книги / Электродинамика сплошных сред

Здесь µ1 – вещественная часть комплексной магнитной проницаемости, которая определяет запас обратимой магнитной энергии; µ2 – мнимая часть комплексной магнитной проницаемости, характеризующая необратимые магнитные потери.

С помощью векторного потенциала A = (0, A, 0), определенного как

получаем из уравнения Максвелла и закона Ома следующее уравнение:

Векторный потенциал связан с индукцией и плотностью тока в нашем

141

Здесь скорость дрейфа определяется как VD = ω/α. В данном случае волновое число в направлении оси Z будет комплексным, k = k1 + i k2, a его компоненты определятся с помощью следующих выражений:

Если подставить решение в граничное условие, то константа

C= µH0. k

Компоненты векторов магнитной индукции и плотности тока

Взаимодействие индукционного тока с магнитным полем создает в металле объемную силу, которая имеет компоненты:

fem = j × B = ( jy Bz, 0, − jy Bx).

Чтобы получить компоненты полной силы, действующей на единицу площади, нужно проинтегрировать выражение для |A|2 по координате

142

z, что эквивалентно делению на 2k1. Таким образом, бегущее магнитное поле создает тангенциальную силу, толкающую металл, и нормальную силу, давящую на поверхность металла:

Для оценки в большинстве случаев можно пренебречь магнитными потерями, тогда µ01 ≈ µ02 ≈ µ. Также в большинстве случаев расстояние между полюсами существенно превышает глубину проникновения электромагнитного поля в металл – толщину скин-слоя, поэтому τ δs. Тогда k1 ≈ k2 ≈ 1/δs. В этом случае нормальная компонента силы равна удельной энергии магнитного поля или давлению магнитного поля. Электромагнитная сила

Индукционные МГД-насосы, работающие на основании описанного принципа, нашли широчайшее применение в технике. Это был первый тип насосов, применяемый для теплообмена в ядерных реакторах с жидкометаллическим теплоносителем. Насосы существуют в цилиндрическом и плоском исполнении. Преимуществом плоского насоса является возможность замены канала без разбора индуктора, что невозможно для неразборного цилиндрического канала. Недостатками этого типа насосов является уязвимость обмоток от действия высоких температур, поэтому их используют для «низкотемпературных» металлов, таких как ртуть, натрий, калий, галлий.

Как и в случае кондукционного МГД-насоса, индукционный МГДнасос можно обратить и получить индукционный МГД-двигатель. Эта технология реализована в маглеве – это поезд на магнитном подвесе, движимый и управляемый магнитными силами. Такой состав, в отличие от традиционных поездов, в процессе движения не касается поверхности рельса. Так как между поездом и поверхностью движения существует зазор, трение исключается, и единственной тормозящей силой является

143

сила аэродинамического сопротивления. Относится к монорельсовому транспорту. Скорость, достижимая маглевом, сравнима со скоростью самолета (рекорд на сегодняшний день 581 км/ч), что позволяет составить конкуренцию воздушным сообщениям на малых (для авиации) расстояниях (до 1000 км). На данный момент существует три основных технологии магнитного подвеса поездов: на сверхпроводящих магнитах (электродинамическая подвеска), на электромагнитах (электромагнитная подвеска), на постоянных магнитах (это новая и потенциально самая экономичная система). Движение осуществляется линейным двигателем, расположенным либо на поезде, либо на пути, либо и там, и там. Серьезной проблемой проектирования является большой вес достаточно мощных магнитов, поскольку требуется сильное магнитное поле для поддержания в воздухе массивного состава. Достоинствами описанной технологии являются теоретически самая высокая скорость из тех, которые можно получить на общедоступном (не спортивном) наземном транспорте, и низкий шум.

2.4.Электровихревые течения

2.4.1. Генерация ЭВТ

Электровихревые течения (ЭВТ) возникают в проводящей жидкости вследствие взаимодействия электрического тока, подводимого к жидкости от стороннего источника ЭДС, с собственным магнитным полем тока. Для данного процесса в первую очередь следует установить характер электромагнитной силы, а именно: является ли она потенциальной ( rot fem = 0) или вихревой ( rot fem , 0). Предположим, что среда в отсутствие тока неподвижна. Тогда вопрос о потенциальном или вихревом характере электромагнитной силы эквивалентен вопросу, останется ли жидкость неподвижной или придет в движение, если пропустить электрический ток. В общем случае электромагнитную силу можно представить как сумму чисто потенциальной части и составляющей, которая может содержать и потенциальную, и вихревую части силы:

144

мента приложения силы была неподвижной, т.е. завихренность в ней отсутствовала, то она и останется неподвижной в течение всего времени действия потенциальной силы. Эту потенциальную часть силы часто формально объединяют с градиентом давления в уравнении Навье-Стокса.

Рассмотрим условия, когда сила имеет вихревой характер и приводит в движение жидкость. Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому протекает ток jx(y, z) (рис. 2.12,а). Такой ток создает магнитное поле, вектор индукции которого лежит в плоскости YZ и имеет By и Bz составляющие, причем внутри проводника:

Рис. 2.12

Электромагнитная сила имеет составляющие fem = (0, − jx Bz, jx By). Ненулевая компонента ее ротора (с исключением компонент, которые

145

Если плотность электрического тока постоянна во всех точках сечения проводника, то правая часть этого уравнения обращается в нуль, rot fem = 0. В данном случае воздействие электромагнитной силы сводится к перераспределению давления по сечению проводника, а движение жидкости отсутствует.

Пусть теперь электрический ток не имеет составляющей вдоль проводника. Пусть по всей длине проводника в ограничивающих его стенках встроены электроды (рис. 2.12,б), через которые протекает ток, име-

и создающий магнитное поле Bx. Вычислим завихренность и, учитывая,

Рассмотрим случай, когда ток пространственно неоднороден (рис. 2.13). Он подводится к точечному электроду и растекается в верхнем полупространстве ко второму электроду, которым служит полусфера достаточно большого радиуса. Полный ток I, текущий через полусферу площадью S = 2πr2, связан с плотностью радиального тока jr так: I = 2πr2 jr. В сферической системе координат уравнение Ампера (1.149)

146

z

VV

S

R

j

I

Рис. 2.13

направленное против часовой стрелки (если смотреть со стороны Z). Электромагнитная сила направлена в сторону уменьшения угла θ,

Круговая составляющая компоненты ротора силы оказывается не равной нулю

Элементы жидкости, расположенные близко к точке O, будут двигаться под действием силы вдоль оси симметрии, а удаленные элементы – к поверхности S , а затем – вдоль нее к оси симметрии. В данном случае возникает ЭВТ. Это достаточно большой класс течений, и далее мы рассмотрим некоторые из них.

2.4.2. ЭВТ и азимутальное течение

Классическим примером является ЭВТ у точечного электрода. Рассмотрим полусферу, являющуюся первым электродом, заполненную проводящей жидкостью (рис. 2.14). Поместим второй точечный электрод на поверхность жидкости по оси симметрии. Электрический ток будет растекаться от точки касания к периферии. В данном случае магнитное поле электрического тока будет иметь азимутальную компоненту Bϕ, а электромагнитная сила – меридиональную fθ.

Если ток направлен от полусферы к точечному электроду, то в жидкости возникает вихревое ЭВТ в меридиональной плоскости. Течение

147

будет иметь азимутальную симметрию. В данном случае жидкость будет двигаться вдоль оси симметрии от сферы в сторону электрода и возвращаться вниз вдоль сферы (рис. 2.14,а).

Если ток направлен от точечного электрода к полусфере, то в жидкости также возникает вихревое ЭВТ в меридиональной плоскости (рис. 2.14,б) в другом направлении. Течение также будет иметь азимутальную симметрию. В данном случае жидкость будет двигаться вдоль оси симметрии от точечного электрода к сфере вниз и возвращаться вдоль боковых стенок сферической чаши вверх. Основное отличие этого течения от предыдущего состоит в том, что здесь возникает добавочное вихревое азимутальное течение проводящей жидкости. Это азимутальное течение не является ЭВТ, но механическую энергию для своего движения оно получает из преобразования электромагнитной. Если рассмотреть течение сверху, то линии тока напоминают движение над стоком жидкости, а сходящееся в сток течение приходит в состояние интенсивного вращения даже из-за малого затравочного возмущения. Это напоминает сток воды в раковине. Следует особо отметить, что направление закрутки для такого класса течения является случайной величиной в случае идеальных условий.

Описанное явление может лежать в основе представления одного из самых разрушительных явлений природы – смерча. Смерч свисает из грозового облака, имеет диаметр от 1 до 100 м, его высота достигает 2-3 км. Скорость движения по земле лежит в интервале 50-200 км/ч,

148

а время жизни колеблется от нескольких минут до нескольких часов. Известно, что в середине смерча имеется «глаз», где скорость на порядки ниже скорости вращения смерча, которая достигает 200-300 м/с.

Некоторые факты могут помочь в выборе теории для описания этого явления. Известно, что смерч имеет очень высокую электрическую активность – между стенками постоянно проскакивают молнии и чувствуется запах озона. В стенках воронки воздух движется по спирали вверх со скоростью, достигающей скорости звука. В полости смерча есть движение сверху вниз, вдавливающее предметы в землю.

Модель смерча должна указать энергетический источник, связь с грозовым облаком, механизм преобразования энергии во вращение. Здесь термодинамические теории, успешно используемые для описания тайфунов, не подходят: по оценкам, для реализации смерча термодинамическими методами необходим перепад температур в несколько сотен градусов. Если все объяснять исключительно вращением облака, породившего смерч, то предметы смерчем не поднимались бы, а разбрасывались под действием центробежных сил.

Для того чтобы раскрутить столб воздуха диаметром 100 м до скорости 250 м/с, необходимо порядка 108 кВт энергии. Такая энергия в облаке есть, так как вызываемые им молнии имеют энергию порядка 1012 кВт.

Рис. 2.15

149

Наилучшим образом для описания смерча подходит МГД-модель, основанная на ЭВТ. Вначале из облака появляется так называемая «сосулька», по которой электрический заряд стекает вниз из облака под действием электростатического поля между небом и землей (рис. 2.15). В этом «МГД-канале» возникает электрический ток, и его взаимодействие с магнитным полем порождает электромагнитную силу fθ. Под действием этой силы возникает ЭВТ V = (Vr, Vϕ, 0) в виде восходящего потока по периферии смерча, а вблизи оси – на внутренней поверхности полого конуса – он нисходящий, придавливающий предметы. Такое нисходящее вниз течение будет сходиться к точке касания смерча с землей. Выше было указано, что такого типа течения не устойчивы к азимутальным возмущениям – любое азимутальное возмущение раскручивает жидкость до некоторого значения Vϕ, черпая энергию из энергии электромагнитного поля.

Вследствие вращения жидкость и заряды начинают стекать из облака к земле по спиральным траекториям. Это напоминает течение тока в соленоиде, где возникает осевое магнитное поле Bz. Тогда появляется добавочный источник закрутки смерча в виде азимутальной компоненты электромагнитной силы fϕ, являющейся результатом взаимодействия вертикальной компоненты магнитного поля Bz и радиальной компоненты тока jr. Конечно, явление сопровождается другими процессами, мы описали лишь основные.

2.4.3. ЭВТ в плоском канале со свободной поверхностью

Рассмотрим плоский слой проводящей жидкости со свободной поверхностью, положение которой описывается безразмерной функцией h(x, y, t), причем в состоянии покоя h = 1. Рассматриваем пологие возмущения, когда Oh {d/2a; d/2b}. Запишем безразмерное трехмерное уравнение Навье-Стокса в следующем виде:

Здесь нелинейное слагаемое записано в дивергентной форме. Если его преобразовать, то вследствие уравнения неразрывности ∂ jV j = 0 оно приобретает традиционный вид:

150