книги / Статистический анализ временных рядов

или упр. 10.1 Из требований (20) [или эквивалентных им требова­

(20)) не влияет на выбор R t в том смысле, что вероятность попада­ ния в R t (являющаяся функцией от |у( |) при у,+| = ... = уд = 0 не зависит от того, какими были выбраны R q, ..., R i+ i■Отметим, что

(т. е. если степень полинома больше /), то вопроса о том, отлично у, от нуля или нет, не возникает.

Лемма 3.2.1. Пусть множество S,+i в пространстве значений с0, ..., сд и S таково, что

где 5 i+] — множество, дополнительное к Sj+i.

Доказательство. Требование (25) означает, что51+) — подобная область (по отношению к у0, ..., у, и о2). В силу этого

(27)Pr {5,-+i 1С0, . . . , Ct , Сг'-|-1<2г++ • • • - ( - CQaqq4* $'<

(28)Рг {S,-+l П7Д =

что и доказывает лемму, поскольку это соотношение совпадает с

У (Si+, П Т]) имеют один и тот же размер. В то же время мощ­ ность второго критерия для указанного значения у( при сделанном предположении больше. Полученное противоречие доказывает лемму.и

Из доказанных двух лемм вытекает, что какими бы ни были Rq, ..., Ri+1, наилучший выбор множества Rt состоит в том, что это

Ri должно являться частью множества Т*, не содержащей точек из Rq, ..., Ri+\. При таком выборе R{ вероятность

(32) Рг{/?<|у/+1 = ••• = т, = 0 } =

= (1 — Рс,— • • • — Pi+l)Pr {р / 1Yi+1 = • • • = Та = 0} не зависит от выбора Rq, ..., Ri+ь

Теорема 3.2.1. Пусть Rrn, Rm+1, Rq — полная группа q —

— т + 1 непересекающихся областей в выборочном пространстве,

= f ; n г;_-1(

(35)

Эта процедура по сути дела сводится к следующему. Поочередно проверяются гипотезы ^ = 0 , = 0 , ... до тех пор, пока либо какая-то из гипотез не будет отвергнута, например гипотеза yt = 0 , и будет решено, что верна Hti либо будут приняты все гипотезы вплоть до Нт. Таким образом, указанная процедура является после­ довательной. Это обусловливается требованием независимости вероятности правильного решения о том, что степень полинома меньше заданного натурального числа, от истинной степени поли­ нома.

У /-критерия имеется целый ряд оптимальных свойств, пять из которых мы отметили выше. Использование нескольких из них и приводит к утверждению сформулированной теоремы. Условие подобия (33) можно заменить условием несмещенности, а именно условием

поскольку из несмещенности вытекает подобие соответствующих областей, и требованием независимости от знаков величин yQ, ...

.... Ym+i вероятностей попадания в эти области. [См. Леман (1959, гл. 4, разд. 1).1

56 ГРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ Гл. 3.

Мы не останавливались еще на вопросе о том, как следует выби­

степень полинома следует сбалансировать с чувствительностью процедуры к ненулевым коэффициентам. При разумном подходе следует устанавливать значение q довольно большим, но полагать 8, для значений /, близких к q, весьма малыми. Если влияние /-й степени сравнительно велико, то при таком выборе будет иметься возможность это определить. Вероятность же принять решение о необходимости использования высоких степеней в том случае,

Другая процедура, предложенная для оценивания степени полино­ миальной регрессии, также является последовательностью крите­ риев значимости, но взятой в обратном порядке. Сначала с помо­ щью /-критерия проверяется гипотеза ут+\ — 0. Если она отклоня­ ется, то проверяется гипотеза ут + 2 = 0 и т. д. В результате либо некоторая гипотеза принимается, либо все гипотезы вплоть до уя = = 0 отклоняются. Недостатком этой процедуры является то, что если некоторое yt очень велико, то велика и вероятность слишком заниженного оценивания степени полинома. Например, если зна­ чение у2 велико, а значение уг мало, то будет относительно велика вероятность того, что

(37)

То есть с относительно большой вероятностью будет принята гипо­ теза уг = 0 и решено, что степень полинома равна нулю. (Следует отметить, что эта процедура не удовлетворяет (19) или (20) при у3 =

• = Y* = 0 .)

Практическое неудобство процедуры, которая в нашей форму­ лировке является наилучшей, состоит в том, что она требует вы­ числения S и вследствие этого вычисления с0у съ ..., сддо значения <7, выбранного заранее. В то же время во второй упомянутой после­

только до тех пор, пока гипотезы отвергаются. Однако отмеченное неудобство не очень существенно, поскольку коэффициенты регрес­ сии при ортогональных полиномах относительно просто вычислять с помощью таблиц полиномов. К тому же обычно приходится исполь­ зовать лищь цебольщие значения qy поскольку в случаях, требую­

Таблица 3.1

ЕЖЕГОДНОЕ ПОТРЕБЛЕНИЕ МЯСНЫХ ПРОДУКТОВ (ВКЛЮЧАЯ ПТИЦУ И РЫБУ) В США С 1919 ПО 1941 Г.

аявляется соответствующим значением подобранного полинома третьей степени.

Таблица 3.2

ВЫЧИСЛЕНИЯ с ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ п о л и н о м о в

3.2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ТРЕНДЫ 59

Продолжение табл. 3.2

1941 г. (Т = 23). В ней же даны значения ортогональных полино­ мов до пятой степени включительно [из Р. Л. Андерсона и Хаузмана (1942)]. Приведены также множители Хк. Вычисления коэф­ фициентов регрессии и ^-отношений сведены в табл. 3 .2 .

В этом случае подходящую степень полинома определить не­ трудно. Возьмем q — 5. Если только р6берется не слишком близким к 1 , то в соответствии с результатами вычислений мы принимаем гипотезу у5 = 0. Если, далее, р4/(1 — р5) ненамного больше, чем 1/3, то мы принимаем гипотезу у4 = 0. Если, наконец, р3/(1 — рб —

— р4) не слишком мало, то мы принимаем гипотезу у3 Ф 0. Таким образом, мы выбираем степень, равную трем. В последней колонке табл. 3.1 приведены значения соответствующего кубического при­ ближения.

Наблюдаемый ряд и подобранный тренд графически изображены на рис. 3.2. Следует заметить, что выравнивающая кривая дает хо­ рошее согласие, причем большинство точек лежит близко от нее. Мы интерпретировали бы данную кривую как ожидаемое, или нор­ мальное потребление мяса, если бы не возникающие год от года

Ежегодное потребление мясных продуктов на душу населения в США с 1919 по 1941 г. и подобранный кубический тренд.

нерегулярности. Должно быть ясно, что изображенный полином третьей степени не дает хорошего прогноза. Во всяком случае, его можно использовать в этом качестве лишь для достаточно близкого будущего. Для значений же, расположенных значительно правее приведенных, этот полином растет, причем возрастает и его произ­ водная. Однако, даже без учета влияния войн, представляется не очень правдоподобным, чтобы потребление мяса на душу населения возрастало неограниченно и при все увеличивающемся темпе роста.

3.3.СГЛАЖИВАНИЕ

3.3.1.Сглаживающие процедуры

Иногда тренд является гладкой функцией времени, флуктуи­ рует на любом коротком интервале времени незначительно и все же его невозможно представить простой функцией времени на всем рассматриваемом интервале. Тем не менее простая мысль о том, что тренд гладкий, а случайные ошибки, как правило, нерегулярны, приводит к естественной статистической технике сглаживания. Сглаживание временного ряда означает представление тренда в дан­ ной точке посредством взвешенного среднего значений, наблюдае­ мых в окрестности этой точки. При этом считается, что наблюдаемые значения являются суммой тренда и случайной ошибки. Грубо говоря, взвешенное среднее тренда совпадает со значением самого тренда в данной точке, а взвешенное среднее случайных составляю*

62 ТРЕНДЫ И СГЛАЖИВАНИЕ Гл. 3.

тервале значений временного параметра отстоящих от t не более чем на т единиц. Веса с&предполагаются нормированными, так что

(Пределы суммирования можно брать без потери общности симмет­ ричными относительно нуля, поскольку некоторые cs могут быть рав

ны нулю.) Полученная таким образом последовательность Ут+i, ...

... , ут-т называется скользящим средним исходной последователь­

меньше, чем дисперсия величины щ. Если значения / (t + s), s = = ± 1 .......± т, близки к f (t), той Ву) будет близко к f (t). Поэтому

скользящее среднее, или сглаженный ряд {yt}, имеет примерно ту же последовательность математических ожиданий, что и [yt], но

зато меньшую дисперсию (одинаковую для всех членов {*/*}). Одна­ ко последовательные члены сглаженного ряда в общем случае являются коррелированными. Именно

Одним из частных случаев скользящего среднего является арифметическое среднее, для которого cs = ll(2m + 1). В этом случае сглаженное значение у! выражается формулой

т