книги / Статистический анализ временных рядов

ким подходом, чем точное описание тренда. Однако разница между (48) и (45) заключается только в использовании крайних членов, именно в отбрасывании (2т — 1) крайних членов и использовании половинных значений двух других крайних членов. Легко прове­ рить, что (49) больше чем (46). [См. Дурбин (1963).]

При рассмотрении многих экономических временных рядов ста­ тистики полагают, что составляющие ряд воздействия перемножа­ ются. Иными словами, они предполагают, что ряд имеет вид

фактор, причем все сомножители положительны. Применяемое в этом случае так называемое «отношение к скользящему среднему» (ratio-to-moving average) заключается в последовательном образо­ вании ряда скользящих средних (42) и использовании отношений У (t + nj)/Y*(t + nj) вместо разностей из (47). Для получения оцен­ ки сезонного фактора, соответствующей суммам (47), производится усреднение образованных отношений при каждом значении t (или находится медиана этих отношений). Если произведение 2т сред­ них (или медиан) указанных отношений не равно 1, как это обычно и бывает (в то время как сумма оценок (48) должна была бы всегда равняться нулю, если бы не влияние крайних членов), то каждое отношение умножается на одно и то же число, так чтобы результи­ рующее произведение равнялось 1. Альтернатива к этой процедуре состоит в использовании логарифмов. При этом

Если полученные ряды и их компоненты удовлетворяют сделанным ранее предположениям, то для оценивания функции g (t) =

— log G (t) можно использовать (45) или (48). Этот метод представ­ ляется более предпочтительным. Дело в том, что метод отношений к скользящему среднему не имеет строгого математического обо­ снования. Более того, чувствуется, что он не является безукоризнен­ ным в этом отношении, поскольку использует аддитивные методы при мультипликативных факторах (это проявляется в необходи­ мости видоизменять оценки, принудительным образом домножая их произведение до 1).

Мы определили сезонное изменение g (t) в (44) чисто формальным образом. Экономист обычно представляет себе сезонное изменение как проявление определенного поведения, обусловленного тем или иным временем года, а тренд — как долговременную тенденцию,

Мы понимаем здесь под «трендом» всякое систематическое изменение ож и­ даемого значения, не связанное с сезонными изменениями. Экономисты часто понимают «тренд» ка к долговременное изменение, противопоставляя егр «цикли­ ческим изменениям», коротким по времени.

3; 3. СГЛАЖИВАНИЕ 75

обусловленную более устойчивыми воздействиями. При этом f (t)

дем развивать далее это направление. Метод анализа сезонных изме­ нений, основанный на подобной модели, предложен Вальдом (1936). Изменяющиеся сезонные колебания рассматривались затем Хеннаном (1964), Боксом и Дженкинсом (1970).

Статистики иногда рассматривают экономический временной ряд как ряд, складывающийся из долговременного тренда, цикли­ ческого изменения, сезонного воздействия и нерегулярной состав­ ляющей. Тренд является долговременной тенденцией изменения, обусловленной ростом популяции, технологическими изменениями и другими достаточно долговременными воздействиями. Циклическое же изменение связано с колебаниями, известными под названием цикла деловой активности. С этой точки зрения циклическое из­ менение не обязательно периодично, как это имело место у сезонного изменения в (38). Тем не менее иногда предполагают, что скользя­ щее среднее устраняет влияние циклического изменения при оце­ нивании тренда. Вопрос об эффективности этой процедуры мы рас­ смотрим позднее.

Сглаживающие формулы могут быть основаны не только на по­ линомах, но и на других выравнивающих функциях. Кроме того, эти функции не обязательно должны подбираться с использованием равных весов. Значения в точках s = 0, ± 1, .... ±т могут быть обработаны так, как если бы они имели возрастающую дисперсию.

Задачу получения сглаженных значений на концах рядов можно решать различными способами. Значения в начале ряда могут не играть особой роли. Значения же непосредственно в конце ряда обычно наиболее существенны. Если сглаживающая формула осно­ вывается на подборе полинома степени q по 2т + 1 точкам, то по­ лином, подобранный по значениям Ут-Чт, УТ-Чт+1....... Ут, можно

состоит в применении сглаживающих процедур, основывающихся на использовании в конце ряда меньших значений т и к . При таком подходе у'т — ут(поскольку и т, и k должны быть равны в этом

случае нулю), что является не вполне удовлетворительным. Оба эти метода дают сглаженные значения, обладающие в конце ряда большей вариабельностью, чем в его середине.

3.4.МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ РАЗНОСТЕЙ

3.4.1.Введение

Метод переменных разностей был предложен для оценивания дисперсии случайной составляющей при гладком характере тренда. При 'дальнейшем развитии метод стал применяться и для решения вопроса о степени гладкости тренда. Обе эти статистические задачи рассматриваются применительно к модели yt = / (t) + Щ, где ut некоррелированы, имеют нулевые средние и дисперсии а2, а функ­ ция f(f) является гладкой в том смысле, что ее можно хорошо приблизить в последовательных интервалах времени полиномом не­ большой степени.

Другое применение переменных разностей состоит в проверке отсутствия корреляции. Такие задачи рассматриваются в гл. 6 для иной вероятностной модели.

В настоящем параграфе будет развита некоторая общая тео­ рия, рассмотрены оценивание величины а2 и критерии для проверки гипотез о гладкости, а также будет выяснена связь указанного ме­ тода со сглаживанием. Некоторые из этих результатов использу­ ются в дальнейшем при изучении сериальной корреляции.

Впервые разности были использованы, по-видимому, Кейв- Браун-Кейвом (1904) и Хукером (1905) для изучения корреляции между двумя рядами. Метод был развит затем Стьюдентом (1914). О. Андерсон (1929) и Тинтнер (1940) интенсивно изучали его приме­ нительно к оцениванию дисперсии.

3.4.2. Вычисление последовательных разностей

Метод переменных разностей основан на вычислении последо­ вательных разностей элементов временного ряда. Установим си­ стему обозначений для таких вычислений и отметим некоторые их свойства. Пусть ^ — оператор, определяемый соотношением

(1)9ut = ut+u * = . . . , — 1, 0, 1..........

По любой заданной последовательности ..., ы_i, ы0, их, ... этот опе­ ратор строит новую последовательность, индексы в которой сдви­ нуты на единицу. Мы будем писать также Ф {«,} = {«<+i}.

Оператор такого рода есть функция, аргументами и значениями которой являются последовательности. Оператор О называется

Очевидно, что ЧРявляется линейным оператором. Мы будем исполь­ зовать запись (1), понимая ее и как результат применения опера­ тора ЧР к целой последовательности, и как результат операции над отдельным элементом ut последовательности.

Определим ЧР° = 1 как тождественный оператор (4P9ut = щ), а

Таким образом, определен полином от ЧР(с действительными коэф­ фициентами). Операции над этими полиномами (умножение и т. д.) согласуются с операциями над полиномами от абстрактной пере­ менной. (Сумма бесконечного числа операторов есть предел левой части (8), если правая часть сходится в некотором смысле.)

В частности, представляет интерес полином А = ЧР— 1 (раз­ ность первого порядка), действующий следующим образом:

(9)Aut = (ЧР— 1) и( = ЧРщ— ut — ut+ 1 — ut.

Разность второго порядка есть

(10)А*щ = (ЧР— 1)*и( = (ЧР* — 2ЧР+1)щ,

или, что эквивалентно,

/=0 \//

Для удобства вычислений мы можем предпочесть определение

Агщ = A (Ar~lut). Для заданной последовательности {ut\ в этом случае следовало бы поочередно вычислять: Ащ, А2щ — А (Ащ) и т. д.

Важным свойством операции вычисления разностей является результат ее воздействия на последовательность, образованную полиномами от t. Мы имеем

Существенным моментом является здесь то, что применение разност­ ного оператора к полиному понижает степень последнего на едини­ цу. Из этого факта следует, что если f (t) — полином степени k, то

(14)А? (0 = 0, r = k + l , k + 2..........

Ранее мы рассмотрели тренды, которые или являются полиномами, или хорошо аппроксимируются полиномами на интервалах. С по­ мощью операции вычисления разностей такие тренды редуцируют­ ся к нулю или к функции, близкой к тождественному нулю. (Более полно об исчислении разностей см. Жордан (1939) или Миллер (I960)).

3.4.3. Вычисление последовательных разностей наблюдаемых рядов

Рассмотрим наблюдаемый временной ряд {yt}, о котором пред­ полагается, что он складывается из тренда f(f) и случайной ошибки щ. Поскольку оператор А линейный, то

Если f (f) — полином от t степени меньшей, чем г, то Д7 (f) = 0 и %Аryt — 0. Во всяком случае,

Обратимся теперь к дисперсии величины Aryt. Она равна дис­ персии случайной величины

Для дальнейшего будет полезна

Л емма 3.4.1. Пусть Р (х) и Q (х) — полиномы степени р и q соответственно. Тогда %P{&)ut Q (&)ut равно умноженному на о2

коэффициенту при хя в выражении xqP (х) Q {х~~1) или, что равно­ сильно, коэффициенту при х? в у?Р (л:"”1) Q (х).

Доказательство завершается выписыванием второго полинома,®

80 ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ Гл. 3.

Дисперсия величины Дгщ выражается соотношением

Это связано с тем, что правая часть (22) есть умноженный на а* ко­ эффициент при х? в выражении

(23)( * - 1)г(1 - * ) '= ( - 1 ) '( д г - 1)2г =

=2 ( - O '+ 'P V .

Скользящее среднее является линейным оператором и может

дует, что этот оператор действует (исключая сдвиг во времени) как линейная комбинация разностей Д2*+2, ..., Д2т.

Л е м м а 3.4.2. Если Q (.х) — полином от х степени п uQ (^) анну­ лирует всякий полином степени р (< п), то Q ($7(j можно предста­

вить в виде линейной комбинации операторов Др+1, ..., А",

82 ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ Гл. 3.

При этом

\2fe+ 2/

Эти же выражения были приведены ранее в формулах (19), (20), (21) § 3.3.

3.4.4. Оценивание дисперсии ошибки

Мы показали, что если тренд / (t) на коротких интервалах бли­ зок к полиному низкой степени, то полученная последовательность разностей имеет средние, близкие к нулю. Если эти средние значе­ ния равны нулю, то