книги / Теоретические основы переработки полимеров
..pdfРис. 10.23. Геометрия зоны захвата вальцов. На чало прямоугольной системы координат помеще но в середине зазора на линии, соединяющей цен тры валков.
некоторые различия. Валки вальцов имеют одинаковый диаметр и обычно вращаются с разной скоростью. На вальцах в основном обрабатывают пор цию полимера, причем полимер обра зует непрерывное покрытие вокруг одного валка и многократно проходит через зазор. В каландрах, наоборот, материал проходит через зазор между
любой парой валков только один раз. В первом случае целью про цесса является плавление и перемешивание полимера, во втором — придание товарной формы готовому продукту. Поэтому вальцы будут более детально рассмотрены в гл. 1 1 , посвященной пере мешиванию, а каландрование — в гл. 16. Тем не менее течение между валками в обоих случаях основано на тех же принципах нагне тания расплава, которые рассматриваются в этой главе.
На рис. 10.23 схематически представлена геометрия течения. Два одинаковых валка радиуса R вращаются в противоположных направлениях с частотой вращения N. Минимальный зазор между валками 2Н 0. Полимер равномерно распределяется по боковой поверхности валка шириной W. При определенном значении осевой координаты (на входе) х = Х2 (Х2 < 0 ) валки начинают захватывать
полимер. В этом случае расплав контактирует с обоими валками. На выходе при х = X i полимер отделяется от одного из валков.
Давление, которое принимается равным атмосферному в точке Х2, растет по мере изменения х, достигая максимума раньше точки минимального зазора, затем оно опять падает до атмосферного в точке X]. Результатом такого профиля давления является возник новение распорной силы, которая действует на валки, стремясь увеличить зазор между ними и даже деформировать их. Расположе ние точек Xi и Х2 зависит от геометрии валков, величины зазора и общего объема находящегося на валке полимера при вальцевании или от объемного расхода при каландровании.
Первое, что необходимо сделать, — это получить простую ньюто новскую модель на основе работы Гаскелла [13] и исследования Мак-Келви [11]. Примем следующие допущения: течение устано вившееся, ламинарное и изотермическое; жидкость несжимаемая, ньютоновская; проскальзывание по поверхности валков отсутствует; отношение зазора к радиусу мало (h/R <С 1) по всей области, что
позволяет считать, что течение происходит через узкую щель с мед ленно изменяющейся шириной зазора. Таким образом, получаем приближение, характерное для гидродинамической теории смазки, когда профиль скорости при любом значении х считается идентичным
профилю скорости между бесконечными параллельными пластинами
с расстоянием между ними 2 h и когда градиенты давления и скорости
пластин равны местным значениям этих величин между Балками: наконец, гравитационными силами пренебрегаем и считаем, что расплав полимера равномерно распределен по ширине валка. При таких допущениях остается только одна неисчезающая компонента скорости: vx (у). Следовательно, уравнения неразрывности и движе
ния сводятся к виду:
-^ - = 0 |
(Ю.5-1) |
|||
|
dx |
|
|
|
дР _ |
дтух |
_ d2vx |
(10.5-2) |
|
дх |
д ! Г ~ ^ ~ д |
|||
|
||||
Уравнение (10.5-2) может |
быть |
дважды |
проинтегрировано; это |
|
не вызывает затруднений, так как давление Р зависит только от х.
Граничные |
условия: vx {-±h) — |
U, где |
U — окружная |
скорость |
поверхности |
валка, равная |
|
|
|
|
и = |
2nNR |
|
(10.5-3) |
Результирующий профиль скоростей: |
|
|
||
|
vx — U + |
y- — h2 |
dP |
(10.5-4) |
|
|
2р |
dx |
|
Из уравнения (10.5-4) следует, что для положительного градиента давления (давление повышается в положительном направлении оси х) vx (0 ) < U, а для отрицательного градиента давления иЛ(0 ) > Расход на единицу ширины q получим, интегрируя уравнение
, = 2 | „ ф _ и ( £ / - . £ . § . ) |
(Ю.5-5) |
При установившемся режиме расход q постоянен |
И не зависит |
от х. Чтобы решить уравнение относительно профиля давления, необходимо принять, что скорость на выходе равна vx (у) <= U. Это требование подразумевает, что хух — 0, и из уравнения (10.5-2)
получаем, что градиент давления должен также стремиться к нулю в этой точке. Таким образом, расход может быть выражен из урав
нения (10.5-5) в виде зависимости от |
|
и U : |
|
q = |
2 H i U |
(10.5-6) |
|
Комбинируя уравнения (10.5-6) и (10.5-5) и производя некоторые |
|||
преобразования, получим: |
|
|
|
( |
' |
Л |
) т |
Из уравнения (10.5-7) видно, что градиент давлений равен нулю |
|||
не только на выходе, но и при х = |
—Хь где h также равно ^ И где, |
||
как будет показано ниже, давление принимает максимИльное значе ние. Выражение, описывающее профиль давления, получается путем
интегрирования уравнения (10.5-7) с граничными условиями Р = 0 при х = XI- Однако в первую очередь необходимо найти функци ональную зависимость между h и х. Из геометрических соотношений
получаем:
Л= Но + R — /У?2 — -V2 |
(10.5-8) |
Для получения более удобной формы уравнения (10.5-8) раз
ложим член Y R 2 — * 2 в биномиальный ряд и оставим только первые
два члена:
где |
|
|
л.'Яо |
1 — (>2 |
|
|
( Ю. 5-^) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р2 = |
x°-/(2RHo) |
|
|
(10.5-10) |
|
Интегрирование уравнения (10.5-7) с подстановкой (10.5-9) и |
||||||||
(10.5-10) дает выражение, описывающее профиль давлений: |
|
|||||||
Р = 3|Я/ 1 / |
R |
<р2 - |
1 — 5Х2 — ЗХ2ц2 р -|- (1 — ЗХ2)а |
clg р + С(Х)| |
(10.5-11) |
|||
4#о У |
2Я о\ |
( 1 + р 2)2 |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
Xy(2RH0) |
|
|
(10.5-12) |
Константа интегрирования С (А,) получается из |
условия |
Р = |
0 при |
|||||
р = X: |
|
с (X) = У |
^ |
3Дх --2 (1 — ЗХ2) arctg X |
|
|
||
|
|
|
(10.5-13) |
|||||
Мак-Келви |
[11] |
предложил |
следующее приближение |
для |
С (к): |
|||
|
|
|
|
С (X) « 5Х3 |
|
|
(10.5-14) |
|
Максимальное значение давления получается подстановкой р = —К
в уравнение (10.5-11), что дает:
Ртяу —‘ |
T i k V w . * ™ - |
15р(УХ; |
- V — |
(10.5-15) |
|
2Я0 |
|||||
|
У 2Я0 |
|
Отметим, что максимумы давления очень чувствительны к %, Увеличение К вызывает как общее расширение профиля, так и уве
личение максимального давления. На рис. |
10.24 приведены |
графики |
зависимости Я/Ятах, к=\ от р для разных X. |
Результаты показывают, |
|
что для любого заданного X имеется такая |
точка в начале |
потока, |
в которой давление падает до нуля. На рис. 10.23 это точка с абс циссой Х2. Это особое соотношение между X и Х 2, получаемое путем
подстановки Р = |
0 в уравнение (10.5-11), показано |
на рис. |
10.25 |
|
в виде графика |
зависимости р2 = X 2^ /r2R H Q от |
X. |
Заметим, |
что |
как р2, так и Х 0 отрицательно. И, наконец, еще одно свойство |
про |
|||
филя давлений заключается в том, что при х = |
0 давление равно |
|||
точно P mJ 2 . |
|
|
|
|
- 1,6
-1,4
- |
1,2 |
- |
1,0 |
|
с^-0,8 |
|
-0,8 |
|
-0,4 |
|
-0,2 |
-Ifi-1,2-0,8-Oft 0 Oft О,В |
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 |
Р |
Л |
Рис. 10.24. Профили давлений между валками в зависимости от параметра Я (числа у кривых).
Рис. 10.25. Соотношение между р2 на линии захвата полимера (соответствует Х._>) и Я на линии отделения полимера от валков (соответствует Xi). Вычисления выпол нены Эхерманом и Влахопулосом [Rheol Acta, 14, 761 (1975)].
Профиль скоростей получаем |
подстановкой уравнения (10.5-7) |
в (10.5-4) и с помощью уравнений |
(10.5-9), (10.5-10) и (10.5-12): |
|
(10.5-16) |
где их vx/U и £ yjH.
На рис. 10.26 показаны профили скоростей для X2 = 0 ,1 . Анализ
уравнения (10.5-16) указывает на то, что в точках с продольной координатой р* при £ = 0 может возникать область застоя [vx (0 ) —
о* = — / 2 + ЗЯ- |
(10.5-17) |
Для X = 0,425 точка застоя — это точка на поверхности воды;
следовательно, при Я, > 0,425 в области входа развиваются цирку ляционные течения. При р = +Я, профили скоростей плоские (тече ние типа пробки), так как градиент давления вдоль оси х в этом месте
равен нулю. При р = —2,46Л, расплав захватывается валками и характер профилей скорости указывает на то, что давление повы шается в направлении течения. Распределение скорости сдвига и напряжения сдвига можно получить из профиля скоростей, исполь зуя выражения (10.5-9):
3U |
р2 — Я2 t |
(10.5-18) |
Уух ( I) - - 7 Г - |
( 1 + Р 2)2 * |
|
Я 0 |
|
Экстремумы скорости сдвига у = | \ух | и напряжения сдвига
возникают на поверхности валка при р = О там, где зазор между валками минимален:
Text = 3UV;H0 |
|
(10.5-20) |
|
Text = 3|х(Я2/Я 0 |
|
(10.5.21) |
|
Максимальные значения |
экстремальных напряжений и скорости |
||
сдвига получаются при р = |
р2, если р2 > |
— \^ \ + |
2А,2 , и при р = |
= — \ г \ + 2 А2, если р2 < |
— j/"l + 2Я,2 |
(см. разд. |
11.8). Суммар |
ную мощность, подводимую к обоим валкам, можно определить,
интегрируя произведение |
скорости валка на напряжение |
сдвига |
|||||
на |
поверхности, |
положив |
в уравнении (10.5-19) | = 1 : |
|
|||
|
|
|
|
|
% |
|
(10.5-22) |
|
|
|
P \ V = |
2U W |
/ 2 R H o j тд х |
(1) d p |
|
|
W — ширина |
|
|
|
Р2 |
|
|
где |
валков. |
|
|
|
|
||
|
Выполнив |
интегрирование, |
получим: |
|
|
||
|
|
|
Рхг =-■ 3\iWU2y 2 R / H o f |
(К) |
(10.5-23) |
||
где |
|
|
|
|
|
(Я.—р2) (1 — Р2^) |
|
|
/ (К) |
(1 — Я2) [aretg К— arctgp2] |
(10.5-24) |
||||
|
|
||||||
1 +Р§
Рис. 10.26. Картина Движения полимера в зазоре между вращающимися валками:
а — профили |
скорос^й материала |
между валками, полученные по уравнению (10.5-16) |
для А* = 0,1; 6 — каР™Иа течения, |
полученная Ункрюером 117 J с помощью цветных трас |
|
серов (видна |
циркуДИ^я, которая |
ис предсказывается моделью Гаскелла). |
Рис. 10.27. Универсальные функ ции, используемые для расчета мощ ности п распорных усилии:
а — соотношение между f (Я) НX, полу ченное из уравнения (10.5-24); 6 — со отношение между g (X) и X, полученное нз уравнения (10.5-27).
График функции /(Я) приве ден на рис. 10.27.
Распорное усилие опреде лится интегрированием вы ражения для давления из уравнения (10.5-11) по площади поверх
ности валков, на которую действует это давление:
к
|
|
F N = |
W |
/ 2W 0 j |
Р d p |
|
(10.5-25) |
|
|
|
|
Рг |
|
|
|
В результате |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
f*r = |
3pURW |
|
|
(10.5-26) |
|
|
|
4Я0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
g (Я) = |
* т |
[ - р2 - |
Я - |
5Х» (1 + |
р§)] + |
(1 - 3X2) (Я arctg |
Я - |
|
Ра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Ра arctg р2) |
|
(10.5-27) |
||
Функция |
g (Я) |
приведена на рис. 10.27. |
Отметим, что |
при под |
|||
счете силы кривизна валков не учитывалась; это следует из основ ного допущения, на котором основана вся модель, а именно, что hIR < 1. Исследование течения для неньютоновских жидкостей
было выполнено Гаскеллом [13] в его оригинальной работе, он же представил детальные решения для бингамовских жидкостей. Позд нее Мак-Келви [11] опубликовал подробное решение для модели
жидкостей со |
степенным законом. |
Как показано на рис. 10.26, a, уух (Е) 5 г 0 при р < —Я и уух (£) < |
|
< 0 при р > |
—Я, где —Я определяет неизвестное пока место, в ко |
тором профиль давлений достигает максимальной величины (dP/dx —
=0 ). Кроме того, из-за симметрии получаем удобное граничное
условие: тух = уух = 0 при у = 0 ( | = 0). Делая такие же упро
щающие допущения, как и при анализе течения ньютоновских жидкостей, можно получить следующие выражения для профиля
скоростей и |
величины |
расхода: |
|
|
|
|
||
|
= и |
+ |
sign (Р) sign (Р) |
dP |
|
|
(Ю.5-28) |
|
|
1 -{- s |
. j V ' 1’* - * 1**) |
||||||
|
|
|
d x |
|
|
|
||
|
Я = |
2Л |(7 - |
sign (Р) - j q - j |
[sign |
(р) J L |
]*} |
(Ю.5-29) |
|
где функция |
sign (Р ) определяется |
как |
|
|
|
|||
|
|
|
|
d P / d x _ f + 1 p < —я |
|
|
||
|
|
|
|
I d P / d x I ~ \ - 1 |
p > — я |
|
|
|
Выражая расход через величину зазора в точке отрыва, полу чим следующее выражение для градиента давления:
dP |
= „ [sign (Р) (р2 — Л,2)]” |
dp |
(10.5-3!) |
(1 + p2)2"+l |
где
(10.5-32)
Профиль давления получаем путем численного интегрирования уравнения (10.5-31), где X соответствует уравнению (10.5-12) и опре
деляется величиной расхода. Влияние показателей степени степенного закона на профиль давления иллюстрируется рис. 10.28.
Теоретические кривые были рассчитаны как методом конечных элементов, так и по модели Гаскелла, которая была приведена в этом разделе; оба метода дали практически одинаковые результаты. По оси ординат на рис. 10.28 отложено безразмерное давление P lP maXi
по оси абсцисс — безразмерное расстояние р. Экспериментальное определение профилей давления при калан-
дровании проводилось Бергеном и Скоттом [14].
Тензодатчик для замера давлений устанавливался в одном из валков (диаметр 0,254 м), и его показания записывались при различ ных режимах, соответствующих как каландрованию, так и вальце ванию. На рис. 10.28 сравниваются экспериментальные профили давления при использовании пластифицированного поливинилхло рида (к сожалению, в работе не приведена кривая течения) и теоре тические кривые для ньютоновской и степенной моделей. Исполь зовался метод сравнения Мак-Келви [1 1 ], основанный на подборе значений А,, обеспечивающих совпадение максимумов давления. Для ньютоновской жидкости хорошее согласование между экспе риментальными и теоретическими данными наблюдается в области
р> —х.
Вобласти р < — л теоретическая кривая проходит значительно
ниже экспериментальной. Такой же результат получается, когда сравнение производится путем подбора значений вязкости, удовле творяющих экспериментальным и теоретическим кривым при р = 0 , и контролируется совпадением расположений максимумов давления, как это делалось Бергеном и Скоттом [14]. Оказалось, что выбран ное по этому принципу значение эффективной вязкости на три по рядка ниже, чем величина изме ренной вязкости. Однако следует заметить, что последняя измеря лась при значительно меньших на-
Рис. 10.28. Сравнено экспериментального профиля давлений (0 Для пластифицнрованной термопласт!1ЧНО,1 смолы и теорети ческих профилей давлений Для п — 0,25
(2) и п = 1,0 (5), рассчитанных Кипариссидисом и ВлахопУЛ°сом [15].
Рис. 10.29. Схема экструдера нормаль |
О |
|
|
ных напряжений. |
R |
||
с коэффициентом нормальных на |
|
|
|
пряжений. В этом разделе рассма |
|
|
|
тривается |
последний случай. |
|
|
Пусть имеются два диска ра |
Фильера. |
||
диуса R (рис. 10.29). Полимер по |
|
|
|
мещается |
между дисками. Верхний диск закреплен на валу и вра |
||
щается с |
угловой скоростью £2. Давление |
создается |
у головки, |
из которой полимер выдавливается. Такая принципиальная схема моделирует экструдер, работающий с использованием нормальных напряжений; впервые он был предложен Максвеллом и Скалорой [18]. Этот агрегат изучался как теоретически, так и эксперимен тально [19—21]. Если поместить между дисками ньютоновскую жидкость, то при быстром вращении в ней возникают центробежные силы, которые стремятся «засосать» жидкость через центральный патрубок и выбросить ее на периферию диска, как это происходит в центробежных насосах. Однако если поместить между дисками неньютоновскую жидкость, в которой могут существовать нормаль ные напряжения, то будет наблюдаться противоположный эффект, а именно обращенный внутрь радиальный поток направится в па трубок.
Из уравнения (6.7-22) видно, что для конического и плоского потоков, подобных только что описанному потоку, суммарное осе вое усилие, действующее на диск, можно определить, умножив пло щадь диска на половину первой разности нормальных напряжений. Экспериментально замеренное радиальное распределение давления показывает, что с уменьшением радиуса давление растет в соответ ствии с уравнением (6.7-20), учитывающим обе разности нормаль ных напряжений.
В данном разделе необходимо найти зависимость давления в центре от размеров и профиля диска, скорости вращения и реологи ческих свойств расплава. Сделаем это при отсутствии радиального течения (т. е. при «закрытом выходе»), будем также пренебрегать
любыми возможными вторичными потоками |
(vr = vz = 0 ), хотя |
такие потоки наблюдались экспериментально |
[19]. Это накладывает |
практические ограничения на создание давлений в экструдере нор мальных напряжений из-за снижения верхнего предела £2 и R.
И даже при этих значительных упрощающих допущениях течение между параллельными дисками не может быть связано с вязкостью, так как неисчезающий компонент скорости и6 является функцией как г, так и г , т. е. ve = ve (г, г). Поэтому воспользуемся уравне
нием КЕФ (6.3-5), которое, как отмечалось в гл. 6 , позволяет опи сывать умеренно невискозиметрические течения с удовлетворитель ной точностью. Наконец, допустим, что течение является установив шимся, изотермическим и соблюдается условие прилипания.
Чтобы определить, какие напряжения создаются при круговом течении КЕФ-жидкости по вращающемуся диску, сначала примем,