книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

С. ВАТАНАБЭ, Н. ИКЭДА

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

И ДИФФУЗИОННЫЕ

ПРОЦЕССЫ

Перевод с английского

Г. Н. КИНКЛАДЗЕ

Под редакцией

А. Н. ШИРЯЕВА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1986

С глубочайшей благодарностью н с сер­ дечнейшей любовью мы посвящаем эту книгу нашему учителю

киоси ито

— постоянному источнику знаний и вдох­ новения

ПРЕДИСЛОВИЕ

Возникновение и развитие теории стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений восходит к К. Ито. В 1942 году ([60]; см. также [65]) эта теория была впервые при­ менена к следующей проблеме Колмогорова о существовании мар­ ковских процессов с заданным свойством [88]. Пусть yt — марков­ ский процесс на действительной прямой и пусть для каждого мо­ мента to F(0,г == / V (У*0) — условное распределение вероятностей yt при заданпом yt0- Почти во всех интересных случаях мы можем

пределению на R1, которое мы будем обозначать Dyio (здесь [а] есть целая часть числа а, а *к обозначает Ахкратную свертку). Сле­ довательно, Dyt() представляет собой безгранично делимое распре­

деление. Проблема, поставленная Колмогоровым, формулируется следующим образом: для заданного семейства безгранично делимых распределений L{t, у) найти процесс yt с заданным начальным рас­ пределением, для которого

Колмогоров [88] и Феллер [168] успешно получали марковские процессы путем решения дифференциальных уравнений Колмогорова (уравнения для переходных вероятностей, которые эквивалентны (0.1)), введя тем самым аналитический метод в теорию вероятно­ стей. Этот метод получил дальнейшее развитие в связи с теорией полугрупп Хилле — Иосида.

В отличие от этого аналитического метода, вероятностный под­ ход, предложенный Леви и строго обоснованный Ито, дает возмож­ ность непосредственного построения траекторий процесса yt. Рас­

пом yt = y совпадает с G(a(t, y)dt, b{t, y)idt). С другой стороны, если xt — броуновскоо движение*) (винеровский процесс), то рас­ пределение «стохастического дифференциала **) dxt = xt+it — xt

о0

Однако Винер и Леви уже давно показали, что почти все траекто­ рии хI нигде не дифференцируемы, так что интеграл по dxt нельзя определить в обычном смысле. Чтобы обойти эту трудность, Ито ввел понятие «стохастических интегралов». Используя это понятие,

стохастическое разностное уравнение и показал, что предельное рас­ пределение случайной величины, которая определяется этим урав­ нением, совпадает с фундаментальным решением уравнения Кол­ могорова. Гихман ([27], [28] и [29]) осуществил программу Берн­ штейна независимо от Ито и успешно построил теорию стохасти­ ческих дифференциальных уравнений.

Сегодня теория Ито применена пе только к марковским про­ цессам (диффузиопным процессам), но и к большему классу слу­ чайных процессов. Этот подход дает нам мощное орудие для опи­ сания и анализа случайных процессов. Так как теорию Ито можно рассматривать как интегродифференциальное исчисление для слу­ чайных процессов, то часто эта теория называется случайным анализом Ито или стохастическим исчислением.

Основной целью настоящей книги является систематическое изложение современной теории стохастических интегралов и стоха­ стических дифференциальных уравнений. Как общепринято в на­ стоящее время, мы разовьем эту теорию в мартингальном обрамле-

*) Броуновское движение представляет собой случайное движение мик­ роскопических частиц, открытое английским ботаником Р. Броуном. Физиче­ скую теорию этого движения исследовал Эйнштейн [183]. Развитие математи­ ческой теории начинали Випер [20] и Леви [103].

**) Понятие стохастических дифференциалов рассматривал Леви [103],

[104], [105]; он использовал паводящее обозначение |\dt для dxt, где | • случайная величина с распределением G(0, 1).

8 ПРЕДИСЛОВИЕ

для класса гладких кривых посредством обыкновенного дифферен­ циально-интегрального исчисления, на класс стохастических кри­ вых. Потоки диффеоморфизмов — один из таких примеров. Вос­ пользовавшись аффинной связностью или римаповой связностью, мы в состоянии строить потоки диффеоморфизмов на пространстве расслоений реперов. Наиболее общую несингулярную диффузию можно тогда получить путем проектирования. Этим методом мы можем также осуществить стохастический параллельный перенос Ито тензорных полей. Эти идеи принадлежат Иилсу, Елворту и Малливену. Обсуждая подобную задачу в случае многообразия с краем, мы приводим вероятностное условие, которое отличает от­ раженные по нормальному направлению диффузионные процессы среди всех диффузионных процессов, отраженных по косым на­ правлениям.

Множество математических объектов, появляющихся в стохасти­ ческом анализе, например сильные решения стохастических диф­ ференциальных уравнений, представляют собой функционалы от соответствующих броуновских траекторий, т. е. броуновские функ­ ционалы или винеровские функционалы. В §§ 7 и 8 главы V мы знакомимся с недавней работой Малливена, в которой решения стохастических дифференциальных уравнений исследуются как винеровские функционалы. В этой работе он получает замечательный результат о том, что вопрос гладкости для решений уравнения теплопроводности может решаться этим вероятностным путем.

Несколько разнообразный материал изложен в главе VI. В пер­ вой половине мы обсуждаем некоторые вопросы, связанные с тео­ ремой сравнения. Хотя получаемые результаты обычно несколько слабее результатов, получающихся в теории уравнений с частными производными, применяемый вероятностный метод проще и иногда приводит к более точным результатам. Обсуждаемые во второй части вопросы более или менее связаны с понятием стохастической области, впедеппым Леви. Рассматриваемые в § 7 теоремы аппрок­ симации относятся к переносу понятий, определяемых для гладких кривых, на стохастические кривые.

Множество тем из области стохастических дифференциальных уравнений не рассмотрены в этой книге: например, теория стоха­ стического оптимального управления, фильтрация и устойчивость, приложения к предельным теоремам, приложения к уравнениям с частными производными, включая нелинейные уравнения и др. Мы особенно сожалеем, что не смогли включить важные результа­ ты Н. В. Крылова об оценках для распределений стохастических интегралов и их приложений (см., например, [95] и [96]).

Мы хотим выразить благодарность Г. Маруямэ за его постоян­ ный интерес и поддержку в продолжении работы над этой книгой. Мы в долгу также перед X. Кунитой за его критические замечания и конструктивные предложения и перед Ш. Накао, который очень помог нам в доказательстве теорем VI-7.1 и VI-7.2. Среди многих

других, которые внесли свой вклад, нам хотелось бы особенно по­ благодарить X. Асано, С. Котани, С. Кусуоку, С. Мапабэ, Ю. Ока- б:>, X. Окуру, И. Шигекаву за ряд полезных замечаний и исправ­ лений. В заключение мы также выражаем пашу признательность Т. X. Савитсу, который прочел рукопись и предложил грамматиче­ ские улучшения, и редакционной коллегии Коданша Сайнтифик за большую помощь в публикации этой книги.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

в

6;j, 6iJ, 8j: S Кронекера.

6,„) — едипичпая мера (Дирака) в точке а.

1.i..p.— предел по вероятности,

п.п.— почти наверное.

С — комплексная плоскость.

R<* — d-мерное евклидово пространство.

N — множество всех целых положительных чисел. Z — множество всех целых чисел.

7Л — множество всех целых неотрицательных чисел. Q — множество всех рациональных чисел.

[ж] — наибольшее целое число, не превосходящее х.

«Гладкий» обычпо означает С“ (т. е. бесконечно дифференцируемый), «до­ статочно гладкий» — то жо самое, что и «достаточно дифференцируемый».

Остальные обозначения будут поясняться там, где они впервые появятся.