книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

дет до начала, где произойдет новое отражение и т. д. В этих условиях продольную силу в сечениях стержня нельзя считать одинаковой во всех сечениях стержня и

где Tm(t) — искомые безразмерные функции времени. Под­

решения которых должны быть подчинены очевидным начальным условиям

2\п(0)=0, Тт(0 )= 0 .

Для больших номеров яг, когда выполняется неравен­ ство т > я, решения уравнений (38.7) представляют со­

Эти составляющие общего решения (38.6) беспокойства

Любое из решений (38.9), а также сумма таких решений, описывают монотонный уход стержня от исходного состоя­ ния. В этом следует видеть проявление неустойчивости, которая естественно возникает при «сверхкритическом»

нагружении стержня. Скорости Аткт sh kmt, характери­ зующие возрастание каждого из слагаемых (38.6), не­ о д и н а к о в ы ; они зависят как от распределения значе­ ний Ат (обычно неподдающегося точному количественно­ му предсказанию), а также от значений т.

При близких значениях Ат (при их статистической равноценности) интенсивнее других будет развиваться движение, которому соответствует наибольшее значение

кт. Примечательно, что при больших значениях «пере-

ского нагружения. В следующей таблице даны значения

Таблица позволяет выделить номер наиболее быстро возрастающей, самой «ответственной» формы. Так, на­

тг2, тем выше номер той формы, которая играет опреде­ ляющую роль при динамическом продольном изгибе.

М. А. Лаврентьев и А. Ю. Ишлинский также установи­ ли, что аналогичными свойствами обладают внезапно на­ гружаемые вдоль оси цилиндрические оболочки (при со­ провождающем действии внутреннего давления). Описан­ ные в работе [25] эксперименты подтвердили правильность главного вывода о преимущественном значении высших форм продольного изгиба при внезапном продольном на­ гружении.

Вопросам динамического продольного изгиба посвящена книга Р. Грыбоша [76], где, в частности, учитываются вол­ новые .процессы, возникающие сразу после приложения нагрузки; см. также обзорную статью В. Л. Агамирова [1].

§ 39. Об ошибках в решениях некоторых задач оптимизации упругих конструкций

Теория оптимального проектирования конструкций в ее современном виде оформилась как достаточно само­ стоятельная и специфическая область теории оптимальных процессов, основы которой были заложены в 60-х годах Л. С. Понтрягиным и рядом его последователей. В послед­ нее время большое внимание уделяется, в частности, ре­ шению различных задач оптимизации спектра собствен­ ных частот упругих систем и родственных им задач о кри­ тических силах; К ним относится, например, задача мак­ симизации наименьшей собственной частоты колебаний упругой конструкции при фиксированном ее объеме.

Рассмотрим эту задачу на примере упругой балки переменного сечения, шарнирно опертой иа обоих концах, когда искомым является закон изменения геометриче­ ских характеристик поперечных сечений по длине балки. Уравнение для формы свободных поперечных колебаний и граничные условия имеют вид

(EJw" ) " — о)2рFw = 0, 0 < х ,< Z,

и;(0) = (£7и>")*=о = 0, w(Z) = (£7u>")'*=< = 0, (39Л)

где х — координата сечения, Е и р — модуль упругости и

колебаний, о 2 — квадрат собственной частоты. Примем, что сечения меняются таким образом, что момент инерции и площадь можно связать зависимостью

где с и п — постоянные, зависящие от формы поперечного

интегрировав полученное равенство. Рэлей показал, что подстановка в (39.6) любых подходящих функций rj(|) (т. е. функций, удовлетворяющих кинематическим гранич­ ным условиям) приводит к приближенным значениям ос­ новной собственной частоты, которые не могут быть ниже истинного значения; точный результат получится, если -в (39.6) подставить истинное выражение для первой соб­ ственной формы (конечно,* заранее оно не может быть из­ вестно). Этим принципом Рэлея часто пользуются в зада­ чах анализа, когда функция а(£) задана; конечно, резуль­ таты существенно зависят от заданного вида этой функции.

В рассматриваемой здесь задаче оптимизации вопрос ставится иначе — закон изменения площади сечений а(|) не задан, а является новой и, в сущности, главной неиз­ вестной, которая должна максимизировать собственную частоту £2 при условии постоянства объема (39.5).

Такая задача сводится к определению условий стацио­ нарности расширенного функционала

(39.7)

в котором к функционалу Q2 присоединено изопериметрическое условие (39.5) с неопределенным множителем Лаг­ ранжа Я. Необходимым условием максимума Q2 при усло­ вии (39.5). является стационарность функционала (39.7) по переменным а и ц.

Варьируя Ф по а и приравнивая результат нулю,

от г] и поэтому варьирование Ф по ц приводит вновь к со­ отношению Рэлея, т. е. не дает ничего нового.

Таким образом, для нахождения неизвестных функций а(|), ц(|) и чисел Q, р мы располагаем уравнениями (39.4) и (39.8), а также соотношениями (39,5) и (39.6).

Эти уравнения нелинейные и проинтегрировать их в замк­ нутом виде не удается.

Численное решение задачи для случая п = 2 было по­ лучено Ф. Ниордсоном [78], а для п = 3 — А. П. Сейраняном [59] (рис. 39.1). Функции а(|) симметричны от­ носительно середины балки; вблизи начала | = 0 они име­ ют асимптотики а (| )~ £ 2/3 при п = 2 и а (| )~ £ 1/2 при п = 3. Выигрыши в значений собственной частоты по сравнению с балкой постоянного сечения (см. штриховые линии на рис. 39.1) составляют соответственно 6,6 и 12,1%. В принципе так же ставятся и решаются задачи оптимизации для арок, пластин, оболочек и т. п.

1,0 k

Рис. 39.1. Оптимальные законы изменения площади сечения по длине

Конечно, нельзя рассчитывать, что найденное таким образом оптимальное решение удастся точно воспроизве­ сти при реальном проектировании, когда приходится счи­ таться с множеством других важных соображений (ком­ поновочных, технологических, эксплуатационных и т. п.); но такое решение создает некий «идеальный» образ, кото­ рый может служить полезным ориентиром'при практиче­ ской разработке конструкции.

К относительно сложным и практически важным зада­ чам оптимального проектирования относятся задачи опти­ мизации а э р о у п р у г и х систем, когда для крыла задан­ ного размаха и фиксированного объема нужно отыскать такой закон изменения площади сечения, при котором критическая скорость (скорость флаттера, скорость дивер­ генции) оказывается наибольшей. Отметим, что к тому же результату приводит решение двойственной задачи: опре-

делить закон а(|), который обеспечивает наименьший вес (объем) крыла при заданной критической скорости. При решении этих задач возпикли своеобразные трудности и разработаны полезные способы их преодоления, но к со­ жалению, допущены и некоторые ошибки.

Одна из них вкралась в решение, получеппое Эшли и Макинтошем [74] для крыла с идеальным профилем —

.трехслойной конструкции крыла постоянной высоты, при­ чем внутренний слой не воспринимает нормальных на­ пряжений. Авторы рассмотрели задачу минимизации веса крыла при заданной критической скорости диверген­

ции в сверхзвуковом потоке, когда давление можно счи­ тать пропорциональным местному углу атаки q> = dw/dx = ~-дц/д^ (рис. 39.2). Это .явление в безразмерных-перемен­ ных описывается следующими уравнениями:

(/мр')" + kDф = 0, (Jiф')|=о = (йф')[=0 = 0, <р (1) = 0. (39.9)

Здесь й (|)— варьируемая толщина наружных слоев, от­ несенная к высоте сечения; kD— безразмерный параметр скорости полета, зависящий также от мехапических ха­ рактеристик материала и размеров сечения.

Для вывода необходимых условий экстремума соста­

о

с пока неизвестным множителем г|;(£): 1

Ф = |{/г + 1И(йф7 + М >]}^.

о

Варьируя этот функционал по h и <р, используя затем ин­ тегрирование по частям и граничные условия (39.9),

17 я, Г. Павовко

6Ф = f (1 + фТ ) «/*dg + J [ - (АфУ + М>] 0ф dg +

Дальнейшее решение радикально упрощается, если подчинить функцию ф(|) следующим уравнениям и гра­ ничным условиям*)

( Н 'Т - М > = 0, (7 д /')^ 0= 0, ф(1) = г|/(1) = 0.

(39.11)

Действительно, в этом случае в выражении (39.10) исчезают все слагаемые кроме первого. Рассматривая его, замечаем, что ввиду произвольиости вариации бйнеобходимое условие оптимальности принимает весьма простой вид:

Таким образом, задача оптимизации свелась к решеншо уравнений (39.9), (39.11) п (39.12) для неизвестных

Однако они не проверили, удовлетворяет ли найденное решение уравнению и граничным условиям (39.11). Если проинтегрировать уравнение ф>" = —1/С с граничными ус­ ловиями (39.11), то получим

Но подстановка (39.13) и (39.14) в уравнение (39.11) приводит к противоречию:

к (39.9), поэтому ф(|) часто называют сопряженной функцией.

Ошибка была отмечена в работе [60], где приводится

струкцией постоянной толщины составляет 28,4% вместо

В случае, когда "момент инер­ ции пропорционален площади сечения (п = 1 — см. выше)

задача описывается следующими соотношениями:

<•

о

Здесь p = Pl3(cEV)~\ где Р — продольная сила. Для опре­ деления критического значения безразмерной продольной силы ркр используется соотношение Рэлея