8.4. Автоматическое построение сетки |
253 |
1.Создается исходный (корневой) КJ:3адрант, содержащий объект целиком внут ри себя. Этот квадрант делится на четыре квадранта путем деления каждой
его стороны пополам. Затем квадранты классифицируются по положению от
носительно объекта. Если квадрант не лежит целиком внутри или снаружи объекта, он делится дальше. Процесс деления продолжается до тех пор, пока не будет удовлетворено требование к плотности сетки, после чего берутся
квадранты, либо лежащие целиком внутри объекта, либо имеющие с ним об щие точки. Если рассматриваются квадранты, имеющие с объектом общие точки, их приходится модифицировать таким образом, чтобы они содержали только внутренние части объекта. Объект, состоящий из квадрантов, лежа
щих целиком вrtутри него, а также модифицированных квадрантов, имеющих
с ним общие точки, будет выглядеть так, как показано на рис. 8.21, а.
Ж'
3
I+H
1/
Рис. 8.21. Построение сетки при помощи квадрантного дерева
2. Каждый модифицированный квадрант делится на треугольные элементы в со
ответствии с предварительно заготовленными схемами в зависимости от его
формы. Квадранты, лежащие полностью внутри объекта, также делятся на части для обеспечения согласования с соседними ячейками. Два соседних элемента
называются согласующимися, если у них имеется целое общее ребро (в трех мерном случаеобщая грань). Полученная этим методом сетка изображена
на рис. 8.21, б.
3.Положения узлов корректируются так, чтобы улучшить форму ячеек. Резуль
тат сглаживания сетки демонстрирует рис. 8.21, в. Метод сглаживания будет
описан позже.
Описанный метод был расширен на три измерения при помощи октантнога
дерева. Частично заполненные октанты модифицируются таким образом, чтобы
лежать целиком внутри объекта, после чего разбиваются на тетраэдры, точно так же, как в двумерном случае квадранты разбивались на треугольники. Тетраэдры
должны быть согласованы с соседними октантами и удовлетворять требованию к плотности ячеек. С учетом всех возможных случаев для этап~ требуется чрез
вычайно сложный алгоритм. Вообще говоря, разбиение модифицированного
квадранта в двумерном случае - тоже непростая задача.
Джан и Ли [821 предложили новый метод, согласно которому нужно начинать
с треугольного корня (или тетраэдрического в трехмерном случае). Это позволя
ет избежать описанных выше затруднений. В этом случае квадрантное дерево
будет аппроксимацией объекта треугольниками, а октантноедеревотетраэдра-
254 |
Глава 8. Метод конечных элементов |
ми. Деление треугольного корня на четыре маленьких треугольника показывает
рис. 8.22, а, а деление тетраэдрического корня на восемь тетраэдров - рис. 8.22, б.
Рис. 8.22. Деление треугольников и тетраэдров
8.4.5. Отображаемые элементы
Метод отображаемых элементов (тарреd eleтent approach) используется в
большинстве коммерческих генераторов сеток. Этот метод требует деления объ екта на области со специфической топологией. В двух измерениях области могут иметь три или четыре стороны, в трех измерениях области являются чем-то вро
де коробок. В каждой области сетка строится автоматически путем отображения данной области на регуляризованную область (правильный треугольник или квад рат в двумерном случае и куб в трехмерном). Регуляризованная область делится на части с учетом ожидаемой плотности сетки, после чего отображается обратно на ис ходную область. Полная сетка получается слиянием сеток отдельных областей. На границах соседних областей количество узлов должно быть одинаковым, чтобы сет ка получилась согласованной. Выполнение этого требования может обеспечиваться как вручную, так и алгоритмически в процессе построения сеток соседних областеi;'I,
Методов отображения существует достаточно много. Приведем в качестве при
мера два типИчных метода: трансфиннтвое отображение и изопараметрическое
отображение.
Трансфинитное отображение
Траисфииитиое отображеиие (transfinite тapping) позволяет отображать облас
ти (с тремя или четырьмя сторонами в двумерном случае или коробочного типа в трехмерном) на регуляризованную область без всяких геометрических погреш ностей. Другими словами, точки, находящиеся на границе исходной области, всегда отображаются на границу регуляризованной области.
Четырехстороннюю область (рис. 8.23, а) легко отобразить на единичный квад
рат в пространстве параметров иv (рис. 23, б) методом, который уже использо вался при выводе уравнения лоскута Куна в главе 7. Отображение четырехсто
ронней области на регуляризованную выражается формулой
Р(и,v) = (1-и)Р0(v) +и Р1 (r1) + (1-v)Q0(и) + vQ1 (и)
- (1-и)(1-v)Р0.0 -и(1-v)Р1.0 -(1-и)vР0.1 -иvР1•1 , |
(8.46) |
(О :5и :51, О :5v :51). |
|
Затем на параметрическую область накладывается решетка (см. рис. 23, б), и ко
ординаты и и v точек решетки подставляются в уравнение (8.46), с тем чтобы по
лучить координаты точек узлов. Значения и и v можно подобрать таким образом,
8.4. Автоматическое построение сетки |
255 |
что плотность ячеек в одних участках области будет больше или меньше, чем
в других.
v
аб
Рис. 8.23. Отображение четырехсторонней области
v
(0, О, 1) |
(1, О, О) |
|
о |
и |
а |
|
б |
Рис. 8.24. Отображение трехсторонней области
Область с тремя сторонами столь же легко разбить на <;:етку из треугольных эле
ментов, используя трилинейную пнтерполяционную функцию, чему посвящена
работа [8]. Трехсторонняя область на рис. 8.24 (а) может быть отображена на па раметрическую область с рис. 8.24 (б) функцией
P(и,v,w) = ~[иg(v) + wh(1-v) + vh(w) + и/(1-w) +
|
2 1-v |
1-v |
1-w |
1-w |
(8.47) |
|
+ wf(и)+ vg(1 -и) -w/(0)-иg(O)-vh(O)J. |
|
|
|
1-и |
1-и |
|
|
|
|
Параметрическая область задания уравнения (8.47) описывается следующим
уравнением:
и+ v + w =1, о:$; и :$; 1, о:$; v :$; 1, о:$; w :$; 1. |
(8.48) |
Б этом случае параметрическая область может быть поделена на ячейки задани
ем набора последовательных значений и 11 v от О до 1 и вычислением соответст
вующих значений w для каждой пары и и v.
Трансфиннтвое отображение трехмерной области выводится тем же образом, что и отображение четырехсторонней плоской области. Единственное отличие
состоит в том, что сопрягать приходится шесть уравнений граничных поверхно стей, а не два уравнения граничных кривых [166].
Изопараметрическое отображение
Изопараметрическое отображение (isopaгamet1"ic mapping)- это частный случай
трансфинитного отображения. При этом отображении только отдельные точки
256 |
Глава 8. Метод конечных элементов |
|
|
|
на границе исходной области (а не вся граница) попадают в соответствуюiliие точки на границе регуляризованной области (единичного квадрата или куба в параметрическом пространстве, рис. 8.25). Другими словами, соответствие гра ниц обеспечивается только в конечном числе точек. Уравнение отображе»ия, таким образом, выводится путем замены точных уравнений граничных кривьrх в уравнении (8.46) на уравнения кривых, интерполирующих заданные точки. Точ
но так же и уравнения поверхностей заменяются на уравнения интерполяцион ных поверхностей. Если для каждой граничной кривой задаются две точки
(рис. 8.25, а), в уравнение (8.46) подставляются линейные интерполяционные уравнения. Для трех точек потребуются квадратичные интерполяционные функ ции (рис. 8.25, 6), а для четырехкубические (рис. 8.25, в).
|
v |
у |
|
|
(-1. 1) |
(1. 1) |
Линейное |
|
|
преобраэование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Вводимая точка |
|
н. -1) |
(1,-1) |
|
|
|
Параметрическое |
~---------------+х |
|
|
пространство |
Декартово пространство |
|
|
|
|
|
v |
а |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратичное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобраэование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
v |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кубическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
преобраэование |
|
|
|
|
|
|
|
+--+и о |
|
|
н |
-+- |
+++ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в
Рис. 8.25. Изопараметрическое отображение
8.4. Автоматическое построение сетки |
257 |
8.4.6. Повышение качества сетки
Некоторые методы построения сеток, в особенности группа методов топологи
ческого разбиения, не способны дать достаточно хорошую сетку для проведения
анализа методом конечных элементов. Поэтому применяют трехэтапный метод
улучшения качества сетки.
1.Если построенные элементы относятся не к тому типу, который требовался
пользователю, эти элементы разбиваются на элементы нужного типа.
2.Если размер элементоn не соответствует нужному распределению плотности ячеек, они разбиваются на более мелкие.
3.Если форма элементов недостаточно хороша, применяют методы сглажива
ния сетки.
Преобраэование элементов
Если генератор сетки построил элементы, тип которых не соответствует требова
ниям, эти элементы могут быть преобразованы к нужному типу. Четырехуголь ники и кирпичики легко преобразуются к треугольникам и тетраэдрам хорошей формы (рис. 8.26). Треугольники и тетраэдры с той же легкостью разбиваются на четырехугольники и кирпичики (рис. 8.27). Однако в последнем случае эле
менты могут иметь не слишком хорошую форму, потому что углы около доба
вочных узлов обязательно будут большими. Сетка треугольников может быть преобразована к сетке четырехугольников простым объединением пар соседних
треугольников в четырехугольник [64].
Рис. 8.26. Преобразование четырехугольника и кубика в треугольники и тетраэдры
Рис. 8.27. Преобразование треугольника и тетраэдра в четырехугольники и кубики
Детализация сетки
При детализации сетки некоторые ее элементы разбиваются на более мелкие, то
гда как другие элементы могут оставаться нетронутыми. Отсюда может возник
нуть проблема нарушения согласованности соседних узлов (рис. 8.28, а). Вспом
ните, что соседние элементы называются colJlacoвamtьtМu (conforming), если у
них имеется целая общая сторона или грань. В треугольной сетке согласован
ность треугольников обеспечивается бисекцией длинной стороны большего тре
угольника. Для четырехугольных элементов решение этой задачи отнюдь не про-
258 |
Глава 8. Метод конечных элемеt-~тов |
|
|
|
сто. Изменение сетки для достижения соответствия четырехугольных элементов
с рис. 8.28, а иллюстрирует рис. 8.28, б.
аб
Рис. 8.28. Несогласованная сетка и ее модификация
Сглаживание сетки
Достаточно часто элементы, построенные автоматическим генератором сетки,
получаются 4Неказистыми~. с острыми углами и сильно отличающимися сторо
нами. Про такие элементы говорят, что они имеют 4Плохую~ форму. В этом слу
чае требуется применение метода сглаживания сетки. Наиболее популярен метод
сzлаживаиия Лапласа (Laplacian smoothing), согласно которому узлы перемеща ются таким образом, что каждый внутренний узел оказывается в центре тяжести тела, обра:юванного связанными с ним соседями. Перемещение обычно осущест вляется итерационным путем. Однако в некоторых случаях метод Лапласа не ра ботает или работает недостаточно хорошо. В 1976 г. Германн предложил следую
щую формулу, по которой и осуществляется перемещение узлов:
Р; |
1 |
N |
|
= |
L(Pпj +Р"1 -wP"k), |
(8.49) |
N(2 -w)"=t
где N- число элементов около узла i, а w- весовой коэффициент от О до 1. Со седние узлы Р,у. Р"1 и P"k определяются согласно рис. 8.29. При w = О форму ла (8.49) выражает метод сглаживания Лапласа, а при w = 1 - метод изопарамет
рического сглаживания.
Pnj Pnk
Рис. 8.29. Соседние узлы внутреннего узла с номером i
8.5. Пример анализа по методу конечных
элементов
В этом разделе мы демонстрируем построение сетки конечных элементов и вы
полнение анализа корпуса сотового телефона из главы 1. Мы будем использо вать коммерческую программу конечноэлементного моделирования Pro/MESH
и коммерческую программу анализа ANSYS. В разделе 8.3 мы описали общую
8.5. Пример анализа по методу конечных элементов |
259 |
процедуру подготовки и анализа, которая иллюстрируется диаграммой на
рис. 8.30. Здесь мы приводим подробное описание каждого этапа этой схемы.
Предполагается, что геометрИческая модель детали (рис. 8.31, а), уже построена.
1.Упрощение геометрии детали. Перед тем как строить сетку конечных элемен
тов для прое1пируемой детали, мы должны внимательно изучить ее и опреде
лить, нельзя ли ее упростить. Во многих случаях перенос всех подробностей
геометрической модели в аналитическую нежелателен, потому что мелкие де
тали приводят к формированию большого количества маленьких ячеек, что в
конечном итоге увеличивает время вычислений1. Поэтому мы можем попы
таться упростить геометрию детали методом удаления элементов, не сущест
венных для анализа, таких как закругления, фаски и небольшие отверстия. Далее, детали часто преобразуются к оболочкам, элементы которых являются оболочками, а не объемными телами. В нашем примере тем не менее будут использоваться объемные элементы. Аналитическую модель детали после
удаления узких канавок в верхней части передней паиели и закруглений меж ду отверстиями демонстрирует рис. 8.31, а.
Предварительная
обработка
;"························-·-······························--- - ·········: |
i Завершающая |
! |
!обработка |
! |
! |
: |
: |
: |
~--······························································································
Рис. 8.30. Диаграмма этапов работы
1 Этих проблем можно избежать, сслн использовать р-всрсню конечноэлементного анали
за, в которой граница может достаточно хорошо апnрокснмироваться крупными элемен
тами при условии достаточно высокого nорядка функций формы.
