книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfКОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И РАДИОТЕХНИКА
А.Н. Денисенко
ЦИФРОВЫЕ СИГНАЛЫ И ФИЛЬТРЫ
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ
МЕДПРАКТИКА-М Москва 2008
УДК 621.37 ББК 32.811 Д 332
Денисенко А.Н.
Цифровые сигналы и фильтры.
- М.: ИД «МЕДПРАКТИКА-М», 2008,188 с.
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований по проекту № 08-08-07020.
Дается обобщение методов анализа дискретных (цифровых) сигналов, методов анализа и синтеза цифровых фильтров. Известные методы допол нены оригинальными. Рассматриваются практические аспекты примене ния цифровых фильтров.
Монография рассчитана на инженеров и исследователей в области ра диотехники, может быть полезна преподавателям и студентам старших курсов радиотехнических специальностей.
© Денисенко А.Н., 2008 © Оформление: ИД «МЕДПРАКТИКА-М», 2008
ISBN 978-5-98803-131-4
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Предисловие................................................................................................................. |
5 |
1. Цифровые и дискретные сигналы ...................................................................... |
9 |
1.1. Аналоговые сигналы....................................................................................... |
9 |
1.2. Дискретные и цифровые сигналы |
13 |
1.3. Спектр дискретного сигнала. Интервал дискретизации......................... |
15 |
1.4. Дискретное преобразование Фурье, его свойства.................................... |
20 |
1.5. Z-преобразование, его свойства................................................................... |
22 |
2. Интерполяция дискретных сигналов............................................................... |
29 |
2.1. Общий подход к решению задачи интерполяции..................................... |
29 |
2.2. Степенные многочлены, многочлены Лагранжа...................................... |
32 |
2.3. Ряд Котельникова........................................................................................... |
36 |
3. Сплайновая интерполяция................................................................................. |
38 |
3.1. Кубические сплайны первой степени гладкости...................................... |
39 |
3.2. Кубические сплайны второй степени гладкости...................................... |
40 |
3.3. Локальные сплайны....................................................................................... |
41 |
4. Цифровые фильтры ............................................................................................. |
49 |
4.1. Аналоговые линейные цепи и их характеристики................................... |
49 |
4.2. Основные характеристики цифровых фильтров....................................... |
53 |
4.3. Алгоритмы и методы анализа цифровых фильтров................................. |
59 |
4.4. Схемы реализации цифровых фильтров.................................................... |
63 |
5. Синтез цифровых фильтров............................................................................... |
71 |
5.1. Синтез цифрового фильтра, соответствующего аналоговой цепи |
71 |
5.2. Прямой синтез цифровых фильтров.......................................................... |
82 |
6. Эвристический метод синтеза цифровых фильтров.................................... |
92 |
6.1. Простейшие схемы цифровых фильтров................................................... |
92 |
6.2. Цифровые фильтры с идеальными характеристиками |
114 |
7. Оптимальная цифровая фильтрация............................................................. |
119 |
7.1. Постановка и содержание задачи оптимизации цепей |
119 |
7.2. Оптимальные цифровые фильтры............................................................. |
123 |
7.3. Квазиоптимальные цифровые фильтры.................................................... |
133 |
8. Аппроксимация сигналов на основе алгоритмов цифровой |
|
фильтрации |
139 |
8.1. Содержание метода |
139 |
8.2. Аппроксимация с использованием цифровых фильтров........................ |
142 |
8.3. Выбор полосы пропускания фильтра........................................................ |
147 |
8.4. Описание тренда.......................................................................................... |
153 |
9.Численный метод решения линейных дифференциальных
уравнений |
160 |
9.1. Решение линейных дифференциальных уравнений |
|
с использованием алгоритмов ЦФ.................................................................... |
160 |
9.2. Практика применения метода |
169 |
Приложение 1 |
172 |
Приложение 2 |
176 |
Приложение 3 |
181 |
Приложение 4 |
184 |
Список литературы................................................................................................... |
186 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
В условиях интенсивного развития информационных и компьютерных технологий особое место занимает цифровая обработка сигналов. Она пре доставляет широкие возможности по передаче, приему и преобразованию сигналов, содержащих информацию, в том числе и такие, какие не могут быть реализованы с помощью аналоговой техники. Тенденции совершен ствования вычислительной техники дают все основания полагать, что эти возможности будут постоянно расширяться. Указанное обстоятельство делает исключительно актуальным развитие теоретической базы цифро вой обработки сигналов с выводами, позволяющими использовать достиг нутые и потенциальные возможности вычислительной техники в практи ческой сфере.
Предлагаемая книга посвящена обобщению результатов в области ана лиза цифровых сигналов, анализа и синтеза цифровых фильтров, резуль татов, известных, описанных в литературе, и оригинальных. На базе тео ретических обобщений проводится рассмотрение основных направлений реализации цифровых фильтров и практические приложения цифровой фильтрации в различных областях науки и техники. В известной литерату ре это наименее освещенная тема.
Книга содержит 9 разделов. В разд. 1 дается описание и спектральный анализ дискретных сигналов. Анализ спектра дискретного сигнала позво ляет определить условия выбора интервала дискретизации исходного сиг нала - дается обоснование условия Найквиста-Котельникова.
Приводятся преобразования дискретных сигналов, используемые при их анализе: дискретное преобразование Фурье и z-преобразование. Свой ства преобразований дискретных сигналов используются в дальнейшем при анализе сигналов, анализе и синтезе цифровых фильтров.
В разд. 2 и 3 излагаются методы восстановления непрерывных сигна лов по их дискретным значениям. В математическом плане этот процесс сводится к интерполяции дискретной функции, описывающей дискретный сигнал во временной области. Вследствие этого при рассмотрении про цесса восстановления непрерывного сигнала при графическом его отра жении для краткости используется термин “интерполяция сигнала”.
Дается общая постановка задачи интерполяции, рассматривается интер поляция на основе классических подходов - с использованием многочле нов Лагранжа и ряда Котельникова. Особое внимание уделено наиболее эффективному методу - сплайновой интерполяции. Описывается поста новка задачи построения локальных сплайнов, приводятся расчетные вы ражения для локальных сплайнов различной степени гладкости [42]. Из
ложенный материал и иллюстрации его применения позволяют провести сравнительный анализ различных методов интерполяции.
Разд. 4 посвящен анализу цифровых фильтров. Рассматриваются алго ритмы и схемы реализации рекурсивных и нерекурсивных фильтров, ме тоды их анализа. Приводятся в систему возможные схемы реализации циф ровых фильтров и методы их анализа.
В разд. 5 рассматриваются известные методы синтеза цифровых фильт ров. Они позволяют провести синтез цифрового фильтра, соответствую щего аналоговому фильтру-прототипу. Излагается известный метод пря мого синтеза на основе частотной выборки; он дает возможность выбрать схему нерекурсивного цифрового фильтра, имеющего частотную характе ристику заданного вида.
Эвристическому методу прямого синтеза посвящен раздел 6. Метод по зволяет выбрать цифровой фильтр заданного вида (нижних частот, верх них частот, полосового и заградительного фильтров) с использованием общих закономерностей обеспечения требуемой частотной характеристи ки линейной цепи. В разделе даются примеры простейших схем цифровых фильтров различных видов с описанием их характеристик и примеры филь трации с их применением.
Описывается подход к выбору различных видов цифровых фильтров с идеальными характеристиками (точнее, с характеристиками, аппроксими рующими идеальные). Подход основан на использовании цифровых филь тров Баттерворта и Чебышева [22].
Оптимальная и квазиоптимальная цифровая фильтрация составляет со держание раздела 7. Излагаются подходы к проектированию фильтров, позволяющих наилучшим образом производить обнаружение сигнала на фоне шума. Классическая постановка задачи оптимизации - обеспечение максимального значения отношения сигнал/шум на выходе линейной цепи рассматривается применительно к цифровой фильтрации.
Дается подход к оптимальному выбору полосы пропускания цифрового фильтра при заданном виде частотной характеристики, что определяется как квазиоптимальная цифровая фильтрация.
Практике использования цифровой фильтрации в различных областях посвящены разделы 8 и 9.
Развитие компьютерных технологий расширило понятие сигнала. Сиг нал рассматривается как временная функция, непрерывная или дискрет ная последовательность, несущая информацию, или которая может содер жать информацию. Таким образом, при компьютерной обработке любая информация, вводимая в компьютер, имеет вид дискретного сигнала, пред ставляет дискретную временную функцию. В том числе: статистические
данные, результаты экспериментальных исследований (измерений) и др., которые на входе компьютера имеют вид дискретной временной последо вательности. Эффективной обработкой такой последовательности являет ся цифровая фильтрация.
В 8 разделе рассматривается метод сглаживающей аппроксимации слу чайного процесса с использованием алгоритмов цифровой фильтрации. Изложенный метод дает возможность выделить тренд процесса и его слу чайную составляющую. Метод прост и имеет ряд других преимуществ по сравнению с известными. Приводятся примеры его применения при обра ботке статистического материала и результатов измерений.
Излагается подход к описанию и экстраполяции (прогнозированию) тренда случайного процесса. Такая задача имеет важное практическое значение.
Использованию цифровых фильтров при решении линейных дифферен циальных уравнений посвящен раздел 9. Метод, описанный в общей по становке, особенно полезен в приложении - при синтезе цифровых филь тров, соответствующих аналоговой цепи с известной передаточной функ цией, и при анализе прохождения сигналов через линейные аналоговые цепи.
Дополнительный материал, полезный при практической реализации методов анализа и синтеза, но загромождающий их описание, вынесен в приложения.
Одно только перечисление разделов свидетельствует об актуальности рассматриваемых тем и их практической направленности. Основные рас сматриваемые задачи заканчиваются расчетными выражениями, по кото рым получены алгоритмы и соответствующие программы расчета на ПК (автор В.Н.Исаков). К ним в первую очередь относятся:
-программа спектрального анализа дискретных сигналов;
-программы интерполяции с использованием различных подходов: с использованием многочленов Лагранжа, ряда Котельникова и локаль ных сплайнов 1-4-ой степеней гладкости;
-программы простейших цифровых фильтров (фильтра нижних и вер хних частот, полосового и заградительного фильтров);
-программы фильтров с идеальными характеристиками;
-программа расчета прохождения сигналов через цифровые фильтры, при задании сигнала на входе фильтра выборочными значениями или в виде графика, отображающего сигнал на экране дисплея и получа емый с помощью мыши;
-программа сглаживающей аппроксимации осциллирующих сигналов и случайных процессов (сигналы задаются дискретными значениями или графиками на экране дисплея);
-программа аппроксимации и экстраполяции сигналов с использова нием ортогональных систем функций на основе степенных много членов и др.
Разработанные программы позволили достаточно полно иллюстриро вать выводы теоретической части примерами и графиками.
Особенностью монографии является широкий круг задач, связанных с цифровой фильтрацией, и конспективный стиль изложения материала. К особенностям можно отнести и практическую направленность содержа ния книги.
Список литературы в конце книги включает только основные работы по выбранному направлению, изданные на русском языке. В условиях доста точно развитой информационной системы такой список представляется достаточным и не перегружает читателя второстепенной информацией.
Книга рассчитана на исследователей и инженеров-практиков - выпуск ников вузов, работающих в области радиотехники, электроники и связи. Может быть полезной преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов вузов радиотехнических специальностей. Содержание соответствует программе учебной дисциплины, читаемой автором студентам радиотех нических специальностей, в ряде разделов, естественно, выходит за ее пределы.
В книге использованы материалы кандидатской диссертации В.Н.Иса кова (руководитель А.Н.Денисенко). Автор выражает признательность В.Н.Исакову за разработку программ, полезных при компьютерном офор млении иллюстрационного материала, и Н.Денисенко за помощь в оформ лении книги.
1. ЦИФРОВЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
Цифровая обработка сигналов, обработка с использованием компьюте ра, занимает все большее место в системах различного назначения, что определяется очевидными достоинствами вычислительной техники. Ее универсальность способствует все большему расширению областей при менения цифровой техники. В разделе проводится анализ дискретных (циф ровых) сигналов, формируемых для использования при цифровой обра ботке, рассматриваются преобразования дискретных сигналов: дискрет ное преобразование Фурье и z-преобразование - основа анализа таких сиг налов. Дается обоснование выбора интервала дискретизации сигналов.
1.1. А нал оговы е сигналы
Сигнал представляет физический процесс, несущий информацию, или предназначенный для ее передачи; в аналоговых цепях - это колебание, несущее информацию. Детерминированный сигнал описывается времен ной функцией, в ряде случаев известно только правило его получения. Обычно понятия сигнал и временная функция, описывающая его, исполь зуются как идентичные, хотя не исключены и другие формы представле ния сигнала [19].
Анализ сигнала чаще всего проводится во временной или частотной областях. Основным преобразованием, позволяющим переводить анализ сигнала s(t) из временной области в частотную, является преобразование Фурье
( 1.1)
где со - параметр преобразования, частота.
Величина S(co) представляет спектральную плотность (спектр) сигнала.
Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функции s(t)
В практических приложениях более удобным является условие интег рируемости квадрата этой функции
J s2(t)dt<oo
Оно обуславливает применение преобразования Фурье только для сигна лов с ограниченной энергией.
Прямому преобразованию Фурье соответствует обратное преобразование
= |
( 1.2) |
позволяющее перейти от спектральной плотности сигнала к его временной функции. Интеграл Фурье (1.2) дает описание сигнала в виде суммы гармони ческих составляющих с непрерывной последовательностью частот (О.
В общем случае спектральная плотность S(œ) является комплексной величиной. Как комплексная величина она записывается в виде
з д = | з д | е* (“\ |
(1.3) |
где |5(б))|, (р(со) - модуль и фаза комплексной величины, амплитудный и
фазовый спектры сигнала.
Примером служит преобразование Фурье временной функции, описы вающей сигнал, экспоненциального вида
s(t) = Ve-a',t> 0.
Преобразование Фурье s(t) имеет вид:
V S(co) = -----
a + ico
Амплитудный и фазовый спектры сигнала описываются выражениями
у
|S(û>)| = —2---- îTïTT ><P(Û)) = -arctg(cû / а ) .
{a +(û у
Графики амплитудного и фазового спектров сигнала представлены на рис. 1.1. Они дают представление о плотности распределения амплитуд и