книги / Статистический анализ временных рядов

(9)У/-1 = Щ-1— М *-2 — ... — Ppt//_i^p:

Подстановка (9) в (8 ) дает

(При каждой подстановке справа остается ровно р последователь­

’—al$pyt—s~p—\'

Входящие сюда коэффициенты определяются рекуррентными соот­ ношениями

Дальнейшее применение указанной процедуры приводит к пред­ ставлению

(15) у, = 2 i=o

в котором 6 J = 1 . Условия, при которых ряд (15) сходится в’сред-

нем, мы выясним ниже. Во всяком случае, соотношения с (11) по (14) справедливы для любого s. А это и показывает, что совместное распределение некоторых р последовательных yt и следующих за

194 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Гл. 5.

ними величин и, определяет совместное распределение последую­ щих yt.

Указанную процедуру можно изложить и формальным образом.

С использованием этого оператора разностное уравнение (1) может

Следует отметить, что коэффициент при Я в числителе правой

Оно имеет р корней, которые мы обозначим хи ..., хр. Если \xt\ <

<1, i = 1.......р, то при Рр Ф О корни уравнения

сходится к нулю при s -> оо. А это и означает, что

(28) yt = 2

г=0

в смысле сходимости в среднем.

Теорема 5.2.1. £Ьш все корни характеристического уравнения (23), соответствующего стохастическому разностному уравнению (1), по абсолютной величине меньше 1, то yt представимо бесконеч­ ной линейной комбинацией случайных величин ии Ш—и ... .

Здесь мы заменили г на < — s. Поскольку последнее соотношение является тождеством относительно z (для |z | < 1 сходимость ря­ дов равномерна), то коэффициент при г° в его правой части равен 1, а коэффициенты при положительных степенях равны 0. Запишем это в развернутой форме:

1 = Р А = б0,

о = Р А + Р А — + P i,

(39)

Уравнение (40) является однородным разностным уравнением, соответствующим неоднородному разностному уравнению (1). Если все корни характеристического уравнения (23) различны, то общее решение однородного разностного уравнения (40) имеет вид

При этом если Х[ действительно, то действителен и коэффициент k{. Если xt и Xt-|-i комплексно сопряжены, то kt и ki+\ также комп­

лексно сопряжены, а сумма ktxr + ki+\/i+\ действительна, г = = 0, 1, ... . В случае наличия кратных корней общее решение можно построить, используя упр. 9 и 10.

Уравнения (39) задают р граничных условий. Решая их последо­

Если хг и х2действительны, то б, будет линейной комбинацией двух показательных функций переменного г. В противном случае запи­ шем хх и х2 в виде лу = ает, х2 = ае~‘в. При этом

ет - е ~ *

sin е (г + 1)

“sine

образуют затухающую функцию синусоидального типа, что анало­ гично (42) для комплексно сопряженных корней.

5.2.2. Моменты второго порядка. Ковариационная функция

Если совместные распределения нормальны, то они полностью характеризуются средними §</,, которые мы из соображений удобства временно будем полагать равными нулю, дисперсиями %tjt и ковариациями ^ytyt+s. В случае когда совместные распре­ деления отличны от нормальных, эти моменты первого и второго порядков тем не менее несут существенную информацию о рассмат­ риваемом процессе. Например, корреляция между у( и у(+$ (т. е.

отношение %y^t- y s l V гД+5) является мерой связи этих двух случайных величин.

Если процесс yt стационарный (в частности, если yt может быть

представлен в виде (28)), то все дисперсии %у] совпадают, а кова­ риации зависят только от разности индексов рассматриваемых

образуют в совокупности так называемую ковариационную функцию (иногда называемую корреляционной функцией). В этой книге мы будем называть корреляционной функцией нормированную функцию а (s)/o (0 ).

Покажем, что ковариационная функция о (К) удовлетворяет однородному разностному уравнению (40). Умножая (1) на (28) с заменой / на t — s, получаем

(47)2 Р , а ( - г ) = а2, г==0

о (—р) не обязательно имеет вид (49)). Последнее условие служит для определения величины коэффициента пропорциональности.

Если хг и х2 действительны, то о (К) будет линейной комбинацией двух показательных функций. Если же они комплексно сопряжены и равны ae±iQ, то (51) принимает вид

и представляет собой затухающую линейную комбинацию функций от ft синусоидального типа.

Поскольку a (ft) является линейной комбинацией возведенных в степень ft корней характеристического уравнения и все эти корни лежат в единичном круге, то |a (ft) | ограничена сверху показательно убывающей функцией. Именно, для надлежащим образом выбран­ ного К > 0 , |о (Л)| < К (шах | xt [)h. Положительный корень вно­

сит вклад в виде убывающей показательной функции; отрицатель­ ный — в виде знакопеременной показательной функции, убываю­ щей по абсолютной величине, Пара комплексно сопряженных кор­

В частности, подобным образом в модель всегда можно ввести конс­ танту (беря q = 1, zu = 1) и положить при этом %ut = 0 .

Выражение (54) можно записать иначе:

5.2.5. Прогнозирование

Стохастическое разностное уравнение (1) можно переписать в виде

(57)yt = — f>xyt-1 — *• • — РpVt-p + Щ,

где ut не зависит от y t-1, yt-2, ... . Условное математическое ожида­ ние случайной величины yt при заданных значениях yt—ь yt-2, ...

есть

Это условное математическое ожидание можно использовать в ка­ честве прогноза случайной величины yt. Дисперсия его выража­ ется соотношением

(59)&|— P ^ - i — ••• — Ррг/(_р — yt\2 = Ъи] = а2;