книги / Электродинамика сплошных сред

т.е. вокруг иона в этой точке возникает «неравномерно заряженное ионное облако». На самом же деле каждый ион создает такое облако и входит в состав других ионных облаков от других зарядов. В выражении для

средней плотности зарядов ρ¯(r) = dq¯/dV разложим экспоненты в ряд

c

при условии, что энергия взаимодействия между ионами мала по сравнению с тепловой энергией. Тогда

q2n¯1 + q2n¯2

ρ¯(r) ≈ − 1 2 ϕ¯(r). (1.27)

c

k T

Подставим (1.27) в (1.15) и получим уравнение ПуассонаБольцмана, являющееся основой теории равновесной плазмы,

ε0 k T

В случае сферической симметрии это уравнение и его решение выглядят следующим образом:

При этом значение C2 = 0, так как иначе при r → ∞ потенциал ϕ¯ → ∞, что неверно. Вблизи заряда потенциал поля должен совпадать с кулоновским полем заряда, как при отсутствии других зарядов, поэтому

го облака» и характеризующий скорость уменьшения потенциала. Потенциал вблизи иона в плазме, в отличие от вакуума, где он опи-

сывается выражением (1.17), убывает по экспоненциальному закону, а на расстоянии r > RD от иона он мал (рис. 1.1). Таким образом, можно сказать, что вне Дебаевской сферы в плазме электрического поля

21

нет. Это происходит потому, что вокруг данного иона с большой вероятностью группируются ионы противоположного знака, что приводит к ослаблению или экранированию поля иона. Частицы в плазме взаимодействуют тогда, когда они находятся на расстоянии r < RD. Согласно (1.28) величина æ q2N/ε0 k T , тогда, учитывая (1.26), получаем условие применимости теории, заключающееся в том, что число ионов внутри Дебаевского радиуса должно быть велико:

1.2.Диэлектрики в электрическом поле

1.2.1. Электрические диполи

Электрический диполь является электрически нейтральным образованием. В идеализированном случае он состоит из двух противоположных по знаку точечных электрических зарядов −q и +q, соединенных вектором a. В физике электрический диполь характеризуется своим электрическим дипольным моментом

В химии электрический дипольный момент pch определяется с противоположным знаком, так как дипольные моменты молекул возникают из-за смещения валентных электронов относительно положительно заряженного ионного остатка pch = −pe.

22

Рис. 1.2

Электрический диполь считается постоянным, если его дипольный момент pe не изменяется при наложении электрического поля. Из постоянных диполей состоят заряженные полярные молекулы (или твердые молекулы), например, воды (рис. 1.2).

На постоянный диполь, помещенный в однородное электрическое поле E, действует механический вращательный момент,

Постоянный электрический диполь в однородном электрическом поле обладает потенциальной энергией

Механический вращательный момент исчезает, если векторы pe и E параллельны или антипараллельны.

- +

P

Рис. 1.3

Помимо полярных существуют неполярные молекулы (или упругие молекулы), построенные из незаряженных атомов, например, водорода (см. рис. 1.2). Электрический момент неполярной молекулы в отсутствие внешнего электрического поля равен нулю, pe = 0.

Если представить неполярную молекулу в виде двух равномерно заряженных сфер (рис. 1.3), центры которых совпадают, то в электрическом поле оба заряда смещаются в противоположные стороны. Поэтому такая поляризованная молекула будет индуцировать свое электрическое поле, совпадающее (вне молекулы) с полем диполя, у которого каждый из точечных зарядов равен заряду соответствующей сферы,

23

а расстояние между ними равно смещению центров сфер. При слабых однородных внешних полях E индуцированный дипольный момент неполярной молекулы будет определяться по формуле

где β – поляризованность молекулы; Eloc – электрическое поле в точке, где находится индуцированный диполь. Это поле может отличаться от внешнего E из-за влияния окружающих индуцированных диполей. Потенциальная энергия индуцированного диполя в однородном поле

Ep = E · pe/2.

1.2.2. Поляризация диэлектриков

Диэлектрики не являются проводниками электричества. В них заряды не могут перемещаться на значительное расстояние и переносить электрический ток. При воздействии внешнего поля заряды диэлектрика не «срываются» полем со своих мест, а лишь несколько смещаются из положений равновесия в новые положения равновесия.

Чтобы определить воздействие поля на диэлектрик, вводят количественную характеристику распределения зарядов в нейтральной молекуле – вектор электрического момента этой системы:

X

pe = q jr j, (1.35)

j

где r j – радиус-вектор относительно точки отсчета. При этом система электронейтральна, т.е. P qi = 0, так как лишь при этом условии вектор pe однозначно определяется распределением зарядов и не зависит от выбора точки отсчета.

Электрической поляризацией диэлектрика P называется отличие электрического смещения D диэлектрика от электрического смещения вакуума ε0E. Она равна электрическому моменту единицы объема диэлектрика или векторной сумме электрических моментов молекул в единице объема:

XX

P = q jr j = pe,

j

24

где ε > 1 – диэлектрическая проницаемость, а χe > 0 – диэлектрическая восприимчивость.

1.2.3. Поляризация неполярных диэлектриков

Диэлектрики, не имеющие постоянных диполей, обнаруживают слабую, не зависящую от температуры диэлектрическую восприимчивость, вызванную индуцированными электрическими диполями. Рассмотрим диэлектрик, имеющий в единице объема N одинаковых индуцированных диполей. Поляризованность такого диэлектрика

Для определения Eloc возьмем диэлектрик с некоторой неизвестной поляризованностью P и вырежем в нем сферическую полость, внутри которой находится рассматриваемый индуцированный диполь. Дей-

Это выражение справедливо для плотных диэлектриков, в частности для кристаллов с кубической решеткой, также его можно применять для неполярных жидкостей. Тогда комбинируя (1.36), (1.37) и (1.38), получим уравнение Клаузиуса-Мосотти

Левая часть равенства пропорциональна концентрации молекул, а следовательно, плотности диэлектрика, что подтверждается в экспериментах.

Для газов справедливо равенство Eloc = E, тогда уравнение (1.39) упрощается: ε − 1 = Nβ/3ε0, что отражает незначительность взаимодействия индуцированных диполей в разряженных системах. Следует отметить, что диэлектрические проницаемость и восприимчивость у неполярных диэлектриков не зависят от температуры.

25

1.2.4. Поляризация полярных диэлектриков

Рассмотрим диэлектрик с «твердыми» молекулами, которые имеют постоянный по величине электрический дипольный момент pe. Во внешнем электрическом поле E молекулы стремятся повернуть свои оси вдоль поля для достижения минимума потенциальной энергии (рис. 1.4). Это ориентационный механизм поляризации. Следует отметить, что полная поляризация диэлектрика невозможна из-за теплового движения и взаимодействия молекул между собой. Таким образом, поляризация определяется модулем электрического поля и температурой: P(E, T ). Подсчитаем ее в рамках теории Ланжевена, предполагая, что диэлектрик находится в состоянии термодинамического равновесия, а диполи находятся достаточно далеко друг от друга, что позволяет использовать распределение Больцмана.

E=0 E

P=0 P= pe

Рис. 1.4

Пусть в единице объема диэлектрика содержится N молекул с постоянным электрическим моментом pe. Выделим некоторый телесный угол dΩ = sin θdθdϕ, θ [0; π] (рис. 1.5). Тогда вклад в величину поляризации выбранного диполя равен pe cos θ. Если обозначить dN – число диполей, у которых направление дипольного момента находится внутри телесного угла dΩ, то вклад этих диполей в поляризацию равен pe cos θdN. Величина поляризации определяется с помощью интеграла

Z

P = pe cos θdN. (1.40)

Здесь величину dN = NwdΩ определяем через вероятность w того, что диполь имеет данную ориентацию, w определяется с помощью распределения Больцмана

w = C exp (− Ep / k T ).

26

d

pe

E

Рис. 1.5

В нашем случае согласно (1.33) Ep = −ppE cos θ, тогда

Здесь величина γ = ppE/ k T представляет собой отношение величин двух энергий. Тогда формулу (1.40) можно записать таким образом:

Z

P = peN C cos θ exp (γ cos θ)dΩ. (1.41)

Для определения константы C воспользуемся условием нормировки

R

wdΩ = 1, означающим то, что диполь должен быть хоть куда-нибудь направлен. Тогда

Z

C = 1/ exp (γ cos θ)dΩ.

Подставим C в выражение (1.41) и получим

Рассмотрим вначале знаменатель. Произведем замену u = cos(θ):

27

Проведя аналогичные действия для числителя, получим

A(γ) = eγ + e−γ − eγ − e−γ .

γ γ2

L(Γ)

1

Рис. 1.6

Итоговое выражение для поляризации будет выглядеть так:

где L(γ) = cth γ − 1/γ – функция Ланжевена (рис. 1.6). Она обладает следующими свойствами: при γ 1 значение L(γ) ≈ γ/3, при γ 1 значение L(γ) ≈ 1. В итоге получено выражение, в котором поляризация нелинейно зависит от напряженности поля и температуры. Рассмотрим два предельных случая.

В первом случае γ = peE/ k T 1. Это означает наличие умеренного электрического поля при высокой температуре. Тогда выражение для поляризации будет выглядеть следующим образом:

Для полярных диэлектриков величина p2e NE/3 k T играет ту же роль, что и поляризуемость молекулы β в неполярных диэлектриках. Выражение (1.39) в данном случае будет следующим:

Во втором случае γ = peE/ k T 1. Это означает наличие сильного электрического поля при умеренной температуре. При этом происходит насыщение диэлектрика, т.е. все диполи оказываются ориентированы вдоль вектора напряженности электрического поля. Поляризация

28

1.2.5. Пондеромоторные силы в диэлектриках

Постоянный электрический диполь можно представить как абсолютно твердое тело в форме гантели (рис. 1.7) из противоположных зарядов ±q, находящихся на расстоянии l. Пусть E1 и E2 – значения напряженности внешнего поля в точках A1 и A2. Равнодействующая сил поля, приложенных к этим зарядам,

f = qE2 − qE1 = ql(O · E) = pe(O · E),

так как E2 − E1 = l∂E/∂l = l(O · E). Очевидно, что в однородном поле силы, действующие на полюса диполя, уравновешиваются. Тогда сила, действующая на N диполей диэлектрика,

XX

F = f = pe(O · E) = Nhpe(O · E)i.

В слабо поляризующихся диэлектриках

hpe(O · E)i = hpeihO · Ei = P (O · E).

N

Следовательно, выражение для силы в электростатическом поле (с учетом (1.36)) будет выглядеть следующим образом:

Рис. 1.7

Следует подчеркнуть, что сила пропорциональна градиенту квадрата напряженности поля F = (ε − 1)ε0OE2/2 и направлена в сторону возрастания абсолютной величины вектора E независимо от направления этого вектора, так как при изменении направления напряженности поля

29

E изменяется также и направление поляризации P. Таким образом, внесенный в электрическое поле диэлектрик всегда увлекается в область наибольшей напряженности поля (поэтому кусочки бумаги притягиваются к заряженным проводникам).

Если в диэлектрике содержатся свободные электрические заряды с плотностью ρe, то в выражение силы добавится еще одно слагаемое ρeE. В общем случае в выражении (1.46) диэлектрическая проницаемость зависит от массовой плотности диэлектрика ε = ε(ρw), поэтому выражение для пондеромоторной силы будет выглядеть следующим образом:

1.3.Постоянный электрический ток

1.3.1. Сила и плотность электрического тока

Электрический ток – это любое упорядоченное движение электрических зарядов. Как правило, имеют в виду движение зарядов в некоторой среде, именуемой проводником. К электрическим проводникам относятся металлы, полупроводники, электролиты, плазма (ионизированный газ) и катодно-лучевые трубки. Если к двум граничным поверхностям или электродам проводника приложить электрическое напряжение Ue = ϕ2 − ϕ1, то в проводнике возникает движение электрических зарядов, характеризуемое интегральной величиной – силой электрического тока, проходящего через поверхность S :

В отсутствие электрического поля электроны в проводнике движутся с «тепловой» скоростью U хаотически, так что их средняя скорость равна нулю, hUi = 0. В металлах скорость хаотического движения электронов весьма велика и составляет около 106 м/с даже вблизи абсолютного нуля температуры. Это чисто квантовый эффект. Нагревание металла даже до температуры испарения лишь незначительно увеличивает эту скорость.

30