить

Положим, поток идет со скоростью света (их = Со), т. е. в дан­ ном случае говорим о световом потоке. Тогда, определив мощность светового потока из другой системы, приходящегося на единицу по­ верхности, возможно, рассчитать давление, производимое этим по­ током и действующим на поверхность, т. е. на данную систему. Здесь даже следует сказать строже: световой поток не может не вы­ звать давление, которое можно вычислить по (14.4).

В своем «Трактате об электричестве и магнетизме» Максвеллом впервые, как следствие электромагнитной теории света, было пред­ сказано давление света. Он полагал, что в ясную погоду солнечный свет, поглощаемый 1 кв. м. поверхности, дает 123.1 кг м энергии. Поскольку со = 3 • 108 м/сек, то по (14.4) р = 0.41 мг/м2, что совпа­ дает с расчетами Максвелла. Здесь приведены численные значения из новаторской работы Максвелла, ибо не ставилась задача приво­ дить полученные позднее более точные числа. Ссылка же на элек­ тромагнитную теорию нужна, потому что (14.4) есть частный слу­ чай (14.2), а последний обобщенный закон получить из электромаг­ нитной теории невозможно.

где Nij — мощность потока, вызываемого температурой.

Закон (14.5) позволяет предполагать, что из структурно отлич-. ной (отличие по величине энтропии, характеризующей меру связан­ ности и организованности структуры) данной системы всегда идет поток энергии, мощность которого пропорциональна температуре. Обращает внимание слабая по сравнению с известным законом