книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

-J l l(s(u))5pdV = 0. v

Вариационная постановка квазистатической задачи МДТТ для несжимае­ мой среды заключается в нахождении системы функций (и,р), удовлетворя­ ющих системе (2.4.60).

2 .4 .7 . Вариационная постановка задачи в напряжениях

Рассмотрим квазистатическую задачу (2.3.17) в напряжениях. Будем на­ зывать поле тензора сг(х) статически допустимым, если оно является непрерывно-дифференцируемым в У и удовлетворяет статическим граничным условиям (2.3.17г) и уравнениям равновесия (2.3.17а). Если же поле сг(х) удовлетворяет всем уравнениям (2.3.17), т. е. кроме того еще и уравнениям совместности (2.3.176), выраженным через напряжения, то такое поле будем называть действительным.

Запишем функционал, называемый кастильянианом:

V

где Z = р £(сг,во) — потенциал (2.1.48). Тогда, если рассматривать дважды непрерывно-дифференцируемое поле сг(х), имеет место следующая теорема. Теорема 2.4.6 (вариационный принцип Кастильяно). Пусть тензорный оператор (2.3.17в) является потенциальным:

тогда среди всех статически допустимых полей сг(х) действительное поле отличается тем, что для него и только для него кастильяниан имеет стационарное значение:

Подставляя (2.4.61) в (2.4.63), получаем вариационное уравнение для данного принципа:

▼ Пусть статически допустимое поле <т(х) является действительным, тогда оно удовлетворяет всей системе (2.3.17), т. е. существует поле деформа­ ции е(а(х)), удовлетворяющее уравнениям совместности, а, следовательно, существует и вектор перемещений и(х), удовлетворяющий этим уравнениям (в соответствии с теоремой 2.3.2):

е(а) = def и.

Рассмотрим дополнительно еще два произвольных статически допустимых поля Ti(x) и Т 2(х), удовлетворяющих уравнениям

Если определить вариацию 5а как разность двух статически допустимых полей 6<т= Т х - Т 2, то, вычитая уравнение (2.4.68) при се = 2 из (2.4.68) при се = 1, получаем вариационное уравнение (2.4.64).

Докажем теорему в обратную сторону. Пусть выполняется уравнение (2.4.64) для статически допустимого поля а(х). Покажем, что при этом выполняются уравнение совместности (2.3.176) и определяющие соотношения (2.3.17в).

Поскольку поле а(х) удовлетворяет уравнениям (2.3.17а) и (2.3.17г) по

вариация которого, очевидно, также равна нулю: 5К! = 0, a w(x) — некоторое достаточно гладкое векторное поле, определенное в П.

Преобразуя второй интеграл в (2.4.69) по формуле (2.4.3), получаем

Вычислим вариацию этого функционала, принимая во внимание, что второй и четвертый интегралы в правой части (2.4.70) не содержат а и, следовательно, их вариация равна нулю:

Отсюда следует, что, в силу произвольности 5сг, должно выполняться соотно­

Иначе говоря, существует векторное поле w(e(cr(x))), удовлетворяющее урав­ нениям (2.4.72) с заданным тензором в, который находят по тензору сг с помощью определяющих соотношений в(сг) = П(сг). Тогда w(x) — истинное поле перемещений, поскольку, в силу теоремы 2.3.2, из уравнений (2.4.72) следует, что выполняются уравнения совместности (2.3.176).

Таким образом, найдены поля е(сг) и u = w(e(cr(x))), удовлетворяющие всей системе (2.3.17), значит сг(х) и есть действительное поле перемеще­ ний. А

Вариационная постановка задачи в напряжениях (2.3.17) заключается в нахождении статически допустимого поля <т(х), удовлетворяющего вариаци­ онному уравнению (2.4.64). Следует отметить, что эта постановка крайне редко используется при решении задач МСС, поскольку ее решение ищется

вклассе статически допустимых функций. Иными словами, если в вариацион­ ных принципах Лагранжа и Хеллингера — Рейсснера решение и подбирается из класса функций, удовлетворяющих лишь условиям (2.4.1а) на границе, то

впринципе Кастильяно — в классе функций сг, удовлетворяющих уравне­ ниям равновесия и статическим граничным условиям (2.4.65), (2.4.66), что является существенно более сложной задачей.

2.4.8. Условие устойчивости Адамара

Важную роль в механике деформируемых сред играет теорема единствен­ ности решения квазистатической задачи. Для ее формулировки необходимо ввести специальный класс твердых сред (по-прежнему рассматриваем изотер­ мические процессы, хотя для неизотермических можно ввести аналогичное определение).

Определение 2.4.1. Твердую среду с малыми деформациями, описываемую ф-моделъю (2.1.40а), называют с в е р х у с т о й ч и в о й по А дамару, если для любых несовпадающих пар полей вДх) и е2(х), определенных в области V, выполняется неравенство Адамара (условие эллиптичности):

у

В случае, если имеет место нестрогое неравенство (2.4.73), то среду называют устойчивой по Адамару.

Примером сред, сверхустойчивых по Адамару, являются линейно-упругие среды (см. § 2.6).

Определение 2.4.2. Твердую среду с малыми деформациями, описыва­ емую Q-моделью (2.1.46), (2.1.47), называют с в е р х у с т о й ч и в о й по А д а м а р у , если для любых несовпадающих пар полей сгДх) и сг2(х), определенных в области V (произвольной), выполняется неравенство

v

Для идеальных твердых сред условие устойчивости Адамара (2.4.73) удобно записать в иной форме.

Определение 2.4.3. Идеальную твердую среду с малыми деформациями, для которой ф-моделъ определяющих соотношений (2.1.40) удовлетворяет условию

ненулевой симметричный тензор второго ранга, называют и д е а л ь н о й у п р у г о й с ре д о й с п о л о ж и т е л ь н ы м к а с а т е л ь н ы м м о д ул е м .

Здесь да/де — тензор четвертого ранга, представляющий собой производную тензорной функции по тензорному аргументу (см. т. 1, § 4.13) (предполагаем, что такая производная существует).

С учетом свойства потенциальности (2.1.40д), условие (2.4.75) можно

где использован тензор второй производной от скалярной функции тензорного аргумента (см. т. 1, §4.13).

Определение 2.4.4. Идеальную твердую среду с малыми деформациями, для которой (-модель (2.1.46)—(2.1.48) удовлетворяет условию

и д е а л ь н о й у п р у г о й с р ед ой с п о л о ж и т е л ь н о й к а с а т е л ь н о й п о д а т л и в о с т ь ю .

Для дальнейшего введем некоторую вспомогательную функцию

v

где w (x ) — некоторое фиксированное поле; u i( x ) — поле перемещений. В силу линейности оператора малых деформаций, имеем

Поскольку по предположению тензорная функция а{е) является диффе­

Выберем в качестве функции w разность двух полей перемещений w =

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2.4.7. Для идеально-упругой среды, для которой функция (2.4.78) является непрерывно-дифференцируемой на [0, 1], условие устой­ чивости Адамара (2.4.73) выполняется тогда и только тогда, когда среда обладает положительным касательным модулем, т. е. выполняется нера­ венство (2.4.74).

2.4.9. Теорема единственности для квазистатических задач

Теорема 2.4.8. Для твердой среды с малыми деформациями, описываемой ф-моделъю и сверхустойчивой по Адамару, решение квазистатической задачи (2.2.9) является единственным.

▼ Пусть имеется два различных решения задачи (2.2.9): иДх) и U2(x), х G V. Им соответствуют разные поля деформаций вДиД = def ui и £2(щ) = = def U2 и поля напряжений cr\ = <r(ei), а 2 — <х(£2)-

86 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

Поскольку каждый набор (ua , s a, cra) при а = 1,2 является решением, то

у

Выберем в качестве поля w разность решений: w = 112 —ui. Очевидно, что при этом условие (2.4.1) будет выполнено, тогда, в силу линейности оператора def, получаем

которое, очевидно, противоречит условию (2.4.73) сверхустойчивости среды по Адамару и может выполняться, только если

Из (2.4.88) следует, что при этом должны совпадать и поля напряжений сг2 и (Ть а поля перемещений и2(х) и ui(x), в соответствии с формулой Чезаро (2.3.49), могут отличаться только на смещение твердого тела как жесткого целого за счет выбора векторов UQ и OJQ. Однако поскольку оба

Теорема 2.4.9. Для несжимаемой твердой среды с малыми деформация­ ми, описываемой ф-моделъю (2.2.12) и сверхустойчивой по Адамару, т. е. удовлетворяющей условию (2.4.73), решение квазистатической задачи

принимает вид

Если выбрать в качестве поля w разность двух решений: w = 112 —ui, то

у

В то же время неравенство Адамара (2.4.73), если е2 и е\ не произвольны, а являются решениями задачи (2.2.13), указывает на то, что должно выпол­ няться иное соотношение:

и имеет место для произвольной скалярной функции Ji(e(w)), что возможно, только если р2 = р\.

Дальнейший ход доказательства о единственности поля перемещений и(х) такой же, как и в теореме 2.4.8. А

2.4.10. Необходимые условия разрешимости задачи в напряжениях

Отметим, что при доказательстве теоремы единственности существенную роль играли граничные условия для перемещений на части Т,и. Если же на всей поверхности тела £ заданы только статические граничные условия, то приходим к постановке (2.3.17) задачи в напряжениях. Очевидно, что для нее тоже будет иметь место теорема единственности, но только для напряжений и деформаций, а перемещения будут определяться по формуле Чезаро только с точностью до движения тела как жесткого целого (векторы UQ и и) останутся неопределенными). Для исключения жесткого движения к постановке в напряжениях следует добавить два условия для перемещений — обычно это условия закрепления какой-либо точки XQ G Е:

Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

Кроме того, задачу в напряжениях (2.3.17) или соответствующую ей задачу (2.3.22) можно разрешить только при выполнении определенных условий для входных данных задачи — векторов f и t ne.

Теорема 2.4.10. Необходимыми условиями разрешимости квазистатической задачи (2.3.17) в напряжениях являются условия обращения в нуль главного вектора V и главного момента М всех действующих на тело сил:

▼Действительно, пусть задача (2.3.17) имеет решение. Тогда, проинте­ грировав уравнение равновесия (2.3.17а) и использовав формулу Гаусса — Остроградского (т. 1, (3.5.13)), а также граничное условие (2.3.17г), получим

Если же предварительно векторно умножить (2.3.17а) на х, а затем

Здесь использована формула ковариантного дифференцирования (см. т. 1, упр. 3 к § 2.4). А

Очевидно, что условия (2.4.95) необходимы и для разрешимости квазистатической задачи (2.2.9) в перемещениях.

Теорема 2.4.11. Среднее значение тензора напряжений, определенное как

v

для задачи в напряжениях (2.3.17) зависит только от массовых и поверх­ ностных сил и может быть вычислено до решения краевой задачи (2.3.17):

▼Действительно, домножая уравнение равновесия (2.3.17а) тензорно на

если при переходе из /С в /С осуществляется конечный поворот, а из /С в /С —

о *

малый, то в итоге получаем конечный поворот JC—►JC —►/С.

Из-за этого противоречия формально мы «не имеем права» даже про­ верять определяющие соотношения (2.1.39) и (2.1.45) на согласованность с принципом материальной симметрии, хотя интуитивно ясно, что такая согла­ сованность должна быть. Выход из этого противоречия таков: при проверке определяющих соотношений на соблюдение принципа материальной симмет­ рии (и только при ней) вместо допущения (2.1.2) для градиента деформации

Тогда определяющие соотношения (2.1.39), (2.1.40) или (2.1.45) должны конструироваться таким образом, чтобы выполнялся принцип материальной симметрии (в указанных выше ограничениях):

(функция рассеивания й;*, как и ранее, — это единое обозначение, а не зна-

*>i< >i<

чение в конфигурации /С ), где е и сг — тензор малых*деформаций и тензор

напряжений, введенные для отсчетной конфигурации /С, отличающейся от /С iT-преобразованием с ортогональным тензором Q е Gs.

Если рассматриваем только идеальные среды, то вместо определяющих соотношений (2.1.39) имеем соотношения (2.1.40), для которых принцип материальной симметрии сводится к одному-единственному требованию (см. т. 2, теорема 3.8.1) для потенциала:

Аналогичное требование накладывается и на определяющие соотношения в С-форме (2.1.46), (2.1.47):