книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfКак следует из приведенных характеристик ЦФ, полученные фильтры являются низкочастотными. Однако их АЧХ не всегда удовлетворяют предъявляемым требованиям. Они могут быть улучшены путем последо вательного включения нескольких звеньев фильтров (Разд. 4). Так АЧХ рассмотренных фильтров при двузвенной последовательной схеме вклю чения представлены на рис.5.14, 5.17 и 5.20. Они иллюстрируют возмож ности улучшения АЧХ при последовательном включении звеньев.
В ряде случаев более практичным направлением прямого синтеза ЦФ является метод синтеза ЦФ заданного вида: фильтра нижних частот (ФНЧ), фильтра верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ), заградительно го фильтра (ЗФ), который рассматривается в следующем разделе. Он обо значен как эвристический, поскольку основан на общих закономерностях построения фильтров. Его рассмотрение аналогично тому, как это сделано в приведенных примерах.
6. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Один из подходов к синтезу ЦФ в рамках прямого метода основан на знании общих закономерностей обеспечения заданной частотной харак теристики фильтра. Назовем этот подход эвристическим. Он позволяет провести проектирование ЦФ заданного вида: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ) и заградительного фильтра (ЗФ) [22]. Такой подход часто наиболее полно отвечает зада чам практики проектирования линейных цепей, позволяет получить достаточно простые схемы ЦФ, приемлемых для практических прило жений.
Проиллюстрируем обозначенный подход на примере выбора ЦФ ниж них частот, а затем распространим полученные выводы на другие виды фильтров.
6.1. П р о стей ш и е схемы циф ровы х ф и л ь тр о в
6.1.1. Фильтры нижних и верхних частот
Низкочастотная составляющая колебания может быть выделена как со вокупность средних значений выборки. Алгоритм получения среднего зна чения при обработке L выборочных значений ut(nT) имеет вид (алгоритм скользящего среднего)
(6.1)
где Т - интервал дискретизации.
Такой алгоритм часто используется при статистической обработке ин формации, лежит в основе “технического анализа” экономических сис тем [2].
С точки зрения фильтрации выражение (6.1) представляет алгоритм ли нейной обработки дискретной последовательности - алгоритм ЦФ.
Импульсная характеристика соответствующего ЦФ определяется как его реакция на воздействие в виде единичного импульса; выражение для нее получится из (6.1) в виде (рис. 6.1)
(6.2)
Системная функция такого ЦФ может быть получена как z-преобразо- вание импульсной характеристики, описывается выражением
иМ |
1 l - z ' L |
# ( * ) = u t(z) |
(6.3) |
L 1 - z '1 |
Системной функции (6.3) соответствует рекурсивная схема фильтра, изображенная на рис. 6.2.
Наиболее важной характеристикой любого фильтра является его час тотная характеристика. Частотная характеристика ЦФ может быть найде на как ДПФ импульсной характеристики или путем подстановки в выра жение для системной функции (6.3):
z = еiù )T
|
sin |
LcoT\ |
AL-1)ù iT |
|
я м = 1 |
I |
* |
||
(6.4) |
||||
|
sm |
coT' |
||
|
|
|||
|
|
2 , |
|
Выражение для частотной характеристики как комплексной величины может быть представлено в виде
Н(со) = \Щ со)\е*(ш\
где \H((ù)\ - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); ç(œ) - фазо-час тотная характеристика фильтра (ФЧХ).
Для рассматриваемого фильтра получим
|
LCÙT \ |
|
]_ |
sin |
|
(6.5) |
||
Н(со) |
||
L |
(ÙT_ |
|
|
sin |
|
|
2 |
|
y((ù)=(L-l)T/2. |
(6.6) |
Графики АЧХ и ФЧХ фильтра изображены на рис. 6.2 (L=6). Амплитуд но-частотная характеристика представляет кривую лепесткового типа (она повторяет кривую соответствующего нерекурсивного фильтра, изображен ную на рис. 5.13). Фазовый спектр имеет линейный характер.
Как следует из выражения для частотной характеристики и приведен ного графика АЧХ, полученный ЦФ является низкочастотным, его частот ная характеристика (АЧХ и ФЧХ) определяется объемом выборки L.
Для корректировки частотной характеристики фильтра можно исполь зовать каскадное (последовательное) соединение М ячеек фильтра.
Выражение для системной функции при каскадном включении М ячеек имеет вид
|
1 - z-L \ М |
я ( г > = г |
(6.7) |
1 —z~ |
Импульсная характеристика многозвенного фильтра может быть опре делена с использованием обратного z-преобразования системной функции (6.7), которую представим в виде:
( 1 |
\ м м |
1 - z |
= S c i H ) ‘ |
Я ( г ) = |
|
1 -Z " 1 |
к=0 |
-kL
(6.8)
Обратное z-преобразование системной функции определяется суммой вычетов в полюсах функции
п+М-\
/ ( * ) = |
(6.9) |
( 1 - z - f |
( Z - i f |
Z =1
1 (я +М - 1 ) !
(6.10)
(.M - \ ) \ d z M-1 |
г=1 (М - 1 )! |
С учетом (6.10) выражение для импульсной функции после преобразо ваний примет вид (Разд. 1) [22]
(6.11)
где а - единичная ступенчатая функция.
Записанное выражение описывает импульсную функцию многозвенно го ФНЧ, включающего М ячеек, определяет нерекурсивную схему такого ФНЧ. Схема содержит (L-l)M элементов задержки.
Частотная характеристика многозвенного фильтра получается из (6.4)
(6.12)
На рис. 6.3 приведены графики АЧХ многозвенного фильтра при раз личных сочетаниях значений параметров L и М. На рис. 6.3 также пред ставлены импульсные характеристики ФНЧ.
Как видно из графиков АЧХ, при достаточо больших значениях L и М происходит подавление боковых лепестков характеристики, которые на блюдаются на рис. 6.2; так при М >5 минимальное подавление в преде лах первого бокового лепестка составляет 40дБ. Вследствие такого затуха ния на рис. 6.3 виден только главный максимум кривой АЧХ. Ширину глав ного лепестка по уровню |1 приближенно можно определить как [22]
L=2, М=2
L=4, М=6
сопТ «^-arccos
неудобными для анализа. В этом случае целесообразно использовать апп роксимацию этой характеристики. Она достаточно точно аппроксимиру ется гауссовской функцией
Н(со) =ехр{-Т2/2с2}. |
(6.13) |
Постоянная с определяется параметрами фильтра! и А/.
Функция, аппроксимирующая импульсную характеристику, имеет вид
h(nT)= ехр{-(пТ-п0Т)2/2сJ2}. |
(6.14) |
Постоянная а определяется параметрами фильтра L и М, смещение п0Т может быть взято как
n0T=(L-l)M/2. |
(6.15) |
Функции (6.13) и (6.14), аппроксимирующие характеристики ЦФ, по зволяют перейти от громоздких выражений к значительно более простым практически без потери точности.
Фазо-частотная характеристика фильтра, как следует из (6.12), является
М ( ! - 1 ) линеинои; сигнал на выходе фильтра запаздывает на ------------ интерва-
2
лов дискретизации Т относительно сигнала на входе.
Описанная схема ФНЧ позволяет выделить низкочастотную составля ющую колебания, подаваемого на вход фильтра. Пример фильтрации сиг нала с использованием ФНЧ дан на рис. 6.4 (слева - колебание на входе и выделенные низкочастотная и высокочастотная составляющие, справа - сигнал на выходе ФНЧ).
Преобразуемые в ЦФ сигналы являются дискретными, пример такого сигнала дан на рис. 6.5. На рис. 6.4, как и на последующих рисунках, для
удобства восприятия приводятся графики непрерывных сигналов - после интерполяции дискретных последовательностей.
Таким образом, получена рекурсивная схема ФНЧ с каскадным соеди нением ячеек. Частотная характеристика фильтра зависит от параметра L и числа последовательно включенных ячеек М.
От ФНЧ с частотой среза © можно перейти к фильтру с частотой среза сдв2. Для того, чтобы выполнить такой переход, в выражении для систем ной функции ФНЧ необходимо произвести следующую замену [28]:
иz 1- а
z 1—> ■ |
|
|
(6.16) |
\ - a z ~ |
|
|
|
sin |
|
|
|
где а = |
. а>в2Т + соуТ' |
(6.17) |
|
sm — |
------- — |
|
|
Врезультате получается системная функция, определяющая схему ФНЧ
стребуемой полосой пропускания.
Имея схему ФНЧ, можно построить схему ЦФ верхних частот (ФВЧ). Переход от ФНЧ к ФВЧ очевиден.
Для сигнала на выходе ФВЧ можно записать:
и2(пТ) = щ [пТ- ( L - \ ) T / 2 ] -
(6.18)
[м , (пТ) + и , (пТ - Т) + ... + щ {пТ - (L - 1)Т)].
L
Импульсная характеристика такого фильтра описывается выражением
h 1(«Г ) = 5[п7’ - ( / , - 1 ) Г / 2 ] - | Х 5 (" г - ^ ) - |
(6.19) |
L *=о |
|
При последовательном включении М ячеек ФВЧ выражение для сис темной функции с учетом (6.7) запишется в виде
М(L-1) |
(6.20) |
H {z) = z 2 |
|
LM \ 1- z ‘l |
/ |
Системная функция определяет схему ФВЧ, включающую М ячеек (рис. 6.6).
Импульсная характеристика такого фильтра может быть получена в виде
\хш («Г) = 8[пТ - (L - 1)ТМ / 2] - hm (пТ ), |
(6.21) |
где hHM(nT) описывается (6.11).
Импульсная характеристика определяет нерекурсивную схему филь тра.
Частотная характеристика такого фильтра получится из (6.20), описы вается выражением
Я (со) |
(6.22) |
LM