книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 2.6. Модель линейно-упругой среды |
111 |
/д1111 д 1122 д 1133 |
0 |
0 |
|
0 |
|
д1111 |
д1133 |
0 |
0 |
|
0 |
(п а(з) — |
дЗЗЗЗ |
0 |
0 |
|
0 |
|
2П1212 |
0 |
|
0 |
|
СИМ. |
|
|
|||
|
|
|
2П1313 |
|
0 |
1 |
|
|
|
2П1313 |
|
/1 /Е - и /Е |
- и '/Е ' |
0 |
0 |
|
0 |
1 /Е |
- U /E ' |
0 |
0 |
|
0 |
сим. |
1 /Е ' |
0 |
0 |
|
0 |
|
1/( 2G) |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1/(2G")1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
1/(26 |
изотропной линейно-упругой среды инвариантное потенциала (2.6.1) имеет вид
1
ф = Р Фв + 2(^1 + ^2)^1 (е) —M h{e)
(2.6.26)
(2.6.27)
и содержит только две независимые константы упругости Ai и Л2 (их обычно называют константами Ламе).
Соответствующий тензор модулей упругости 4С можно представить в следующем виде (см. т. 1, п. 4.6.9):
‘С = AiE(g)E + 2A2A. |
(2.6.28) |
Тензор упругих податливостей 4П для изотропной среды имеет аналогич ную структуру:
4П = А)Е (х) Е + 2А2Д = |
® с) ® cfc О сь |
(2.6.29) |
где константы А) и \'2 выражаются через две изотропные технические кон станты — модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v — следующим образом:
Х\ = —и/Е , 2А2 = 1/(2G), А) + 2А2 = 1 /Е . |
(2.6.30) |
Третья техническая константа G — модуль сдвига для изотропной сре ды — является зависимой и выражается через Е и v по формуле, аналогичной (2.6.25):
G = |
Е |
(2.6.31) |
2(1 + и) |
||
Матричное представление компонент |
имеет вид |
|
112 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
|||||
|
/ п 1111 д 1 1 2 2 |
д 1 1 2 2 |
0 |
0 |
0 |
\ |
|
|
п 1111 |
д 1 1 2 2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
(4П) —(П ар) — |
п 1111 |
0 |
0 |
0 |
|
— |
|
|
2 П 2 3 2 3 |
0 |
0 |
|
|||
|
сим. |
|
|
|
|||
|
|
|
2 П 1 3 1 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 П 1212/ |
|
|
|
/ 1 /Е - v / E |
- v / E |
0 |
0 |
|
0 |
\ |
|
1 /Е |
- v / E |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
сим. |
1 /Е |
0 |
0 |
|
0 |
(2.6.32) |
|
|
1 /(2 G) |
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 /(2 G) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 / ( 2 G ) / |
||
Матричное представление компонент Сг^к1 имеет вид |
|
|
|||||
|
(j\\22 |
pj\\22 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
(С 1 1 1 1 |
Q \\22 |
|
|
|||
|
с 1 1 1 1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
(4С) = {Сар) = |
с п п |
0 |
0 |
0 |
|
= |
|
|
2^2323 |
0 |
0 |
|
|||
|
СИМ. |
|
|
|
|||
|
|
|
2^2323 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2С2323/ |
|
|
|
(Х\ + 2А2 |
Ai |
Ai |
0 |
0 |
0 |
\ |
|
Х\ Т 2А2 |
Х\ |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Х\ + 2 X2 |
0 |
0 |
0 |
(2.6.32а) |
|
|
СИМ. |
|
2А2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2А2 |
0 |
|
|
|
V |
|
|
|
2А2/ |
|
|
т. е. в этом случае С 1133 = С 1122 = С2233 и С2323 = (71212 = |
(71313. Аналогич |
||||||
ные соотношения справедливы и для W ^kl. |
|
|
|
|
|||
Тензор |
теплового расширения а |
для линейно-упругой |
среды является |
||||
индифферентным тензором второго ранга и может быть выражен через обра зующие тензоры соответствующей группы Gs.
Для ортотропной среды |
3 |
|
|
a = '5 2 s P c% |
(2.6.33) |
|
/3=1 |
|
где ар — коэффициенты теплового расширения в базисе ср. |
||
Для трансверсально-изотропной среды тензор а |
имеет две независимые |
|
компоненты: |
a i(E —с2) + а?2с 3 ’ |
(2.6.34) |
c t = |
||
а для изотропной среды — одну: |
(2.6.35) |
|
|
OL = а Е. |
|
|
§ 2.6. Модель линейно-упругой среды |
113 |
||||
Таблица 2.6.1. Значения параметров Е, |
и, р, a, |
cv и Л для типичных |
||||
|
|
изотропных материалов |
|
|||
Материалы |
Е, |
V |
|
се, |
Cv ч |
А, |
при во = 20° С |
ГПа |
|
г/см3 |
Ю" 6 1/К |
кДж/(кг • К) |
Вт/(м • К) |
Чугун магниевый |
170 |
0,31 |
7,2 |
14,5 |
0,54 |
16 |
Сталь высокопроч |
2 0 0 |
0,31 |
7,8 |
1 1 ,8 |
0,5 |
15 |
ная 40ХГСНЗВА |
|
|
|
|
|
|
Титановый |
115 |
0,33 |
4,4 |
8 |
0,54 |
2 2 |
сплав ВГб |
|
|
|
|
|
|
Медь |
ПО |
0,38 |
8,95 |
16,7 |
0,385 |
400 |
Латунь |
119 |
0,33 |
8 ,6 |
18,7 |
0,377 |
80 |
Бронза |
98 |
0,32 |
9,2 |
17-19 |
0,59 |
84 |
Алюминиевый |
70 |
0,35 |
2,7 |
23 |
0,93 |
237 |
сплав Амгб |
|
|
|
|
|
|
Дюралюминий D-19 |
6 8 |
0,36 |
2,76 |
24 |
0,93 |
1 2 0 |
Керамика |
380 |
0,23 |
4,0 |
5 |
0,84 |
40 |
корундовая AI2O3 |
|
|
|
|
|
|
Эпоксидная |
3,2 |
0,37 |
1,1 |
40 |
1,17 |
0 ,2 |
смола ЭДТ-10 |
|
|
|
|
|
|
Полиэтилен НД |
0,7 |
0,34 |
0,95 |
340 |
2,5 |
0,3 |
Оргстекло |
3,2 |
0,36 |
1,1 |
70-80 |
1,5 |
0 ,2 |
Скальные породы |
250 |
0,28 |
2,6-3,2 |
6 |
0,85 |
0,5-3,0 |
(базальт) |
|
|
|
|
|
|
Гранит |
320 |
0,31 |
2 ,3-2,7 |
5-8 |
0,65 |
1,1-3,9 |
Тензор теплопроводности А, который участвует в формулировке задач теплопроводности упругой среды (см. пп. 2.2.2 и 2.2.3), согласно т. 2, п. 3.12.5, имеет вид, аналогичный тензору теплового расширения:
для ортотропных сред
з
А =
/3=1
для трансверсально-изотропных сред
A = AI ( E - с|) + А2С3;
для изотропных сред
А = АЕ.
114 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Здесь Аа — коэффициенты теплопроводности, которые по традиции обо значаются той же буквой, что и константы упругости Аа в (2.6.32а), но конечно же никакого отношения к ним не имеют.
В табл. 2.6.1 приведены характерные значения теплофизических р, а , са, А и физико-механических Е, v параметров типичных изотропных материалов.
2.6.4. Спектральное представление определяющих соотношений линейно-упругой среды
Свободная энергия (2.6.1) и определяющие соотношения (2.6.2) можно записать в еще одной эквивалентной форме — с помощью спектральных представлений, введенных в п. 2.5.8. В этом случае выражение для Ф (2.6.1) принимает вид
т |
п |
ц, = р0 ф = р0 ф ц е ) + -{ ^ с ау у У - ¥ а) { ¥ ^ - ¥ р ) + Y . с аа¥ У 2, |
|
о;,/3=1 |
а = т + 1 |
о |
(2.6.36) |
где СаР — константы, однозначно связанные с тензором модулей упругости
4С (эта связь |
будет установлена |
|
О |
инварианты |
далее); Y a — спектральные |
||||
о |
т |
|
|
|
тензора е: |
|
|
|
|
|
е = Е ~ ^ а |
, |
¥ а = е -- а (а). |
(2.6.37) |
|
а = \ |
|
|
|
Подставляя выражения (2.6.37) в (2.5.73), получаем соотношения между спектральными инвариантами тензоров напряжений и деформации:
Y Y |
= |
|
Це) |
Yp), |
а = |
1, ..., ш; |
X С 'Щ Т Г - |
||||||
|
|
/3=1 |
|
|
|
(2.6.38) |
лл(сг) _ |
лл(£) |
> |
|
а = |
т + 1, ..., п, |
|
1 а |
— |
аа 1 а |
|
|||
т. е. для линейно-упругой среды линейные инварианты УцО ); связаны с линей ными Ya£\ а квадратичные Y ^ пропорциональны квадратичным
После подстановки (2.6.38) в (2.5.72) находим спектральное представле ние определяющих соотношений для линейно-упругой среды:
|
°’= Е |
CY 0а _ а |
а(а)+ Е |
(2.6.39) |
|
|
|
о;,/3=1 |
а = т + 1 |
|
|
Подставив выражения (2.5.9) и (2.5.56) в (2.6.39), имеем |
|
||||
<7 = |
Е |
С а(3 |
Ца) ® а(/?) + |
Саа4Га | •• (е —е). |
(2.6.40) |
З'сЩ/З |
|||||
|
ск,/3=1 |
|
ск=т+1 |
|
|
>(¥
Здесь учтено, что Р/3 • • е = 0 (а = m + 1, ..., п) в силу (2.6.37).
§ 2.6. Модель линейно-упругой среды |
115 |
Сравнивая (2.6.40) с (2.6.2), находим формулу связи двухиндексных мо дулей упругости Са/з с тензором модулей упругости 4С:
(2.6.41)
о
Обратные соотношения между 4С и Сар приведены в т. 1.
2.6.5. Соотношения между упругими константами для изотропной среды
Если среда является изотропной, то соотношения (2.6.38), (2.6.39) прини мают вид (сравните с (2.5.82), (2.5.84))
(2.6.42)
<т= С 11 (е - е)Е + С22{е Д еЕ) =
где
Сравнивая (2.6.43) с (2.6.27), находим соотношение между константами
Ф \и С 22) и (АЬ А2):
(2.6.45)
Тогда определяющие соотношения (2.6.43) принимают вид
(2.6.46)
Обратные соотношения находим с помощью тензора упругих податливо стей (2.6.28):
в = 1 е Е - Г стЕ + 1 ± Г Сг. |
(2.6.47) |
Подставляя соотношение (2.6.47) в (2.6.46), получаем соотношение между константами (Е, и) и (Ль Х2) (см. упр. 4 к § 2.6):
(2.6.48)
О
Для константы С\\ введем специальное обозначение
о
С п = К |
(2.6.49) |
116 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
и назовем ее модулем объемного сжатия, тогда, поскольку С22 = 2G, соот ношения (2.6.42) можно записать следующим образом:
а = К[е — е),
(2.6.50)
&и — 2G еи.
Все введенные пары упругих констант
(Е,и), (Аь А2), (K,G), (А'^А') |
(2.6.51) |
равноправны и применяются при решении задач теории линейной упругости.
2.6.6. Модель линейно-упругих несжимаемых сред
Модель несжимаемой упругой среды задается определяющими соотноше ниями (2.5.35) с потенциалом в форме (2.5.36), либо (2.5.40) или (2.5.44).
Для линейно-упругой изотропной несжимаемой среды потенциал (2.5.36) является линейной функцией только второго инварианта / 2(в):
Ф = рфв - Аг-^О) = рфв + у ^ е 2) |
(2.6.52) |
(к этой же формуле можно прийти, если принять 1\{е) = 0 в (2.6.27)), тогда определяющие соотношения (2.5.37) имеют вид
а = —рЕ + А2в |
(2.6.53) |
(т. е. в формулах (2.5.37) и (2.5.38) функции р2 и рз |
принимают значения: |
Р з = 0, р 2 = —А2) и содержат всего одну упругую константу А2.
Для линейно-упругой трансверсально-изотропной несжимаемой среды по тенциал выбираем в виде (2.5.40), полагая Ф квадратичной функцией е\
Ф —Р Фе Н— ^~2— ^ (8) + ^(^4 + ^5)^3 \ е) + А5/4 \s ) . (2.6.54)
К этой же формуле можно прийти, если в формулу (2.6.19) подставить условие несжимаемости (2.5.39).
Определяющие соотношения (2.5.40) для такой среды имеют вид
ст— —рЕ (А2Сз 0 С3 A4(OI 0 |
Oj |
0 2 0 |
0 2) |
2А5Д) • • в |
(2.6.55) |
и содержат три упругие константы: А2, |
А4 и |
А5, т. е. функции |
pi, ..., Р5 |
||
в (2.5.40) принимают следующие значения: |
|
|
|
||
Г 2 = (^ 2 + 2X^)1^, р з = 2 (А4 — А5), |
р 4= А 5, |
Р 5= 0, |
^ з = 0, |
ip2 — A27^3^. |
|
Для линейно-упругой ортотропной несжимаемой среды потенциал выби раем в виде (2.5.44), полагая Ф квадратичной функцией:
§ 2.6. Модель линейно-упругой среды |
117 |
|
ф = Р Фв + ^ / [ 0) 2 + |
2 + л l2l[0)4 0) + л7 / f }+ 2A8/ f }+ 2A9/ f |
|
|
|
(2.6.56) |
Это же выражение получим, если в формуле (2.6.12) принять условие несжи
маемости (2.5.42), причем константы Ai, А2 и А12 будут связаны с Аь ..., следующими соотношениями:
Ai —Ai + A3 —2А5, |
А2 —А2 + A3 —2А4, |
Х\2 — A3 —А4 —А5 + Аб. (2.6.57) |
||
Определяющие соотношения (2.5.43) в этом случае примут вид |
||||
О |
О |
О |
|
|
сг = —рЕ + (Aicf 0 с\ + А2 С2 |
0 Щ + Аз(с1 0 с\ + Щ 0 Ci)+ |
|||
+ 2(AyOi (8 Oi + 2 Ag0 2 |
(8 O2 ~\~2 A9O3 0 O3) • • s, (2.6.58) |
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
и содержат шесть упругих констант: Ai, |
А2, А12, А7, Ag, Ag. |
|||
Отметим, что в формулах (2.6.56) и (2.6.58) в качестве независимых можно выбрать другие пары линейных инвариантов: (l[°\ 1 ^ ) и (1г,°\ 1%°^), тогда соотношения будут отличаться только круговой заменой индексов: 1 -►3, 2 -► 1, 3 -►2, 4 -►6, 5 -►4, 6 -►5.
2.6.7. Постановки задач для линейно-упругой среды
Подставляя выражение (2.6.3) для г] в уравнение (2.2.26) изменения энтропии и соответствующие граничные и начальное условия (2.2.2з), (2.2.2и) и (2.2.2м), для среды с независящими от температуры свойства ми (см. (2.6.6) и (2.6.7)) имеем постановку задачи теплопроводности для линейно-термоупругой среды:
Г °pcv(d6/dt) = V . (А . V0) - |
а0 . . {дст/dt) + р qm, |
0 |
\ - n • Л • V 0|E? = qe, 6^ = |
^ ; t = 0: в = e0. |
|
Подставляя определяющие соотношения (2.6.2) в (2.2.5), получаем поста новку динамической задачи линейной термоупругости:
'р (d2u /d t2) = V • (4С • • V 0 u) - |
V • (/30) + °р f, |
|
<п- 4С • • V 0 и —п • /30 L = t ne, |
u L = ие, |
(2.6.60) |
I |
I 2JU |
|
Kt = 0: и = UQ, du/dt = VQ,
где /3 = OL • • 4C — тензор второго ранга; д = в — 0Q.
Подставляя соотношения (2.6.2) в (2.2.9), получаем постановку квазиста-
тической задачи линейной термоупругости: |
|
|
ГV • (4С • • V (8) u) - V |
• (Зд + p f = |
0, |
\ п • 4С • • V 8>и - п • |
= t ne, |
и |Е^ = ие. |
118 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Замечание 2.6.1. Уравнение теплопроводности в (2.6.59) содержит слагаемое с тензором напряжений сг, а уравнение движения в (2.6.60) и силовое гра ничное условие на — слагаемое с перепадом температуры 0. Следователь но, задача теплопроводности (2.6.59) и динамическая задача термоупругости (2.6.60) являются связанными (см. п. 2.2.1), поскольку они не могут быть ре шены по отдельности. Поэтому совместную постановку задач (2.6.59), (2.6.60) относительно в и и называют связанной динамической задачей линейной термоупругости. Аналогично связанная квазистатическая задача линей ной термоупругости состоит из объединенных задач (2.6.59) и (2.6.61).
Следует однако отметить, что связанность задач теплопроводности (2.6.59) и термоупругости (2.6.60) или (2.6.61) является слабой, поскольку вклад слагаемого с схв • • & в уравнение теплопроводности обычно весьма невелик (см. оценки в п. 2.6.8) и этим слагаемым во многих задачах можно пренебречь. Тогда задача (2.6.59) превращается в обычную задачу теплопроводности (1.1.84)—(1.1.89), которая была сформулирована для абсолютно твердого тела (аналогичный вид имеет задача (2.2.8) для деформируемого твердого тела при отсутствии напряжений и деформации). □
С учетом этого замечания в задачах термоупругости (2.6.60) и (2.6.61) поле температур 0(х, t) обычно считают известным, его вычисляют с помощью
задачи теплопроводности (2.6.59). Тогда градиент V • (/30) |
удобно включить |
в массовые силы, а вектор п • /30 — во внешние поверхностные силы: |
|
f' = f - (1Гр) V . (/30), С = t ne + п . /30, |
(2.6.62) |
где f' — плотность обобщенных массовых сил\ t'ne — обобщенный вектор поверхностных усилий.
С учетом этих обозначений задачи термоупругости (2.6.60) и (2.6.61) фор мально не будут отличаться от соответствующих задач линейной упругости. В частности, квазистатическая задача линейной упругости имеет вид
r v . ( « c . . V 0 n) + ? r = o.
1П (4С • • V (X) и)|Ест = t'ne, и |Ец = ие.
Если подставить определяющие соотношения (2.6.8) в (2.3.22), то получим постановку квазистатической задачи линейной упругости в напряжениях:
J Ink П • • (Ink Ф —х') = 0. X G E,
(2.6.64)
1п • Ink ф |Е = t ne - х п -
Здесь х ' — тензор обобщенных массовых сил; х — потенциал массовых сил:
Х' = ХЕ - f3 d , р f = V X, |
(2.6.65) |
pf'= V-x'- |
(2.6.66) |
§ 2.6. Модель линейно-упругой среды |
119 |
||
Если на части поверхности |
задан вектор перемещений, то рассматри |
||
вается постановка смешанной задачи линейной теории упругости: |
|||
"ink в = 0, |
|
|
(2.6.67а) |
V ® u + V ® и т = 2е, |
(2.6.676) |
||
< е = П • • сг, |
|
(2.6.67в) |
|
<т = Ink Ф —хЕ, |
|
(2.6.67г) |
|
П • сг|Ест = |
t ne, |
u |Eu = ue, |
(2.6.67д) |
которая несмотря на то, что содержит 12 уравнений относительно шести неизвестных компонент тензора функций напряжений и трех компонент век тора перемещений, является совместной, поскольку, как было показано в п. 2.3.3, выполнение условий совместности (2.6.67а) всегда влечет за собой разрешимость соотношений Коши (2.6.676) относительно перемещений.
Если среда является изотропной, то с помощью соотношений (2.6.46)
дивергенцию тензора напряжений можно представить в виде |
|
|
V • о- = Ai V • в + 2A2V • в - /3W |
= |
|
= (Ai + A2)V(V • u) + А2V • V <g>u - /3W , |
(2.6.68) |
|
где (см. упр. 8 к § 2.6): |
|
|
/3 = /ЗЕ, |
/3 = а(ЗХ{ + 2А2). |
(2.6.69) |
Тогда постановка динамической задачи (2.6.60) принимает следующий вид:
pii = |
(Ai Т А2)V (V |
• и) Т А2Ди Т р f^, |
(Ain(V • и) + А2(п • V ® и + V ® и • n))L = t fne, |
||
u|12-1и = ие, |
(2.6.70) |
|
|
||
f = 0; |
и = UQ, |
й = VQ, |
а постановка квазистатической задачи (2.6.61):
Г (Ai + А2)V (V • и) + А2Ди + р f' = 0,
< (Ai V • и)п + А2(п • V ® и + V ® и • n))|s ^ = t'ne, |
(2.6.71) |
[и\ = ие.
12-1и
Здесь векторы f' и \1пе (2.6.62) имеют следующие значения:
f' = f —(р/руVi?, t nef = t ne + /3 П <9, |
(2.6.71а) |
а константы упругости Ai и A2 полагаем не зависящими от х.
Уравнения равновесия в системе (2.6.71) называют уравнениями Ламе. Эти уравнения часто удобно представить с помощью двух других констант: v и G. Используя формулы (2.6.48), получаем
120 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
' v ( V - u ) + (l —2z^)Au + (1 - 2 i/ ) ( p / G ) f ' = 0, |
(2.6.72а) |
|
< (V • u)n + ф ~ ( п • V <8>u + V <8>и • п))|Ест = |
(2.6.726) |
|
|
|
(2.6.72в) |
|
2.6.8. Постановки задач теории упругости |
|
|
при адиабатических процессах |
|
Динамическая (2.6.60) и квазистатическая постановки задачи в форме |
||
(2.6.61) |
или (2.6.63) соответствуют неизотермическим процессам нагружения, |
|
когда поле температур 0(х, £), вообще говоря, неоднородное и переменное.
В частности, поле температур может быть |
и однородным, |
и стационарным: |
в = во = const, тогда д = 0 и f7 = f, t nef |
= t ne. В этом |
случае говорят, |
что рассматриваются динамическая (2.6.60) или квазистатическая (2.6.63)
задачи при изотермических процессах.
На практике часто используют модель адиабатических процессов, когда
приток тепла извне отсутствует, т. е. |
|
q = -Л • V0 = 0, qm = 0. |
(2.6.73) |
В этом случае уравнение теплопроводности (2.6.59) вырождается в обык новенное дифференциальное уравнение относительно температуры 0, которое имеет интеграл в виде постоянного значения плотности энтропии (сравните с формулой т. 3, (1.3.4) для жидких сред):
77(х, t) = 770 = const. |
(2.6.74) |
Этот результат, очевидно, следует из (2.1.416) и справедлив не только для линейно-упругих, но и вообще для идеальных сред. Температурное поле 0(х, £) в адиабатическом процессе уже не является, вообще говоря, одно родным и стационарным, и поэтому в постановках динамической (2.6.60) и квазистатической (2.6.63) задач: f' ф f, t пег ф t ne, д Ф 0.
Чаще всего именно динамическую задачу теории упругости (2.6.60) рас сматривают при адиабатических процессах, которые более точно моделируют быстропротекающие волновые движения в твердых средах.
Для линейно-упругой среды плотность энтропии р определяется формулой (2.4.3). Преобразуем эту формулу, приняв следующее допущение: температу ра в в адиабатическом процессе изменяется мало по сравнению с во, поэтому Су, OL и 4С можно считать не зависящими от в:
ж = ^ ^ 1> Су = const, OL = const, 4С о = 0, е = а(0 —во). (2.6.75)
Это допущение вполне приемлемо для многих адиабатических процессов, в том числе для процессов распространения волн в упругих средах.