книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

Не следует особенно удивляться тому, что в началь­ ный момент происходит с к а ч о к с к о р о с т и . Дело в том, что бесконечно малый импульс внешней силы P0dt, соответствующий первому бесконечно малому промежут­ ку времени dt, действует только на бесконечно малую массу первого («головного») элемента цепи и поэтому вызывает конечное приращение его скорости.

Можно сказать, что уже в первый момент происходит уд а р — в самом прямом смысле этого слова,— но этот удар испытывает лишь бесконечно малый элемент цепи. В са­ мом деле, количество движения названного элемента цепи после его присоединения определяется выражением qdyvjg = qvldt/g, так что согласно теореме об измене­ нии количества движения можно записать P0dt = qvldt/g; отсюда следует прежняя формула (24.12).

Продолжим решение задачи. Интегрируя (24.11):

у

t можно приближенно сохранить в полученном выраже­ нии только второе слагаемое, содержащее квадрат вре­ мени. Тогда независимо от значения Р0 получится най­ денное выше выражение (24.8). Это несколько неожидан­ ное возвращение к прежнему результату объясняется тем, что при больших значениях t сила Р0 окажется пренебре­ жимо малой по сравнению с большим весом пришедшей в движение части цепи; но, приняв PQ= 0, мы, естествен­ но, вновь приходим к задаче Кэли.

из состояния покоя. В начале движения нижний конец цепи касается плоскости. Нужно найти закон движения верхнего конца.

Вновь воспользуемся уравнением Мещерского в форме (24.1), которая относится не только к случаям присоеди-

пения первоначально покоившихся частиц, по и к слу­ чаям, когда частицы отделяются и их скорость после отделения становится равной нулю. Направим ось у вер­ тикально вверх; тогда для произвольного момента време­ ни имеем

Поскольку при падении цепи dy/dt< 0, производная dm/dt окажется отрицательной, как это и должно быть, по существу задачи. Полагая P = —qy, запишем уравне­ ние Мещерского в виде

(24.14)

Сопоставляя (24.14) с уравнением задачи Кэли (24.2), мы замечаем разницу только в знаках перед членами, со­

щенная задача отличается от задачи Кэли как бы только направлением силы тяжести: если формально заменить g в уравнении Кэли на —g, то мы также придем к уравне­ нию (24.14).

И тем не менее, при более внимательном рассмотрении уравнения (24.14) зарождаются некоторые сомнения. Прежде всего может удивить знак минус перед последним слагаемым, означающим, что реактивная сила направле­ на противоположно оси у, т. е. в ни з — так, как если бы в нижнем сечении вертикального участка цепи действо­ вала растягивающая сила (как и в задаче Кэли). Хотя физического объяснения для возникновения такой силы не видно, однако читатель, повторив выкладки, может сам убедиться, что ошибки в знаке мы не совершили.

Наши сомнения еще больше усилятся, если при со­

рис. 23.4, в). Но в таком случае движение верхнего конца цепи описывается не уравнением (24.14), а очевидным уравнением

В чем же дело? Очевидно, что при составлении урав­ нения Мещерского нами была где-то допущена ошибка, но где именно?

Внимательный читатель, вероятно, ее уже заметил — она заключена в, казалось бы, безупречном тексте, пред­ шествующем записи уравнения (24.14): «Полагая Р = = — qy...», Конечно, в нашей задаче следовало учесть, что в состав силы Р нужно включить не только вес ду, но и

§ 25. Задача Букуа

Начало формирования динамики тел переменной мас­ сы как самостоятельного раздела механики обычно отно­ сят к середине XIX века. О работах Кэли, а также его коллег по Кембриджскому университету было сказано выше, а здесь мы обратимся к более ранней и надолго забытой странице истории механики, которая лишь сов­ сем недавно была обнаружена Г. К. Михайловым [37, 38, 77].

В1812— 1815 гг. в Лейпциге и Париже на немецком

ифранцузском языках были опубликованы три брошюры пражского автора Букуа, упоминание о которых отсут­ ствует даже в самых полных курсах истории механики.

Вэтих брошюрах содержится в принципе верное изложе­ ние основ динамики поступательно движущегося тела пе­ ременной массы, а также намечено решение одной ил­ люстративной задачи; она касается движения тяжелой цепи и по своему характеру тесно примыкает к задачам, которые были обсуждены в предыдущих параграфах на­ стоящей главы.

Георг Букуа (George Buquoy, 1781—1851) был мало­ известным автором ряда небольших публикаций, отно­

сившихся к различным точным и естественным наукам и даже к политэкономии. Свои, можно сказать, люби­ тельские работы Букуа издавал и распространял в основ­ ном сам; эти довольно кустарно выглядевшие издания почти не привлекли внимания специалистов. Лишь Пу­ ассон — ровесник Букуа, но в ту пору уже академик —

вывода основных уравнений движения тела переменной массы. Но после этого упоминания имя Букуа было окру­ жено полным молчанием в течение полутора столетий — вплоть до появления упомянутых публикаций Г: К. Ми­ хайлова. Не получившие заслуженного отклика и предан­ ные долгому забвению работы Букуа, конечно, не могли

оказать влияния на последующее развитие динамики тел переменной массы и явились лишь изолированным любопытным эпизодом

чивающуюся часть цепи. Нужно найти движение конца цепи, к кбторому приложена сила.

Мы не собираемся буквально воспроизводить выклад­ ки Букуа (не будем «букуадьными» — да простился нам этот, сам напросившийся каламбур) — тем более что они остались далеко не завершенными — а будем исходить из

уравнения Мещерского (24.1), положив, что т = “ У—

масса движущейся части цепи, Р0— qy — равнодействую­ щая сил тяжести и заданной силы, у — отсчитываемая вверх от названной неподвижной плоскости координата конца цепи, •v — скорость конца цепи, q — вес единицы

*) В процессе становления почти любой науки можно встре­ тить подобные эпизоды; несмотря на их сугубо локальное значение, иптерес к ним вполне закономерен — выявление и анализ любых подробностей истории науки (и не только науки!) всегда приносят пользу, помогая лучше понять своеобразие, негладкость и даже разрывность реального хода формирования новых концепций. Впрочем, стремление к полному освещению темных страниц исто­ рии не нуждается в оправданиях — оно естественно возникает из неодолимой Тяги к правде и знанию подлинных фактов прошлого.

Как видно, в задаче Букуа коцец цепи совершает за­ тухающие колебания около равновесного уровня ус* =

- Po/q.

Интегрирование полученных выше выражений для скорости позволяет найти подробности движения на каж­ дом из рассмотренных этапов, в частности, их длитель­ ности; на соответствующих выкладках мы задерживать­ ся не будем.

§26. Задача Мещерского

Вкниге И. В. Мещерского, которая была упомянута на с. 164, можно найти разбор следующей любопытной задачи. Цепь, сложенная на верхнем столе и свисающая

^- через его край, опускаётся вниз под действием ёилы тяжести и постепен­

цепи т остается неизменной.

При одновременном црисоединении и отделении частиц уравнение Мещерского записывается в виде

Кроме ранее поясненных обозначений, здесь принято: mi — масса присоединившихся частиц, ut — их скорость непосредственно перед присоединением, т2— масса от­ делившихся частиц, и%— их скорость сразу после отде­ ления.

В момент, когда названная точка, пройдя расстояние* ft, достигла уровня нижнего стола, неравенство переходит в равенство

ch 1 = е ch ] / - H - (26.6)

Так, если речь идет о точке, которая в момент начала движения цепи находилась наверху вертикального участ­ ка (назовем эту точку п е р в о й ; для нее = 0), то для определения момента t± прихода точки на уровень ниж­

него стола имеем согласно (26.6) chl/g/hti = e. Отсюда находим ti = 1,6574Уh/g; этому результату И. В. Мещер­ ский придал более выразительную форму:

стояние ft одна от другой, то для мрмента прихода на нижний стол любой п-й точки можно записать

С возрастанием номера п длительность движения точек