книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

УДК 531.1:51-72(075.8) ББК 22.25:22.51.5

Д46

Р е ц е н з е н т ы :

академик РАН О. М. Белоцерковский;

академик РАН Е. Я. Шемякин;

член-корреспондент РАН В. А. Гущин;

доктор физ.-мат. наук, профессор Я. Я. Смирнов

Димитриенко Ю. И.

Д46 Механика сплошной среды : учеб, пособие : в 4 т. / Ю. И. Димитриен­ ко. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013.

ISBN 978-5-7038-3385-8

Т. 4 : Основы механики твердых сред. — 623, [1] с. : ил. ISBN 978-5-7038-3747-4

Четвертый том учебного пособия посвящен систематизированному изло­ жению основ механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Рассмотрены классические модели и теории МДТТ: теория абсолютно твердого тела, теория упругости с малыми деформациями, основы теории оболочек, динамические задачи теории упругости, теория прочности, теория электромагнитоупругости, нелинейная теория упругости с конечными деформациями, теории линейной и нелинейной вязкоупругости, теория конечных вязкоупругих деформаций, ос­ новы теории конечных пластических деформаций, теория устойчивости. Пред­ ставлены оригинальные модели сред с конечными деформациями. Особенность изложения состоит в том, что все модели твердых сред рассматриваются с единых термодинамических позиций в едином тензорно-инвариантном подходе. Представлены примеры решения классических задач МДТТ.

Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, читаемых в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Для студентов старших курсов, изучающих такие дисциплины, как «Ме­ ханика сплошных сред», «Механика деформируемого твердого тела», «Теория упругости и пластичности», «Динамика и прочность машин», «Сопротивление материалов», «Теория оболочек», «Строительная механика конструкций», и аспирантов математических, физических, естественно-научных кафедр универ­ ситетов и технических вузов. Может быть полезно специалистам, занимаю­ щимся вопросами механики сплошных сред.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Четвертый том четырехтомного издания «Механика сплошной среды» (МСС) посвящен изложению основ механики твердых сред — одного из двух основных типов сплошных сред (второй основной тип — это жидкие и газообразные среды). Рассмотрены модели абсолютно твердых (недеформируемых) тел (ATT) и деформируемых твердых тел. Изложение ведется путем конкретизации общих универсальных законов МСС, изложенных в т. 2 для частных моделей твердых сред. При этом, как и во всем четырехтомном издании, использован преимущественно тензорный (безындексный) подход к формулировке основных законов МСС, который позволяет существенно упростить формальную запись уравнений и сделать более ясной их физи­ ческую суть, не загромождая индексными обозначениями логические связи между величинами. При таком подходе предполагается, что читатель владеет методами тензорного анализа, изложенными в т. 1 данного курса МСС, где введены обозначения основных величин и операций тензорного анализа, уни­ фицированные для всех четырех томов данного издания.

Четвертый том включает как традиционно излагаемые в курсах МСС разделы по линейной теории упругости, так и основы теории нелинейной упругости с конечными деформациями, основы теории вязкоупругости и пла­ стичности, что позволяет продемонстрировать широкие возможности совре­ менной механики и внутреннее единство ее отдельных составных частей.

Вглаве 1 описан частный случай твердых сред — абсолютно твердые тела.

Вней рассмотрены основы кинематики абсолютно твердого тела, отмечены особенности формулировки законов сохранения и даны постановки задач для абсолютно твердого тела.

Глава 2 посвящена основам теории упругости твердых сред с малыми деформациями. В ней изложены особенности построения модели упругих сред с малыми деформациями, сформулированы постановки основных задач линейной теории упругости, в том числе постановки задач в напряжениях. Даны вариационные формулировки задач. Рассмотрены особенности построе­ ния моделей нелинейно-упругих сред с малыми деформациями. Даны различ­ ные формы записи определяющих соотношений для линейно-упругой среды. Приведены некоторые основные теоремы из теории упругости, в частности изложены основы теории фундаментальных решений.

Рассмотрены двумерные и осесимметричные задачи теории упругости с примерами решения задач. Изложены основы теории пластин и оболочек

Предисловие

врамках модели Тимошенко, приведены простейшие примеры решения задач. Сформулированы динамические задачи линейной теории упругости, рассмот­ рены вопросы теории характеристик и распространения звука в анизотропных упругих средах. Изложены также основы теории свободных и вынужденных колебаний упругих тел, приведены примеры решения задач. Отдельный па­ раграф посвящен основам теории прочности упругих сред, приведены часто используемые на практике критерии разрушения упругих сред. Изложены элементы теории упругих электромагнитных сред.

Вглаве 3 даны основы теории больших (конечных) упругих деформаций. Сформулированы замкнутые системы уравнений для нелинейно-упругих сред

впространственном и материальном описаниях, даны различные постановки задач для упругих сред с конечными деформациями. Рассмотрены некоторые классические задачи теории упругости с конечными деформациями.

Глава 4 посвящена теории вязкоупругих сред, которая излагается для общего случая больших деформаций. Рассмотрены основы общей теории сред

спамятью, в которой применяется тензорно-инвариантный подход. Даны представления определяющих соотношений вязкоупругости для различных случаев анизотропии, представления определяющих соотношений для глав­ ных, квадратичных и линейных моделей вязкоупругих сред, а также для несжимаемых вязкоупругих твердых сред и вязкоупругих жидкостей. Сфор­ мулированы постановки задач в теории вязкоупругости с конечными дефор­ мациями. Рассмотрен случай линейно-вязкоупругих сред с малыми деформа­ циями, представлены сведения об основных методах решения задач линейной вязкоупругости. Приведен пример гармонических колебаний вязкоупругих сред.

Вглаве 5 приведены основы теории пластического течения, рассмотренные

вобщей постановке произвольных конечных деформаций с применением оригинального подхода на основе энергетических пар тензоров напряжений и деформаций. Показано, как из обобщенных соотношений теории пластич­ ности могут быть получены обобщения известных моделей пластичности типа Прандтля — Рейсса, Губера — Мизеса и др. Модели пластичности разделены

всоответствии с новой классификацией на четыре класса, два из которых оказываются аддитивными моделями, а два других — мультипликативными моделями пластичности. Приведены различные представления определяющих соотношений теории пластичности, в том числе представления «в скоростях». Даны постановки задач теории пластичности для случая больших деформа­ ций. Рассмотрены некоторые классические задачи теории пластичности.

Вглаве 6 изложены основы теории устойчивости упругих тел (конструк­ ций). Вывод уравнений теории устойчивости осуществлен для общего случая трехмерных упругих тел с конечными деформациями в рамках универсальной модели нелинейно-упругих сред, предложенной автором. Выведены уравне­

ния трехмерной теории устойчивости конструкций с малыми деформаци­ ями, сформулирована вариационная постановка задачи трехмерной теории устойчивости. На основе трехмерной теории получены уравнения теории устойчивости оболочек Тимошенко. Приведен пример решения задач теории устойчивости.

Глубокую признательность автор выражает рецензентам всего четырех­

им. М. В. Ломоносова профессору Н.Н. Смирнову.

Автор благодарен заведующему кафедрой механики композитов МГУ им. М. В. Ломоносова профессору Б. Е. Победре, заведующему кафедрой СМ-4 МГТУ им. Н. Э. Баумана профессору В. В. Селиванову, профессору кафедры прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана В. С. Зарубину за дискуссии по различным вопросам МСС.

Особую благодарность автор выражает своей жене, ведущему научному сотруднику МГТУ им. Н. Э. Баумана, кандидату физико-математических наук И. Д. Димитриенко за подготовку оригинал-макета и редактирование всего четырехтомного издания.

Список основных обозначений

А — левый тензор деформации Альманзи

( п )

А (п = I, II, III, IV, V) — квазиэнергетические тензоры деформации b — вектор магнитной индукции

С — правый тензор деформации Коши — Грина

(п)

С (п = I, II, III, IV, V) — энергетические тензоры деформации

(п)(п)

С е и С р — тензоры упругой и пластической деформаций 4С — тензор модулей упругости

сi — главный базис анизотропии (ортонормированный) твердого тела в не­ искаженной конфигурации V

с£ — теплоемкость при фиксированной деформации D — тензор скоростей деформации

D — нормальная скорость движения поверхности разрыва d — вектор электрической индукции

Е— метрический тензор

Е— полная энергия тела

(п )

4Е — тензоры энергетической эквивалентности

е— вектор напряженности электрического поля

е— плотность внутренней энергии тела

ёг — базис прямоугольной декартовой системы координат F — градиент деформации

F e и ¥ р — градиенты упругой и пластической деформаций f — вектор плотности массовых сил

fem — пондеромоторная сила

G — правая мера деформации Коши — Грина

(п)

дц и gij — метрические матрицы в конфигурациях fC и К, Н — энтропия тела

h — вектор напряженности магнитного поля

I — вектор количества движения (импульса) тела Iem — вектор электромагнитного импульса поля

7i(C), / 2(C) и /з(С) — главные инварианты тензора второго ранга С