книги / Основы прикладной теории упругих колебаний
..pdf
УДК 534.1
В книге рассмотрены основы общей теории упругих колебаний, возникающих во время работы машин. Тео ретические сведения пояснены расчетными примерами. Указаны пути борьбы с вредными колебаниями.
Книга предназначена для инженерно-технических ра ботников конструкторских бюро и научно-исследователь ских институтов. Она может быть полезна также сту дентам и аспирантам втузов.
Редактор Ю. Н. Канин
2—4—2 271—66
ПРЕДИСЛОВИЕ
В общей теории колебаний упругих систем обычно раздельно рассматриваются системы с одной, конечным и бесконечным чис лами степеней свободы. По такому же принципу было разделено на части предыдущее издание книги.
Учитывая современное состояние и тенденции развития нау ки о колебаниях, в данном издании в основу разделения книги на главы положен другой принцип, при котором в каждой из них рассмотрены колебания одного вида — свободные колебания, критические состояния вращающихся валов и роторов, вынуж денные, параметрические и автоколебания. Однако в каждой главе сохранено раздельное рассмотрение систем с различным числом степеней свободы.
В книге приведены как основы общей теории колебательных процессов того или иного типа, так и примеры практического приложения. Некоторые из них связаны с новейшими достиже ниями в этой области и относятся к недавно возникшим пробле мам, как например, фрикционные автоколебания, вибрации при резании, автоматическая балансировка вращающихся роторов.
Автор стремился -привести необходимые обоснования излагае мых расчетных методов, но сложные разделы теории здесь не рассмотрены.
Книга должна помочь читателям ориентироваться в справоч никах и пособиях прикладного характера. Она может служить также введением к специальным трудам и монографиям, посвященным более сложным вопросам теории колебаний.
ВВЕДЕНИЕ
Периодический характер работы большинства машин предо пределяет периодичность нагружения и деформирования как отдельных их звеньев, так и тех конструкций, которые служат опорами или фундаментами; можно сказать, что упругие коле бания сопутствуют работе каждой машины.
В ряде случаев колебания возникают и при отсутствии перио дического возмущения. Таковы, например, сравнительно простые процессы свободных колебаний, развивающихся после мгновен ного нарушения состояния равновесия механической системы, а также более сложные и, в то же время, менее изученные про цессы, например автоколебания.
Трудно назвать такую область техники, в которой не была бы актуальной проблема изучения упругих колебаний. Большое внимание исследователей привлечено к вопросам колебаний конструкций самых различных назначений: роторов турбин, ва лов двигателей внутреннего сгорания, турбинных лопаток, воз душных и гребных винтов, автомобилей и железнодорожных вагонов, кораблей, инженерных сооружений, перекрытий про мышленных зданий, деталей, обрабатываемых на металлорежу щих станках, вибротранспортеров и т. п. В ряде случаев колеба ния мешают нормальной эксплуатации или даже непосредствен но угрожают прочности, постепенно подготовляя усталостное разрушение; в таких случаях теория может указать пути для уменьшения вредных колебаний. Наряду с этим она позволяет обосновать и оптимизировать технологические процессы, в кото рых колебания используются целенаправленно (например, в вибротранспортной технике).
При большом разнообразии вопросов, рассматриваемых в тео рии упругих колебаний, имеется глубокая внутренняя связь между внешне различными задачами. Существование единых закономерностей является принципиальной основой общей тео рии, которая позволяет рассматривать сразу целые классы явле ний, охватывающие множество отдельных частных задач. Мож но указать, по крайней мере, следующие пять категорий раз личных по своей природе колебательных процессов:
5
свободные колебания, т. е. колебания, совершаемые механи ческой системой, лишенной 'притока энергии извне, если система выведена из состояния равновесия и затем предоставлена самой себе;
критические состояния вращающихся валов и роторов, вы ражающиеся в резком возрастании прогибов их осей при опре деленных угловых скоростях вращения (или в определенных зо нах этих скоростей);
вынужденные колебания, которые возникают вследствие дей ствия на механическую систему внешних переменных сил (воз мущающих сил);
параметрические колебания, вызываемые периодическими из менениями параметров системы (например, ее жесткости);
автоколебания — колебательные процессы, поддерживаемые постоянными источниками энергии неколебательного характера.
Каждой из этих категорий колебательных процессов и посвя щены основные главы книги.
Г Л А В А I.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
1. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ
Сложность теоретического анализа колебаний в значитель ной мере зависит от числа степеней свободы рассматриваемой механической системы. Числом степеней свободы механической
системы называется число 'Независимых координат, |
однозначно |
|
определяющих положения |
всех материальных точек системы. |
|
В динамических задачах, |
в частности в задачах о |
колебаниях |
положения точек системы изменяются с течением времени, так, что указанные координаты являются функциями времени.
Основная задача динамического исследования состоит в на хождении этих функций, т. е. в определении движения системы. После этого без труда могут быть найдены деформации, напря жения и внутренние усилия в связях системы.
Любая механическая система содержит бесконечно много ма териальных точек и, следовательно, число степеней свободы всег да бесконечно велико. Однако при решении практических задач обычно пользуются упрощенными схемами, которые характери зуются конечным числом степеней свободы. В таких расчетных схемах некоторые (наиболее легкие) части системы считаются вовсе лишенными массы и представляются в виде деформируе мых безынерционных связей; при этом тела, за которыми в рас четной схеме сохраняется свойство инерции, считаются матери альными точками («сосредоточенные массы») или абсолютно твердыми телами.
Стремясь к упрощению расчетной схемы, нужно иметь в виду, что .пренебрежение всеми инерционными свойствами заданной си стемы лишает задачу динамической специфики.
Рассмотрим, например, безмассовую пружину (рис. 1, а), к концу которой приложена сила, заданная в виде функции вре мени P(t). Если с — коэффициент жесткости пружины, то пере-
7
мещение л* ее конца определяется обычной статической |
фор |
мулой |
|
х = Р :с. |
(1) |
Такая постановка задачи, в сущности, не является динамиче ской, хотя найденное перемещение не постоянно, а представляет собой некоторую функцию времени. Подлинная динамика про цессов в реальных механических системах'связана со свойством инерции, и это свойство, в том или ином ©иде, должно быть отра жено в расчетной схеме.
I—1WWW Pft) |
R |
в)
j^W W W llp |
f-Л/WWW /?’ |
77777777777777777777777777?' |
'V777777777777777777777777777‘, |
д) |
г} |
Рис. 1
Простейший пример динамической системы с одной степенью свободы представлен на рис. 1, б. Здесь уже нельзя обойтись чисто статическими соотношениями; в частности, нужно иметь в виду, что реакция пружины R не равна внешней силе Р.
Дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х (рис. 1, в) имеет вид
Р + Rx = тх, |
(2) |
где Rx = — сх — проекция реакции пружины на ось х. Таким об разом, получаем
тх + сх = P(t). |
(3) |
В отличие от выражения (1), служащего для непосредствен ного вычисления х, соотношение (3) представляет собой диффе ренциальное уравнение относительно функции х.
Для выяснения вида этой функции необходимо проинтегриро вать дифференциальное уравнение (3). После решения уравне ния (3) по функции x = x(t) находят внутренние усилия, на пряжения и т. п. Можно сказать, что в рассматриваемом примере одной функцией х полностью определяются все элементы дефор мированного состояния в любой момент времени. Подобные си стемы обладают одной степенью свободы.
8
К этому лее типу относятся системы, показанные на рис. 2. Характерной координатой для схемы по рис. 2, а является орди ната у груза, а для схемы по рис. 2, б — угол поворота ф жест кого тела (® обоих случаях упругие связи считаются лишенны ми массы).
Системы, изображенные на рис. 2, в, г, д, е имеют по две степени свободы. В схеме по рис. 2, в имеются две сосредоточен ные массы, и движение системы полностью определяется двумя
функциями |
|
yi = yi(t); 1/2 = |
СО |
ТО же относится и к схеме по рис. 2, г. Для плоской системы по схеме рис. 2, д необходимо учесть возможность перемещения точечной массы в двух направлениях, и за координаты естествен но принять
x = x(t); у ~ у (t).
Особенностью схемы, показанной на рис. 2, е, является конеч ность размеров груза, связанного с балкой; в этом случае необ ходимо учитывать инерцию вращения этого груза, так как в про цессе колебаний балка будет нагружена на конце не только силой инерции груза, но и моментом сил инерции. Движение системы характеризуется перемещением y = y(t) и углом пово рота ф = ф('/).
Система, изображенная на рис. 2, ою, имеет три степени сво боды, и ее движение определяется функциями
х — х (/); y = y{t); ф = ф (/).
В схемах по рис. 2, з—м грузы подвешены различно, но спо собны совершать колебания вдоль одной фиксированной прямой; поэтому независимо от различий в устройстве упругих связей каждая из этих систем имеет одну степень свободы.
Система, показанная на рис. 2, н, имеет одну степень свобо ды, если качение не сопровождается скольжением. На рис. 2, о показана совершенно жесткая балка, положение которой в лю бой момент времени определяется одной величиной — углом по ворота вокруг неподвижного шарнира; независимо от числа масс и пружин эта система имеет также только одну степень свободы. Система, показанная на рис. 2, п, может совершать крутильные колебания вокруг оси вала и поэтому принципиаль но не отличается от системы, изобрантенной на рис. 2, б; если учитывать только массу диска, то движение системы полностью определяется функцией ф(/).
Система, приведенная на рис. 2, р, имеет на первый взгляд не одну, а две степени свободы, поскольку ее движение описы вается двумя функциями фДО и ф2 (^), выражающими углы поворота дисков вокруг продольной оси системы. Однако упругие
9
.\\\\\\W\\
УУУъУЛУ^
Рис. 2
колебания определяются только одной |
функцией — относитель |
|||
ным (взаимным) |
углом поворота дисков <р = срг — cpi; |
в этом |
||
смысле система |
имеет только |
одну |
(колебательную) |
степень |
свободы. Той же особенностью |
обладает система, показанная |
|||
на рис. 2, с.
Во всех рассмотренных примерах число степеней свободы ко нечно (и к тому же невелико) благодаря обычным упрощени ям: предполагалось, что деформируемые части системы лишены массы, а тела, обладающие массой, совершенно недеформируе-
мы. В действительности |
свойства деформативности и инерции |
|||||
всегда сопутствуют |
одни дру |
asin 7ГХ |
||||
гим, |
поэтому любая |
механиче |
||||
ская |
система, как |
указыва |
|
|||
лось, |
имеет |
бесконечное |
число |
sjr~ |
||
степеней свободы. |
|
|
что |
|||
Иногда |
признается, |
|
|
|||
свойства деформативности |
и |
I |
||||
инерции распределены по все |
Рис. 3 |
|||||
му объему системы, |
но |
путем |
||||
априорного (и в известной сте |
|
|||||
пени произвольного) |
задания формы колебаний образуют рас |
|||||
четную схему с конечным числом степеней свободы. |
||||||
Так, если |
принять, что |
при |
колебаниях двухопорной балки |
|||
с распределенной массой изогнутой осью служит синусоида
(рис. 3) |
' |
у(х, i) = asin- |
и х |
то конфигурация системы в любой момент времени полностью определяется одной величиной — прогибом середины а = a{t)\ система имеет только одну степень свободы.
Если для той же балки принять более сложное представле ние изогнутой оси
у (х, t) = ахSin — + a, sin —— ,
то положение системы в любой момент времени определяется функциями a\(t) и a2(t), т. е. система имеет две степени свободы.
Нужно иметь в виду, что хотя с увеличением «признавае мых» степеней свободы точность динамического исследования возрастает, но для практических целей обычно достаточен учет небольшого числа наиболее существенных степеней свободы.
В заключение укажем, что в ряде случаев удается получить точное решение задач о колебаниях упругих систем, вовсе не прибегая к каким-либо упрощениям, т. е. учитывать действитель ную бесконечность числа степеней свободы; правда, это удается
11