книги / Теоретические основы переработки полимеров

Но 0 (б, t ) = 0, так Как б определено как расстояние, на которое тепло практи­ чески не проникает. Тогда правая часть уравнения (9.3-16) оказывается равной

х = 0

и уравнение (9.3-16) может быть переписано как

Преимущество преобразования Гудмана теперь очевидно; зависящие от тем­ пературы теплофизические свойства входят в проинтегрированное дифференциальное Уравнение только при постоянной температуре поверхности Т г . Изменение этих свойств с температурой проявляется в граничных условиях для 0 ( х , t ) :

Ti

менной зависимости конечной глубины проникновения тепла.

Далее предположим, что «температурный профиль», который удовлетворяет граничным условиям

Температурный профиль для любого заданного момента времени можно полу­ чить, подсчитывая 0 для различных значений х (0 < х < б) и пользуясь уравнением (9.3-14) для определения соответствующих температур. Последнее, разумеется, тре­ бует данных о температурной зависимости рС р .

Для постоянных теплофизических свойств уравнение (9.3-21) сводится к виду:

Следует заметить, что-координата X/ откладывается от действительной внешней поверхности расплава, которая, если р/ ф Ps. медленно движется во время плавле­ ния. Для твердой фазы “исходное дифференциальное уравнение имеет вид:

Координата Xs откладывается от исходной внешней поверхности, существовав­ шей в начале процесса плавления и не меняющей своего положения. В дополнение к записанным граничным условиям можно записать тепловой баланс для поверх­ ности раздела (условие Стефана):

Левая часть этого уравнения представляет собой разность потоков тепла к по­ верхности и от поверхности, правая часть — скорость плавления на единицу по­ верхности.

Предположим, что температурный профиль в каждой фазе имеет форму темпера­ турного профиля, полученного в Примере 9.1 для полубесконечного твердого тела со скачкообразным изменением температуры поверхности. Тогда получим следую­ щие температурные профили для расплава и твердой фазы соответственно:

Они удовлетворяют граничным условиям (9.3-26а) и (9.3-286). В уравнениях (9.3-30) и (9.3-31) erfc (s) = 1 — erf (s). Оба уравнения должны соответствовать граничному

условию, которое определяет равенство температуры поверхности раздела тем­ пературе плавления:

Уравнения (9.3-32) и (9.3-33) должны быть справедливы для любого значения Времени /. Это возможно только тогда, когда величины X/ и Х3 пропорциональны

где К — неизвестная константа.

Из уравнений (9.3-34) и (9.3-35) можно сделать вывод (даже не имея полного ре­

шения) о том, что толщина слоя расплава растет со скоростью, пропорциональной корню квадратному из времени.

Интересно отметить сходство между глубиной проникновения тепла, значение ко­ торой было получено в предыдущих примерах, и расположением поверхности раз­ дела фаз. Это сходство наводит на мысль о применимости метода получения прибли­ женного решения к задаче с фазовым переходом.

Константа К может быть оценена подстановкой уравнений (9.3-30) и (9.3-31) в (9.3-29). Определив константы А и В из граничных условий (9.3-26) и (9.3-28) и

до четвертого знака было получено Черчилем и Эвансом [8]. Температурные профили в двух фазах получены из уравнений (9.3-30) и (9.3-31) с помощью (9.3-32) и (9.3-33):

Уравнения (9.3-37) и (9.3-38) удовлетворяют дифференциальному уравнению, граничным и начальным условиям. Поэтому они представляют собой точное решение задачи. Полученное решение не учитывает конвективный теплопёренос, возникаю­ щий вследствие расширения расплава, вызванного уменьшением плотности.

Количество расплава, образующееся в единицу времени на единичной площади поверхности раздела (скорость плавления) в зависимости от времени, можно опреде­ лить из уравнения (9.3-35):

Еще раз отметим сходство методов решения задач нестационарной теплопровод­ ности при постоянных теплофизических свойствах с методами решения, применяе­ мыми для задач с переменными теплофизическими свойствами и фазовым переходом. Ясно, что скорость плавления снижается со временем, а толщина слоя расплава, ко­ торый, по существу, играет роль теплового экрана, увеличивается. Этот результат лишний раз подчеркивает преимущества, которые имеет метод плавления с принуди­ тельным удалением слоя расплава. Средняя скорость плавления равна:

В рассмотренных примерах решались задачи теплопроводности в полуограниченных телах с разными допущениями относительно теплофнзических свойств твер­ дого тела. Хотя решения, которые получены в этих примерах, являются весьма по­ лезными приближениями и ими следует пользоваться при анализе проблемы тепло­ проводности, во многих реальных случаях плавления и отверждения полимеров по­ ложение осложняется тем, что одновременно имеют место как фазовые переходы, так и температурная зависимость теплофизических свойств. В подобных случаях приходится обращаться к численным методам, в частности к методу конечных раз­ ностей, рассмотренному в следующем разделе. Дополнительные преимущества чис­ ленных методов заключаются в том, что они могут применяться при сложной геомет­ рии и различных граничных условиях. Тем не менее многочисленные аналитические решения задач теплопроводности при различных конфигурациях теплового потока и разных граничных условиях вошли в классические труды [9, 10], и хотя большин­ ство решений получено для постоянных теплофизических характеристик, они очень полезны для анализа процессов переработки полимеров. Обзор этих решений и мате­ матических приемов, с помощью которых они были получены, выходит за рамки дан­

Рис. 9.8. Температура в центре тел разной формы в сравниваемое время:

9.4. Отверждение или плавление листа из полимера (числовое решение методом конечных разностей)

В методе конечных разностей (МКР) дифференциальное уравне­ ние заменяется аппроксимирующими конечными разностями, а об­ ласть, в которой отыскивается решение, покрывается сеткой дискрет-

Рис. 9.9. Расположение узловых точек при ре­ шении одномерной задачи теплопроводности.

ных точек. В результате задача оты­ скания решения сводится к задаче ре­ шения системы алгебраических урав­ нений. Одновременное решение этих уравнений дает числовые значения зависимой переменной (т. е. темпера­ туры) для поля дискретных точек. По­ лучение только числовых значений для выбранных точек, хотя и более до­

стоверное по сравнению с непрерывной функцией, является главным неудобством МКР. При такой технике решения предполагается использование большого числа довольно простых вычислений, поэтому для этой цели наиболее подходят ЭВМ. Действительно, зна­ чительные успехи в области вычислительной техники привели также и к широкому применению метода конечных разностей.

МКР применяется для решения одномерных и многомерных задач теплопроводности как при стационарных, так и при нестационарных режимах. Не излагая математических основ этого метода [10—13], рассмотрим подробно решение задачи отверждения листа.

Пусть расплавленный полимер с начальной температурой Т0 помещен между двумя бесконечными пластинами, расстояние между которыми 26, а температура каждой пластины ниже температуры от­ верждения (или ниже Tg для аморфных полимеров и равна 7\). Исходное дифференциальное уравнение (9.3-1) для одномерного слу­ чая сводится к виду:

где для краткости СР записано как С. Начальные и граничные усло­ вия (система координат определена на рис. 9.9) будут следующими:

Следуя Дусинберру [13], применим уравнение (9.4-1) как к твер­ дой, так и к жидкой фазам. Пусть теплофизические свойства k, р и Ср являются функциями температуры. Внутри области отверждения значение скрытой теплоты отверждения 1 можно включить в удель­ ную теплоемкость:

где АТт соответствует области отверждения.

Этот способ представления данных будет приводить для кри­ сталлических полимеров к весьма резкому изменению Ср в области ДТт. Для аморфных полимеров, для которых не существует теплоты плавления, как это было показано в гл. 5, Ср изменяется непрерывно,

без резких изменений в зависимости от температуры. Толщина твер­ дого слоя как функция времени будет увеличиваться от стенки

чем продолжить формулирование задачи для решения методом конеч­ ных разностей, рассмотрим применение этого метода для сходной задачи, но без фазового перехода и с неизмененными теплофизи­

Первый шаг к применению МКР состоит в замене производных разностями. Это может быть сделано или методами физической аппрок­ симации (путем составления теплового баланса для небольшого элемента пространства вокруг узловой точки), или математически. Используя последний подход, разложим в ряд Тейлора непрерыв­ ную функцию Т (х) в окрестностях точки х, + Дх/2 (Дх — простран­ ственное приращение от координаты хг, где температура равна Th до Xj+1, где температура равна Ti+1):

(9.4-11)

Член Q [(Ал:)3] объединяет оставшиеся члены порядка (Ах)9. Температура в точке х, может быть легко определена из выражения:

ращение времени. Простейший путь оценить температуру для вре­

Матрицу А называют тридиагональной матрицей, потому что ненулевыми компонентами являются только три компоненты вдоль главной диагонали. Вектор-столбец матрицы «новых» температур для времени т + Дт есть произведение тридиагональной матрицы А на вектор-столбец матрицы «старых» (известных) температур для времени т. По правилам умножения матрицы на вектор получим следующий набор алгебраических уравнений:

(1 — 2 р ) 0, + 2р0 . ,^ 0 * рв, ( 1 - 2 р ) 0 , - | - р 0 а =и0«