книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

По вычислениям авторов [41] критическая сила, соот­ ветствующая антисимметричной форме (39.19), действи­

тельно оказалась меньшей (р*р = 27,43). Отсюда сделан вывод о том, что потере устойчивости с распределением материала по (39.17) соответствует не форма (39.18),

аформа (39.19) (далее авторы пишут, что, следовательно,

исам закон (39.17) не оптимален).

Однако эти заключения неверны (см. [61]), поскольку

при вычислении /?*р пропущены слагаемые числителя (39.16), относящиеся к угловым точкам оси при £ = 1/4 и £ =¥=3/4. Хотя функция в этих точках не дифференцируема в классическом смысле, но ее вторая производная может быть представлена с помощью обобщенных функций типа дельта-функции Дирака и даст свой вклад в значение числителя выражения (39.16). Для корректного вычисле­ ния отношения Рэлея используем близкую к (39.19) до­ пустимую, дважды дифференцируемую функцию т]е(£), содержащую малое положительное число е:

8|2,

в отношение Рэлея приводит к появлению дополнительных

следовало ожидать — большее значение, чем при вычисле­ нии (39.16) по выражению (39.18). Таким образом, мини­

в этих сечениях. В таких шарнирах изгибающий момент заведомо равняется нулю, а это свойство нельзя «навязывать» рассматри­ ваемому здесь единому стержню, даже если высота указанных сечений стремится к нулю. Стержень с фактически имеющимися шарнирами — это другой случай, требующий и иного решения. При практическом конструировании единого стержня в сечениях £ = 1/4 и £ = 3/4 должна быть реализована хотя и весьма малая, но не равная нулю площадь сечения, а этого достаточно, чтобы ось стержня не имела переломов при потере устойчивости.

случае не равна абсолютному ускорению точки, для кото­ рого устанавливается более сложное выражение

рость подвижной системы' отсчета относительной не­ подвижной *).

Мы не будем здесь останавливаться на выборе системы координат в каждой системе отсчета — это несущественно для нашего дальнейшего изложения; отметим лишь, что наряду с декартовыми применяются сферические, цилинд­

стем отсчета как правило придается некий универсальный смысл (не только в курсах теоретической механики), как если бы оно отвечало всем разумным постановкам задач о сложном движении, iîa самом же деле в этом представ­ лении не намного больше истины, чем, скажем, в утверж­ дении, что при решении всех задач механики тела можно считать абсолютно твердыми. Существуют случаи слож­ ного движения, в которых подвижным системам отсчета естественно приписывать свойство деформируемости во

*) В действительности Кориолис получил пе кинематические соотношения (40.2) и (40.3), которые обычно связывают с его име­ нем, а пожалуй, нечто большее — основное уравнение динамики относительного движения точки с явным выделением дополнитель­ ных слагаемых (по современной терминологии — переносной и ко­ риолисовой сил инерции). Это уравнёние было опубликовано в 1835 г., когда понятия о переносном и относительном ускорениях еще не были четко оформлены, да и самого термина «ускорение» еще не существовало (он появился в механике лишь в 1841 г., в работе Понселе, завершившего выделение кинематики в самосто­ ятельный раздел механики).

Гюстав Каспар Кориолис (1792—1843) — французский меха­ ник. Профессор, а затем директор Политехнической школы в Па­ риже. С 1836 г.— член Парижской академии наук.

Жан Виктор Понселе (1788—1867) — французский математик и механик, основоположник проективной геометрии, автор ряда работ по динамике машин и гидравлике. С 1834 г.— член, а с 1842 г.— президент Парижской академии наук, с 1857 г.— членкорреспондент Петербургской академии наук. Молодой Понселе

ную производную. Первое слагаемое (40.5) имеет смысл вертикальной скорости точки оси балки, т. е. переносную скорость (если пользоваться языком гидромеханики, то левая часть (40.5) представляет собой субстанциональную скорость, а слагаемые правой части — локальную и кон­ вективную скорости).

Аналогично нужно рассуждать и при определении вер­ тикального ускорения элемента нагрузки; так Реиодо вычисляет:

Л = д_ dt2 dt

(40.6)

Первый член полученного выражения представляет собой вертикальное ускорение точки "оси балки, т. е. по совре­ менной терминологии ускорение элемента при отсутствии относительного движения — переносное ускорение. Второй член можно тЬлковать как вертикальное ускорение эле­ мента нагрузки, определяемое при условии, что изогнутая ось балки в момент времени t внезапно перестала двигать-

ся (менять свою форму); иными словами д^ есть от­

носительное ускорение элемента нагрузки.

Добавочное ускорение, выражаемое третьим членом (40.6), можно записать в виде

(40.7)

где ф — угол поворота сечения балки, dcp/dt = со —- угло­ вая скорость сечения. Эту составляющую полного верти­ кального ускорения элемента нагрузки можно условно назвать кориолисовым ускорением, если пользоваться этим термином в расширенном смысле и иметь в виду, что ю —

времени проходит рассматриваемый элемент нагрузки. Мы не будем разбирать дальнейшее решение динамиче­ ской задачи о колебаниях балки при описанном выше ее нагружении — для нас важно, что в решении задачи Ренодо по существу использована подвижная, деформируе­ мая во времени система отсчета. (Строго говоря, рядом со словами «деформируемая во времени» слово «подвижная»

становится лишним; в этих случаях, вероятно, лучше го* ворить о п р о м е ж у т о ч н ы х д е ф о р м и р у е м ы х си­ стемах отсчета, как это сделано в [57].)

В известных решениях динамических задач о колеба­ ниях упругих трубопроводов, вдоль которых протекает жидкость, ось трубопровода (изгибаемая и, возможно, растяжимая) также фактически принимается за промежу­

в момент t находилась в точке N, за' время dt переместится в точку Ni. Радиус-вектор частицы следует рассматривать как сложную функцию времени г — г[s(£), t\ так что при­ ращение радиуса-вектора частицы определяется полным дифференциалом

ж = £ * + £ & at ds

(слагаемые, входящие в правую часть можно видеть на рис. 40.2).

Таким образом, полная (субстанциональная) скорость частицы равна сумме локальной и конвективной состав­ ляющих:

__dr _ дт dr ds

V ~~ dt - T t + T s T r

Здесь ds/dt^Vr — проекция на касательную относитель­ ной скорости частицы, dr/dt = ve — переносная скорость и dr/ds = T — орт касательной к оси трубопровода в с.ечешш, через которое в данный момент проходит рассмотри-

ваемая частица жидкости. Поэтому можно написать

в которых (о — модуль угловой скорости поперечного се­ чения трубопровода, или, что то же самое ~ модуль угло­ вой скорости вращения орта касательной в данной точке оси, р — радиус кривизны и п — орт главной нормали к оси трубопровода. Тогда (40.10) примет удобный для нашего рассуждения вид

Для того чтобы выделить здесь перепоспое ускорение, нужно положить vr= 0; сделав это, найдем, что перенос­ ное ускорение we определяется первым слагаемым правой части (40.11). Относительное ускорение получим из (40.11), положим, что \е= 0 и о) = 0:

В случае стационарного течения жидкости dvjdt^ 0; если, кроме того, скорость vr не меняется вдоль оси трубо­ провода, то относительное ускорение записывается в виде

Наконец последнее, наиболее интересное для нас слагаемое

wc = 2(oz;rn

— это добавочное ускорение, которое с той же оговоркой как и в нашем обсуждении задачи Ренодо, можно назвать кориолисовым ускорением.

Таким образом, представление о деформируемых под­ вижных системах отсчета естественно возникает в различ­ ных ситуациях. Хотя оно давно и успешно используется,

но в какой-то неоткровенной форме, как если бы понятие о таких системах в принципе относилось к числу «не­ классических».

Это несправедливое положение было исправлено совсем недавно в работе Л. И. Седова [57], где изложена общая теория сложного движения точки, существенно опираю­ щаяся на плодотворное понятие о деформируемых про­ межуточных системах отсчета. Здесь поясняется, что «Промежуточную систему отсчета переносного движения можно рассматривать, как систему индивидуальных точек с вмороженными координатными линиями. Такая система точек может образовывать материальную среду — это мо­ жет быть твердое тело, жидкость, газ, плазма, облако пы­ ли или некоторый идеальный объект, вводимый с по­ мощью специальных математических конструкций». В ра­ боте [57], в частности, получено общее выражение для добавочного ускорения, определяемого через относитель­ ную скорость точки, совершающей сложное движение, а также через локальные кинематические характеристики координатного базиса промежуточной системы — угловую скорость и скорость угловой деформации этого базиса.

Укажем в заключение на один из современных техно­ логических процессов, для изучения которого было бы также уместно пользоваться деформируемой промежуточной системой отсчета — вибрационную обработку дета­ лей. Для такой обработки детали помещают в контейнер, заполненный некоторым сыпучим материалом, который обладает хорошо выраженными абразивными свойствами. При вибрациях контейнера наполнитель движется как де­ формируемое тело (сыпучая среда), относительно которой перемещаются обрабатываемые детали. В этой системе естественно связать с наполнителем промежуточную (ко­ нечно, деформируемую!) систему отсчета, тогда действую­ щие на деталь силы трения будут определяться относи­ тельной скоростью детали, а силы инерции — ее пол­ ным ускорением (включая добавочное ускорение).

Д о б а в л е н и е

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ИЗЛОЖЕНИЯ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

§ 41. Заметки о преподавании основ механики во втузах

1. Не все специалисты одинаково оценивают место, которое должны занимать фундаментальные общетеоретические дисципли­ ны в системе инженерной подготовки (здесь имеются в виду кур­ сы теоретической механики, сопротивления материалов, теории уп­ ругости, строительной механики, гидромеханики и т. п.). Различ­ ные точки зрения образуют широкий и почти непрерывный спектр, оргапиченный двумя крайними концепциями.

П е р в а я концепция: если выпускник втуза получил доста­ точно серьезную общетеоретическую подготовку, то после перехода на практическую работу он самостоятельно и быстро дойдет до понимания любых прикладных проблем и без большого труда при­ обретет (или выработает) нужные для их решения навыки. По­ этому в системе инженерного образования почти все внимание нужно уделять изучению фундаментальных дисциплин.

В т о р а я концепция прямо противоположна первой: связь фундаментальных дисциплин с практикой столь мала, что инженер прекрасно обходится без них, поэтому в системе втузовской подго­ товки на фундаментальные дисциплины нужно тратить возможно меньше времени.

Хотя эти концепции очень далеки одна от другой, но в дей­ ствительности они покоятся на общем и притом совершенно лож­ ном тезисе, согласно которому фундаментальные и прикладные дисциплины независимы и не взаимодействуют между собой. Сре­ ди читателей этой книги вряд ли найдутся сторонники второй из названных концепций, и поэтому кратко задержимся только на первой.

Ее защитники склонны утверждать (с большей или меньшей откровенностью) некий принцип автономии, согласно которому фундаментальные дисциплины — именно вследствие своей фунда­ ментальности — должны оставаться независимыми от будущей специальности, а изучение этих дисциплин должно быть направле­ но на общеинтеллектуальное обогащение студентов и не связано с профилем подготовки будущего специалиста. При этом не толь­ ко подбор примеров, но и содержание курса определяется лишь собственными внутренними нуждами дисциплины.

Этот снобизм мешает достижению гармонии, которая должна существовать между прикладными и фупдаментальпымп дисцип­ линами, и непосредственно вредит цельности подготовки будущего инженера. Для судеб общемеханических курсов такие взгляды про­ сто опасны: составители учебных планов, встречаясь с упорным