Тема 7 Плоские волны в однородной изотропной среде Плоские волны в среде без потерь

Рассмотрим однородную плоскую волну в среде без потерь. Свойства среды описываются абсолютными диэлектрической _а и магнитной _а проницаемостями. Векторы и однородной плоской волны удовлетворяют уравнениям Максвелла без сторонних источников. Поэтому в однородной среде без потерь можно определить из системы уравнений Максвелла с вещественным волновым числом (, где f – частота колебаний:

(1)

(2)

Поскольку в однородной плоской волне составляющие могут зависеть только от одной координаты z, перпендикулярной плоским волновым поверхностям, то уравнение (1) примет вид:

, , (3)

Дифференциальные уравнения второго порядка для и (3) имеют общие решения:

, (4)

где – произвольные постоянные интегрирования, представляющие собой комплексные амплитуды вектора поля при z = 0 (например, ).

Подставляя (4) в (2), определим составляющие :

, , (5)

П

Рис.13

редположим, что векторы и требуется знать только в области , размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника (). Введем декартову систему координат , ось которой проведена вдоль радиуса-вектора, соединяющего середину вибратора с точкой , принятой за начало координат (рис. 13). В пределах области можно пренебречь изменением амплитуд векторов и и, кроме того, считать, что их фазы зависят только от координаты , т.е. считать, что , a Запишем:

(6)

С

В (6) учтено, что векторы и перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны (оси ). Ориентация векторов и относительно осей и м зависит от ориентации источника, создающего поле. В общем случае эти векторы могут иметь как -ю, так и -ю составляющие, связанные соотношениями

(7)

Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяются уравнением , т.е. представляют собой плоскости, перпендикулярные оси . Волну, ПРФ которой образуют семейство параллельных создаваемую ЭЭВ, в пределах области V можно рассматривать как плоскую волну плоскостей, называют плоской волной.

2. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде

Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источники, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области. Поэтому векторы и удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца. Предположим, что поле не зависит от координат и . Тогда уравнения принимают вид

(8)

где . Решая уравнение для вектора , получаем

(9)

где и - некоторые векторные, в общем случае комплексные, постоянные.

Считаем, когда потери в среде обусловлены только ее проводимостью, введем обозначение

(10)

получаем . Отметим, что больше величины в среде без потерь с теми же значениями и . Аналогично, обозначая

(11)

получаем .

Рассмотрим волну в момент в точке фаза напряженности электрического поля, соответствующего этой волне, равна . В момент в точке фаза той же функции равна . Полагая , приходим к соотношению . Как видно, положительным приращениям соответствуют положительные приращения . Следовательно, такая волна распространяется в положительном направлении оси .

Предположим, что источник, создающий электромагнитное поле, расположен со стороны отрицательных значений (рис.13). Так как среда считается безграничной и однородной, в рассматриваемой области пространства должна существовать только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси . Поэтому в первом слагаемом в формуле (11) в соответствии с выбором вида множителя следует положить

(12)

При выбранном значении второе слагаемое в (9) описывает волну, распространяющуюся к источнику. Так как среда является однородной, то . Следовательно.

Аналогично, из уравнения Гельмгольца для вектора находим, что , где - некоторый постоянный (в общем случае комплексный) вектор. Непосредственно из уравнений Гельмгольца дополнительной информации о векторах и получить нельзя. Однако векторы и должны удовлетворять уравнениям Максвелла. Так как векторы и не зависят от переменных и , то, проецируя указанные уравнения на ось , замечаем, что и . Таким образом, и в случае векторы и перпендикулярны направлению распространения волны. Такие волны называют поперечными. Проецируя затем уравнения на оси X и У, приходим к соотношениям ,, из которых следует, что

(13)

где - характеристическое сопротивление волны (отношение поперечных к направлению распространения волны составляющих векторов и ). У волны, распространяющейся в среде с потерями, - комплексное число. В рассматриваемом случае

(14)

где

; (15)

В среде без потерь и ; .

Таким образом, поле плоской волны в среде с проводимостью, отличной от нуля, определяется выражениями

(16)

В среде без потерь ,

При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол увеличивается от нуля до , а модуль убывает от до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной величины характеристического сопротивления, т.е. к увеличению при заданном значении . Это обусловлено тем, что величина определяется как током про­водимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях и токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.

Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим сначала случай, когда вектор имеет лишь одну составляющую, например, . Тогда вектор также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную (в рассматриваемом примере ). Считая вектор вещественным () и переходя к мгновенным значениям векторов и из получаем

(17)

В случае среды без потерь формулы принимают вид

(18)

Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами. Волна является поперечной. Комплексные амплитуды ( и ) векторов и всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор имеет одну составляющую (например, ), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Поверхности равных фаз определяются уравнением и представляют собой семейство плоскостей, перпендикулярных оси . Амплитуды векторов и экспоненциально убывают вдоль оси . Постоянную называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь и

Рис.14

Рис.15

амплитуды векторов и не зависят от координат. При поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов и которых не зависят от координат, называют однородными. При между векторами и имеется фазовый сдвиг. Вектор опаздывает по фазе относительно вектора на угол . В среде без потерь векторы и изменяются синфазно. При изменении от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до . На рис.14 и 15 показаны зависимости мгновенных значений векторов и от времени в некоторой фиксированной точке пространства () в среде с и в среде без потерь. На рис.16 и 17 показаны зависимости тех же величин от координаты в некоторый фиксированный момент времени для случаев и .

Фазовая скорость плоской волны находится так же, как в случае сферической волны. Рассмотрим перемещение ПРФ за время . В результате придем к равенству , из которого следует, что при

Рис.16

Рис.17

(19)

В среде без потерь и , т.е. равна скорости света в среде с теми же параметрами и . Так как , то в среде с потерями меньше в среде без потерь с теми же и .

Параметр , определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. При фазовая скорость зависит от частоты (): с увеличением последней она возрастает. Предельное значение при равно . Кроме того, величина зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.

Длина волны при

(20)

Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же и . Ее значение зависит от проводимости среды. При длина волны , где .

Распространение волны сопровождается переносом энергии. При комплексный вектор Пойнтинга

(21)

содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси :

(22)

При комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:

(23)

Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.

Возникновение реактивного потока энергии в среде с может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью , на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают .электромагнитное поле: создают вторичную плоскую волну, которая складывается с первичной, происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.

Скорость распространения энергии вычисляется по формуле и равна фазовой скорости:

(24)

Как видно, при скорость распространения энергии зависит от частоты. В среде без потерь одинакова при любой частоте.

Характеристическое сопротивление волны при также зависит от частоты. Модуль возрастает с увеличением . Его предельное значение при совпадает с характеристическим сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с теми же и , т.е. равно . Аргумент характеристического сопротивления изменяется от (при ) до нуля (при ).

Из изложенного следует, что свойства плоской волны, распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны ( и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при , если характеризующие ее параметры и зависят от частоты.

В общем случае вектор имеет две составляющие и , между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор также будет иметь две составляющие и . Если сос­тавляющие вектора по осям и ( и ) изменяются синфазно, то поворотом осей координат и вокруг оси этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор имеет одну составляющую. При наличии между составляющими и фазового сдвига, не равного , где - целое число, волна имеет некоторые особенности, например при мгновенные значения векторов не являются взаимно перпендикулярными. Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.