книги / Электродинамика сплошных сред

где F = 9.6487 · 104 – постоянная Фарадея, а NA – число Авогадро. Описанные законы Фарадея позволяют получить точную меру перенесенного электрического заряда и электрического тока. Раньше электролитическое выделение серебра служило для определения ампера как единицы силы тока.

1.3.7. Уравнение непрерывности электрического тока

Рассмотрим баланс электрического заряда в проводящей среде при протекании тока. Выделим мысленно некоторый объем проводника V, ограниченный замкнутой поверхностью S . Пусть в этом объеме находится заряд Q и его изменение определяется током через поверхность:

Знаки выбраны так, что положительный ток «вытекает» из объема и заряд уменьшается. Частная производная плотности заряда означает, что имеется в виду локальное (в данной точке проводника) изменение плотности заряда. Правую часть равенства преобразовали, используя теорему Гаусса. Так как равенство (1.72) справедливо для любого объема, то должны быть равны и подынтегральные выражения:

Это соотношение носит название уравнения непрерывности – оно описывает закон сохранения электрического заряда для непрерывного распределения заряда и тока. Этот закон является математическим выражением постулата сохранения количества электричества.

В случае постоянного тока распределение зарядов стационарно, ∂tρe = 0. Но если распределение зарядов стационарно, то поле их должно быть тождественно с электростатическим полем неподвижных зарядов. То обстоятельство, что в данной точке пространства одни элементы заряда благодаря наличию тока сменяются другими, не может сказываться на напряженности электрического поля, поскольку плотность

41

зарядов в каждой точке пространства остается постоянной. Следовательно, стационарное поле постоянных токов, как и поле электростатическое, должно быть потенциальным полем:

Это уравнение является наиболее общим выражением того факта, что постоянный ток не имеет истоков, т.е. линии тока электрического тока всегда замкнуты либо уходят в бесконечность.

1.3.8.Плотность тока в реальной среде

Вреальных средах истинное значение плотности заряда ρΣ определяется суммой плотностей свободных ρc и связанных зарядов ρd:

Так, в диэлектриках под связанными зарядами понимают заряды, составляющие диполи. По действием внешнего электрического поля диполи начинают изменять свое положение, т.е. будет происходить перемещение зарядов и, как следствие, появится связанный электрический ток jd. Этот ток не будет стационарным, он будет существовать только в момент изменения поляризации диэлектрика. Тем не менее для этого тока вполне можно записать уравнение неразрывности (1.73) в следующем виде:

мент единицы объема является вектором поляризации P, а дипольный момент, приобретаемый телом, по определению (1.36), определяется по формуле

ZZ

Ввиду произвольности объема интегрирования P = ρdr. Для нахожде-

42

Выбирая поверхность интегрирования вне объема, занятого телом, име-

R

ем (Pn)rdS = 0, поскольку вне тела поляризация равна нулю. Поэтому

Таким образом, если поляризация тела неоднородна и вектор P изменяется от точки к точке и притом изменяется так, что div P , 0, то в теле возникает связанный объемный заряд ρd.

Подставим выражение для плотности связанных зарядов (1.78) в уравнение неразрывности для плотности тока связанных зарядов (1.76) и получим

∂

−∂t div P + div jd = 0

или

∂P

!

div − ∂t + jd = 0.

Таким образом, выражение для плотности тока связанных зарядов выглядит следующим образом:

В итоге выражение закона Ома в реальных средах будет выглядеть следующим образом:

В этом выражении суммарный ток определяется суммой тока свободных зарядов, тока связанных зарядов и средним вихревым молекулярным током c плотностью jm, дивергенция которого div jm = 0. Добавление этого тока не изменяет уравнение неразрывности. Выражение для этого тока будет изучено позднее.

43

1.4.Магнетизм

1.4.1.Магнитная индукция и магнитный диполь

Впротивоположность электричеству в магнетизме отсутствуют магнитные заряды – монополи, а есть только магнитные диполи. Однако при более детальном рассмотрении оказывается, что магнитные диполи представляют собой электрические круговые токи, т.е. вращающиеся электрические заряды. В системе СИ единицы магнитных величин определяются с помощью электрических и механических единиц. Магнитное поле в любой среде, а также в вакууме описывается величиной магнитной индукции B. Так как плотность магнитных зарядов в пространстве ρm равна нулю, то по аналогии с электростатикой

Это уравнение называется уравнением магнитного поля или четвертым уравнением Максвелла. Согласно теореме Гаусса любой поверхностный интеграл от вектора B по замкнутой поверхности S равен нулю,

Z

B(r) · dS = 0. (1.82)

S

Исторически сложилось так, что в своем становлении теория магнетизма описывала силовые взаимодействия между постоянными магнитными диполями и магнитными полями. Первым известным диполем являлась стрелка компаса. В противоположность электрическому диполю, магнитный диполь не может быть представлен пространственноразделенными зарядами одной величины и противоположного знака, так как на сегодняшний день существование магнитных зарядов не выявлено. Величиной, характеризующей магнитный диполь, является магнитный дипольный момент pm. Много позднее было обнаружено, что и электроны, и другие элементарные частицы, многие ядра, а также многочисленные атомы и ионы ведут себя как магнитные диполи. Согласно гипотезе Ампера магнитные диполи надо понимать как круговые токи. Каждому магнитному дипольному моменту pm отвечает круговой ток, в котором электрический ток I течет по некоторому контуру, площадь

44

которого равна S . Направление вектора нормали n по отношению к циркуляции тока I устанавливается с помощью правила буравчика. Выражение для магнитного дипольного момента будет следующее:

В однородном магнитном поле на любой магнитный диполь действует механический вращательный момент:

что наиболее очевидно проявляется в действии магнитного поля Земли на стрелку компаса, установленную поперек поля. Этот момент аналогичен электрическому дипольному моменту. Потенциальная энергия

В неоднородном магнитном поле B(r) на магнитный диполь помимо момента (1.84) также действует сила

Магнитный диполь, как и электрический, обладает собственным магнитным полем, индукция которого в вакууме описывается следующим выражением:

1.4.2. Магнитное поле электрического тока

Величина напряженности магнитного поля H описывает магнитное поле тока. Так как все магнитные поля – это магнитные поля токов, то поле H является «изначальным» и не зависит от среды, в которой оно существует. В свою очередь, магнитная индукция B описывает то, как исходное магнитное поле H изменяется в среде – магнетике. Зависимость индукции от магнитных свойств среды B = µµ0H будет изучаться позже. В вакууме связь магнитной индукции и напряженности магнитного поля определяется соотношением

45

Если в среде течет стационарный электрический ток, причем плотность тока является функцией координат, то этот ток порождает вихревое магнитное поле, – так формулируется закон Ампера:

Это магнитное поле еще называют собственным полем тока. Для замкнутой кривой L, ограничивающей некоторую поверхность S , соотношение (1.89) с помощью теоремы Стокса может быть записано в интегральном виде

I Z

H(r) · dr = j(r) · dS = I. (1.90)

L S

В качестве примера можно показать, что магнитное поле тока вокруг бесконечно длинного тонкого провода определяется как H(r) = I/2πr (рис. 1.12):

I

H(r) · dr = 2πrH(r) = I.

L

S

L

j

H r

Рис. 1.12

В качестве другого примера рассмотрим магнитное поле внутри тонкого длинного соленоида, у которого снаружи поле равно нулю. Поле внутри соленоида определяется как H = IN/L0, где N – число витков, L0 – длина соленоида (рис. 1.13):

I

H(r) · dl = L0H = NI.

L

46

S

L

H

L0

Рис. 1.13

В свое время Максвелл обнаружил, что уравнения (1.89) и уравнение неразрывности для плотности тока имеют противоречие. По определению, div rot H = 0, и если сюда подставить уравнение (1.89), то

div rot H = div j = −∂ρc . ∂t

Правая часть этого выражения не равна нулю в случае переменного электрического поля. Поэтому Максвелл ввел ток смещения jD для устранения этого недостатка следующим образом: rot H = j + jD. Тогда

Таким образом, переменное электрическое поле создает магнитное поле. Закон Ампера (1.89) (в данном случае – первый закон Максвелла) будет выглядеть так:

В общем случае закон Ампера нельзя использовать для вычисления напряженности магнитного поля тонких проводников с током. Для этого используют эквивалентный закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле H электрического тока I в тонком проводе в точке X вне провода определяется интегралом

47

1.4.3. Электромагнитная индукция

Поток вектора магнитной индукции называют магнитным потоком

R

Qm = S B · dS, где S – поверхность, натянутая на контур L. Пусть контур представляет собой петлю из проводника, тогда изменение магнитного потока во времени может происходить либо в результате изменения положения контура L, либо в результате его деформации. Закон электромагнитной индукции Фарадея состоит в том, что изменяющийся во времени магнитный поток Qm порождает между двумя концами разомкнутого проводника контура L индуцированную ЭДС:

Согласно закону Ленца индуцированные токи в проводнике всегда направлены таким образом, чтобы препятствовать причине, вызвавшей индукцию (рис. 1.14). Например, при изменении магнитного поля B в жестком контуре порожденное индуцированным током магнитное поле Bi противодействует изменению.

B

V

Bi j

Рис. 1.14

Для жесткого контура с изменяющимся магнитным полем с помощью теоремы Стокса можно произвести следующие преобразования над (1.94):

48

Это позволяет записать закон индукции Фарадея или второй закон Максвелла в дифференциальной форме:

Изменяющаяся во времени магнитная индукция порождает в проводнике с электрической проводимостью σ вихревой ток плотностью j. Для изотропного проводника справедливо соотношение

Из-за электрического сопротивления вихревой ток, его еще называют ток Фуко, производит нагревание проводников, помещенных в переменное во времени магнитное поле. В некоторых случаях это может быть нежелательным, поэтому в электродвигателях и трансформаторах со стальными сердечниками токи Фуко подавляют, набирая сердечник из тонких слоев изолированных листов трансформаторной стали. С другой стороны, существуют методы высококачественной обработки металлов методом индукционной плавки, где разогрев проводника является, наоборот, желательным.

Закон индукции Фарадея представляет собой теоретическую основу генераторов переменного напряжения. Простейшая модель такого генератора состоит из плоской проволочной петли площадью S , которая вращается с частотой ν = ω/2π вокруг оси, перпендикулярной к внешнему магнитному полю B, и нормали n к плоскости S . Тогда индуцированная в петле ЭДС

1.4.4. Самоиндукция

Согласно закону Ампера электрический ток генерирует собственное магнитное поле. Если мы снова рассмотрим виток с током, то магнитное поле тока будет ортогонально поверхности, натянутой на виток. Если сила тока в витке будет изменяться во времени I(t), то будет изменяться и магнитное поле тока B, что вызовет изменение магнитного

49

потока через виток Qm. Это, в свою очередь, приведет к эффекту электромагнитной индукции, и в витке возникнет ЭДС εsi. Это явление называется самоиндукцией, а ток, который возникает в контуре Isi(t) под действием εsi, будет течь в противоположном от I(t) направлении:

Здесь Lsi – коэффициент самоиндукции, он характеризует форму проводника и магнитные свойства окружающих материалов. Рассмотрим в качестве примера самоиндукцию в вакууме соленоида (рис. 1.15) длиной L0 из N витков с поперечным сечением S :

L

На основе этих явлений работает еще одно устройство – трансформатор. В простейшем случае это устройство состоит из двух проволочных катушек, намотанных на магнитопровод – замкнутый ферромагнитный сердечник. Первую катушку подключают к источнику тока, при этом внутри катушки будет генерироваться магнитное поле. Функция магнитопровода заключается в том, что почти все магнитное поле будет замыкаться внутри него, и в любом его сечении магнитный поток Qm будет один и тот же. ЭДС самоиндукции в первичной обмотке приближенно равна питающему напряжению, ε1si ≈ Ve1 = −N1∂Qm/∂t. В разомкнутой

50