книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

Ф. С.Новик

Я .Б .А рсов

ОПТИМИЗАЦИЯ

ПРОЦЕССОВ

ТЕХНОЛОГИИ

МЕТАЛЛОВ

МЕТОДАМИ

ПЛАНИРОВАНИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТОВ

1980

ВВЕДЕНИЕ

Встречающиеся реальные задачи технологии металлов весьма разнообразны. Достаточно грубо их можно разделить на так называемые экстремальные задачи, цель которых поиск оптималь­ ных в том или ином смысле составов сплавов, режимов их терми­ ческой обработки, условий литья, сварки, обработки давлением н т. п., и задачи описания, цель которых изучение общих зако­ номерностей явлений, происходящих в металлах и сплавах при изменении их составов, в процессе приготовления, во время по­ следующих обработок. Разумеется, задачи описания и экстре­ мальные часто решаются вместе.

Во всех случаях ситуация заметно упрощается, если для того или иного явления удается построить некоторую математическую модель.

Предположим, требуется изучить влияние состава, условий литья, обработки давлением и последующей термической обра­ ботки на свойства сплавов выбранной системы. Целью этого ис­ следования является попытка выявить общие закономерности изменения свойств сплавов от состава и условий обработок, а также поиск сплава, обладающего некоторым заданным комплексом свойств. Понятно, что цели исследования легко было бы достиг­ нуть, если бы имелись математические модели, связывающие меха­ нические, технологические, эксплуатационные и любые другие свойства сплавов изучаемой системы с их составом, режимами литья, деформации, термической обработки. Решение и задачи описания, и экстремальной представляло бы тогда просто анализ имеющихся моделей.

Возникает вопрос, каким же образом получить такого рода модели? Можно назвать, по крайней мере, два способа.

Модели можно попытаться построить на основе знаний меха­ низмов явлений, происходящих в данных сплавах при изменении их состава и во время обработок, т. е. теоретическим путем. По­ строенные таким способом модели представляют исключительную ценность, в частности, их можно использовать не только для ре­ шения данной конкретной задачи, но и во многих других слу­ чаях.

5

К сожалению, механизмы большинства явлений или процессов, происходящих в металлах и сплавах, к настоящему времени изу­ чены явно недостаточно. Во всяком случае строгих количествен­ ных теорий, как правило, не существует, а потому только из тео­ ретических соображений построить модели для каждого конкрет­ ного случая почти никогда не удается. Но тем не менее рассматри­ ваемая задача является стандартной в технологии металлов, и такого рода задачи, конечно же, решаются. Следовательно, ре­ шаются они при неполном знании (а иногда и вообще при незна­ нии) механизмов явлений, протекающих в сплавах. И способ

путем построения математических моделей является экспери­ мент.

Итак, теперь можно сформулировать задачу, решению которой

ибудет посвящен весь последующий материал книги: необходимо

спомощью эксперимента, который будет проводиться при непол­ ном знании или незнании механизмов явлений, научиться строить

ианализировать математические модели, связывающие свойства металлов и сплавов со всеми теми переменными, от которых эти свойства зависят.

Сразу же отметим, что поставленная проблема является зада­ чей кибернетики. Действительно, если считать кибернетику «наукой, изучающей системы любой природы, способные воспри­ нимать, хранить и перерабатывать информацию для целей опти­

мального управления» [52 I, то такой кибернетической системой в данном случае является металл или сплав, и эту систему можно представить себе в виде так называемого «черного ящика». Она будет иметь входы (независимые переменные, факторы) хи х2, . xk

(в нашем примере — состав, режимы литья, деформации, терми­ ческой обработки) и выходы (зависимые переменные, отклики, параметры оптимизации, функции цели) гц, г)2, ..., y\q (в примере —

свойства сплава). Существенным является то обстоятельство, что каждому набору уровней входов отвечают определенные значения выходов. Другими словами, сплав фиксированного состава, полу­ ченный и обработанный по определенной схеме и режимам, имеет некоторый комплекс свойств. Сплав другого состава, обработан­ ный по другим режимам, имеет и другие свойства. Точно ответить на вопрос, почему при изменении состава и режимов обработок изменились свойства сплава, нельзя (механизм явления либо плохо, либо совсем не известен, ящик черный), но важен лишь сам факт изменения свойств. Если теперь предположить, что между выходами и входами системы существует определенная связь (а она, без сомнений, существует!), то задача сводится к по­ становке желательно минимально возможного числа эксперимен­ тов (выбору некоторого числа наборов уровней входов), фиксации выходов, а затем к построению и анализу математических моделей, связывающих выходы с входами.

6

Вид функций ф исследователю заранее неизвестен. Поэтому, получая в опытах выборочные оценки выходов у , он вынужден

строить приближенные уравнения функций отклика

Эти уравнения в многомерном пространстве факторов, часто называемом факторным пространством, имеют некоторый геоме­ трический образ — поверхность отклика. Следовательно, задача сводится к получению представления о поверхности отклика. Вели задача экстремальная, надо найти экстремум (минимум пли максимум) этой поверхности или сделать вывод, что экстре­ мума пет. Если задача описания, необходимо попытаться выявить причины именно такого характера поверхности.

Свойства сплавов, как и вообще любых других систем, можно описывать различными математическими моделями. Наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Обычно используют разложение неизвестной функции отклика и ряд Тейлора в окрестности любой точки из области ее опреде­

Этот степенной ряд в общем случае бесконечен, но на практике ограничиваются конечным числом его членов, аппроксимируя тем самым неизвестную функцию ф (хи х2, лА) полиномом некоторой

пенсии. Подобная аппроксимация имеет смысл, если функция от­ мечает ряду требований. Важнейшим из них является требование непрерывности и достаточной «гладкости». Поскольку заранее иен тсстно, насколько это требование выполняется, приходится делать допущения о том, что это так.

7

Модель строят по результатам экспериментов, т. е. определяют

где у — выборочная оценка г).

Эксперимент можно проводить по-разиому. В случае, когда ис­ следователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, на основании каких-то привходящих обстоятельств, эксперимент считают пассивным. Этот случай пока наиболее рас­ пространен при решении задач технологии металлов. В частности, такая ситуация почти всегда возникает, когда пользуются тради­ ционными методами экспериментирования, изучая вначале влия­ ние одной переменной при остальных постоянных, затем другой и т. д. Поскольку при этом немыслимо перебрать все возможные варианты, выполняют лишь часть опытов, причем обоснование выбранных почти никогда не бывает достаточно строгим. В этих случаях статистические методы применяют обычно после оконча­ ния экспериментов, когда данные уже получены. Здесь используют такие приемы, как подбор функций распределения, определение

в задачах оптимизации, является неэффективным. Не останавли­ ваясь на всех причинах этого обстоятельства, отметим лишь, что по результатам пассивного эксперимента можно, например, судить о наличии или отсутствии статистической связи между перемен­ ными, построить подходящие уравнения связи. Но этими уравне­ ниями можно пользоваться только для интерполяции. Например, можно оценить в виде аналитического выражения, как меняется прочность того или иного сплава в зависимости от его состава и условий приготовления, но интерпретировать полученную модель, придавать какое-либо значение ее индивидуальным коэффициен­ там, использовать для целей оптимизации, как правило, нельзя.

В настоящее время пассивный эксперимент достаточно широко используют в технологии металлов. Тем не менее, будущее, ве­ роятно, не за ним, хотя в некоторых случаях и из пассивных на­ блюдений удается извлечь весьма ценную информацию.

Совсем иная картина наблюдается, когда исследователь начи­ нает применять статистические методы на всех этапах исследова­ ния и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая реше­ ние о дальнейших действиях. Такой эксперимент называют актив­ ным, и он предполагает планирование эксперимента.

Под планированием эксперимента обычно понимают [6] про­ цедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точ-

8

постью. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:

минимизировать общее число опытов; выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последо­

вательно выполняемые экспериментатором при проведении ис­ следования;

использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;

одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;

организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пас­ сивного эксперимента;

рандомизировать условия опытов, т. е. многочисленные ме­ шающие факторы превратить в случайные величины;

оценивать элемент неопределенности, связанный с экспери­ ментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полу­ чаемые разными исследователями.

Для того чтобы лучше себе представить, как реализуются идеи активного эксперимента, рассмотрим схему одного из наиболее широко используемых в настоящее время методов планирова­ ния — метода крутого восхождения, предназначенного для реше­ ния экстремальных задач.

В этом методе, как и во многих других методах планирования эксперимента, задача решается поэтапно. На первом этапе, варьи­ руя в каждом опыте сразу всеми факторами, исследователь ищет лишь направление движения к области экстремума. Для этого

Анализ уравнения позволяет наметить направление движения из исходной точки, наиболее быстро приводящее к оптимизации выбранного параметра. В дальнейшем на каждом этапе в соот­ ветствии с результатами, полученными на предыдущих, ставят небольшую серию опытов, результаты которых вместе с интуитив­ ными решениями определяют следующий шаг. Эта процедура ниишчнвается в области экстремума. Здесь ставят несколько боль­ шую серию опытов и поверхность отклика описывают нелинейными функциями.

Анализ нелинейного уравнения позволяет точно определить координаты экстремума или сделать вывод, что экстремума не существует, а также наметить последующий путь оптимизации.

( Сравним классический металловедческий подход и метод кру­ ти» восхождения на следующем искусственном примере. Пред­ положим, требуется найти состав наиболее прочного сплава на

9

тель начинает менять в этом сплаве содержание одной из

можно не найти оптимальный состав (точка s(t), поскольку движе­ ние по прямой от точки Sj в любую сторону не приводит к сущест­ венному упрочнению сплава.

Если далее экспериментатор сумеет перейти к другой исходной точке s2, то, последовательно изменяя содержание алюминия и тан­ тала, он найдет наиболее прочный сплав, однако этот путь будет достаточно длинным (s2—s3—s4—s5—se).

Таким образом, традиционное экспериментирование, предпо­ лагающее поочередное изменение переменных, ведет к нерацио­ нальному расходованию времени и средств, тем более, что большая часть информации, полученная после подобной работы, часто во­ обще не представляет практического интереса, поскольку отно­ сится к области, далекой от оптимальных условий.

Та же задача методом крутого восхождения решается следую­ щим образом. Вблизи точки sx (начиная от которой при обычном

экспериментировании успех вообще мог быть не достигнут) ста­ вят небольшую серию из четырех опытов. Цель этих опытов — еще не поиск состава наиболее прочного сплава. Определение проч­ ности первых четырех сплавов позволяет исследователю неизвест­ ную поверхность отклика на небольшом участке вблизи точки sx

приблизить плоскостью, т. е. рассчитать коэффициенты ре­ грессии уравнения

У = Ь0 + Ьгхг + Ь2х2.

10