книги / Микроструктуры интегральной электроники
..pdfф) волновым пакетом (6.99). Согласно соотношению неопределен ностей Д([Лд ^ е при Г->0 такой пакет может иметь малую ширину по квазиразряду q, так что q является почти классической пере
менной. |
|
|
ни к одной из точек пеу соответст |
|
Пока значение q не близко |
||||
вующее |
волновое |
число k = q/2e |
не совпадает с нол\периодом об |
|
ратной |
решетки |
потенциала |
Поэюму |
отражение блоков |
ской волны (6.99) от максимумов потенциала |
UD мало. При этом |
|||
пакет (6.99) близок к простой |
плоской волне |
схр(/£<р) и среднее |
||
(по квантовом) ансамблю) значение сверхгока < ^ > ^ < й | s in ц |/г> практически равно нулю. Поэтому при q ^ n e происходит просто перезарядка конденсатора с разностью токов 1(1) и </а> (точка А на рис. 6.11). Эго видно из уравнения (6,101), если учесть, что при цФ пс среднее (но ансамблю) значение реального заряда Q близ ко к q- -ne, гак что
<Q>« / (t)~~ (Q) /т, t = C/G. |
(6.109) |
Удобнее представление расширенных, а не присоединенных энерге
тических зон, так что |
считаем q |
определенным |
на |
интервале |
|
[— оо; 4 ooj. Однако, когда q подходит к границе |
первой |
зоны |
|||
Бриллюэиа (например, |
к значению |
q--e, см. точки |
В, |
О на |
рис. |
6.11), когерентное надбарьерное отражение блоховской волны от максимумов потенциала Du приводит к образованию интенсивной
стоячей волны с волновым |
числом £ « 1 /2 . Здесь среднее значение |
||
h становится отличным |
от |
нуля, причем при прохождении |
q через |
верхушку нижней зоны |
(от В до D на рис. 6.11) сверхгок |
перено |
|
сит из одного сверхирово шика в другой одну куиерозскую пару:
А<(?>-=- -2е |
Поэтому в топке D нерехо ; оказывается перезаряжен |
|
ным: |
2е?«—е, так что затем снова происходит его обрат |
|
ная перезарядка током |
(6.109) до значения + е, после чего процесс |
|
повторяется |
с частотой |
(6 104) Отметим, что хотя при эю м в |
системе присутствуют и джозефсоновские колебания с частотой (ùi)=-2eÜJti, они дают пренебрежимо малые вклады в средние по ансамблю значения U и Q.
Эффекты, обусловливающие разрушение когерентных осцилляций квазиъаряда, флуктуация ц внутри нижней зоны и переход в верхние зоны (рис 6.14;. Источники флуктуаций q внутри нижней зоны описываются лапжсвеиовсквм членом l[t) в уравнении (6.101) Гкка флуктуации q ~-q -qn{t) малы, можно точно так же как в «классической» теории эффекта Джозефсона [141]. лине аризовать но ним уравнение (6 101), перейти к фурье-предегавлению и непо средственно вычислить симметризированную спектральную плотность величины
q. При Щ) = 1 это даег
|
|
I |
I I -Ь (©га)~9| ~1Sj (со) при |
|7| < ft. |
4 ^ |
^ |
! |
<l-r-i#a|//?)“ ‘° 2 lanl2^3 (<0 |
(6.110) |
П&в) При I/|^ /* > |
||||
|
|
1 |
н |
|
td = |
RCdl |
Cd = d*'c‘(°Vdq*\q=qQy |
(6.111) |
|
271
где модули коэффициентов ап(©) при со-Я) быстро убывают с ростом п (ао= = 1), особенно при |7|>7*.
Как |
видно |
из (6.110), |
5^ (©)-*-0 при |
и |7|^/*, так что система |
со |
вершает |
лишь |
малые флуктуации вблизи |
значения qo. Однако при 17| > /^ |
||
значение |
S^ (0) |
конечно, |
что означает конечную диффузию полной фазы |
бло- |
|
ховских осцилляций Q= (ùBt+nq/e, т. е. конечную ширину их линии 2Гв. Ес ли выполнено условие классичности флуктуаций
|
ЬГВ « Т , |
|
(6.112) |
то |
(со)—постоянна на |
интервале 0<оэ <;ГВ и линия |
имеет лоренцевскую |
форму с полушириной |
|
|
|
|
r B=n(n/e)*Sq(0). |
|
(6.113) |
Согласно (6.110) и (6.113) |
при токах 7 несколько выше h |
полуширина линии |
|
быстро приближается к величине |
|
||
|
Гт = (п/е)2 GT. |
|
(6.114) |
Если условие (6.112) не выполнено, т. е. доминируют квантовые флукту ации, то Гв можно оценить, приравнивая среднеквадратичное значение флук
туаций мгновенной блоховской частоты (ùb— (n/e)q вкладу ланжевеновской си
лы в полосе 0<со^Гв. |
При не слишком малом токе |
(7—It^ It) это дает |
r B* srT( l —GR0r l , |
R0™RQ = nb/2e*. |
(6.115) |
Приведенные выше формулы для Гв верны, пока |
ов, однако их мож |
|
но использовать для оценки тех значений параметров, при которых впутризонные флуктуации полностью «размывают» блоховские осцилляции. Для этого нужно приравнять Гв характерному значению ©в, равному (nfe) h. Это при водит к следующим условиям малости воздействия соответственно термических и квантовых флуктуаций:
Т « |
ô<0), |
%D » Wq, |
|
(6.116) |
($Qf |
C$Q » %Dy |
|
||
|
|
|
||
GtfQ« 1. |
|
|
(6.117) |
|
Отметим, что, с одной стороны, квазичастичное сопротивление G”1 пере |
||||
хода должно |
быть существенно |
больше квантовой |
единицы сопротивления |
|
R çæ 7 кОм. С другой стороны, узкополосные джозефсоновские осцилляции воз |
||||
можны лишь |
при GRq^ 1. Таким |
образом, при |
л именно значение |
|
GRq~ 1 служит границей между двумя возможными осцилляциоиными эффек тами в джозефсоповских переходах.
Разрушение блоховских осцилляций за счет переходов системы в верхние
зоны чроаналчшрхем с помощью уравнений для |
матрицы плотности р H'iq, |
||
усредненной по термостату Приведем елед\ю>цие из этих уразиенпй |
условия |
||
малости PC'-oiiiiiocïH межзоииых переходов. |
|
|
|
Термическое лиьЬ\ждизпе |
в выси но топы |
пренебрежимо мало, коыа 7 |
|
мнг/ие энерюгпчссьон щели |
между основной |
(s~0) и следующей |
(s-- 1) |
t'ro дает ' с «'-и. я |
|
|
НО о) |
' О1 |
(6Л! <9 |
*о> |
|
|
Возбуждение в высшие зоны возможио и за счет действия тока из-за зинеровского туннелирования. Для того чтобы интенсивность этого эффекта была ма ла, достаточно, чтобы квант частоты высшей существенной гармоники функции <7о(0 был меньше энергетической щели между зонами:
(V<£q)I/2’ C^ D » C% |
(6.119) |
|
Наконец, конечная квазичастичная проводимость G ведет к потере коге рентности состояний с различными значениям! q за время порядка т=С/(/.
Этот эффект мало сказывае!ся, пока соответствующее |
«размытие» состояний |
|||||
по оси энергий |
Ь/х |
много меньше |
энер!етической |
щели между нижней |
||
и высшей зонами: |
|
|
|
|
|
|
ti (cûf) < |
(?D ^q)U2 > |
»!> » ?« , |
|
|
(6.1201 |
|
|
%D , |
<?Q» |
, |
|
|
|
где û>(= (лle)h. |
|
|
|
|
|
|
Условия когерентных осцилляций квазизаряда. Совокупность |
||||||
соотношений (6 116) — (6.120), а также неравенство |
|7| & /* и тре |
|||||
бования на |
применимость анализа |
(е7//<сЛ<.2(Г) ) |
определяют ус |
|||
ловия наблюдения эффекта блоховскгх осцилляций в джозефсоновских переходах, например при регистрации ВАХ тина показанных на рис. 6 12. Сопоставление этих условий показывает, что при
эффект трудно наблюдать из-за экспоненциально малой ши рины нижней зоны б((П (6.107), что согласно (6.99) и (6.120) при водит к незначительному размытию осцилляций флуктуациями. Если &п ниже 2&‘q. то весьма существенны ограничения (6.118) и (6.119). Поэтому при фиксированных размерах переходов, т. е. ве личинах С и <£Q, следует подбирать силу джозефсоновской связи так, чтобы &D было порядка «ËTq, точнее &næ 2fëq. При таком вы
боре перечисленные условия сводятся к следующим: |
|
|
h т- l |
|
(6.121) |
Приведем оценку параметров по [154] при C » 3 |
- 1 0 _15 |
Ф, т. е. |
&Q = e'42C æ 5-10~24 Дж, которое соответавует, например, туннель
ным иерехотам на основе сплавов свинца площадью |
5 ж 0,1 мкм2. |
|||
Значение & n ^2 & q достигается в таком переходе |
при /с« |
30 пА, |
||
т. е. i( ~ I,-/S æ 30 А/см2. Пороговое |
напряжение у |
такого перехода |
||
ТАæ0,5é?/Cæ30 мкВ при 2A/<?æ3 мВ. Взяв |
10 мВ, получим |
|||
О ^яаЗ -Ю 5 Ом, что существенно |
больше Rq, так |
что |
условия |
|
(6.120) выполняются в частотном |
диапазоне 109 |
Гц |
й (о>в/2я) й |
|
й 1010 Гц при температурах Г«С0,3 К. Отметим, что эффективное
сопротивление для |
малых частот в туннельных переходах при низ |
|
ких температурах |
много больше их нормального |
сопротивления |
R n ~ А(Г) /7<е. Следовательно, необходим переход |
малой площади, |
|
использование низких температур и подавление до малых значе
ний флуктуаций тока It (в рассматриваемом случае ~ |
0,1 нА). |
10—98 |
273 |
Влияние размеров ДП на амплитуду блоховских колебаний. Согласно изложенному при описании макроскопических квантовых эффектов в малых переходах (размеры a, b % 10~3 см) джозефсоновская разность фаз <рг) должна рассматриваться уже не как классическая переменная, а как оператор. Поскольку ДП имеют малую площадь S (доли квадратного микрона), то при их анализе зависимостью сро от координат х, у в плоскости перехода прене брегают. Справедливость такого пренебрежения не очевидна, по скольку при этом не учитывается квантование мод Фиске [161J, число которых (в отсутствие затухания) велико даже в малых пе реходах [162]. Определим влияние конечных размеров ДП на ши рину основной нижней зоны его энергетического спектра в отсут ствие тока /, а следовательно, на амплитуду блоховских колеба ний, происходящих при малых значениях / [154, 161, 162].
Рассчитаем амплитуду вероятности квантового туннелирования между со седними минимумами периодического потенциала:
U ( Фо ) ~ 0 — cos Фо ) |
(6.122 |
за евклидово время Г-**оо. Эту амплитуду выразим через следующий интеграл по траекториям:
/ s <2я | е_нг/Ь| 0> = / £ [ <р0] ехР ( —~~ $е I Фд])> |
(6.123) |
где( евклидово действие для перехода конечных размеров a, b можно записать как
(6.124)
(û)j> — плазменная частота перехода; XD—джозефсоновская глубина проник новения). Интеграл в (6.123) берется по траекториям фо(х, у, т), удовлетво ряющим следующим граничным условиям:
Фя (х, у, —772) = 0, |
Фд (*» У, 772) = 2я. |
(6Л25) |
|
д<р 1 |
д ф |
= 0. |
(6.126) |
дх |дг=о» а |
|
||
ày ÿ=0f b |
|
||
Условия (6.126) означают отсутствие внешних полей и токов [141]. |
|||
Для расчета амплитуды |
(6.123) применим метод инстантонов [163]. В стан |
||
дартной теории скалярного поля (—оо<*, #<+«>) |
/= 0 , что связано с отсут |
||
ствием классических решений с конечным действием, удовлетворяющих условию (6.125). Учтем, что размеры ДП
a< X Df |
(6.127) |
b * b D . |
(6.128) |
Вычислим интеграл (6.123) в квазиклассическом гауссовском приближении, |
|
справедливом при |
разлагая функционал 5я[ф] вблизи его экстре- |
мумов, которые определим, приравняв нулю производную ôSjs[<p]/ô<p, что при водит к классическому евклидову уравнению движения
|
|
/_а^Ф |
_ач_\ = |
|
|||
р |
дт* ^ |
° \ |
дх* |
ду* |
) |
Y |
|
В силу условий (6 127), |
(6 128) |
единственное одноинстанционное решение урав |
|||||
нения |
(6.129), |
удовлетворяющее |
условиям |
(6 125), (6.126), есть |
|||
фкл (х• У> |
X)= |
4arctgexp (сорт). |
(6.130) |
||||
Для него евклидово действие Se конечно. |
|
||||||
5 Е [фкл] = |
|
/Шр. |
|
|
|
(6.131) |
|
Зависимость от координат х, у, таким образом, может содержаться лишь в от клонениях квазиклассических траекторий от классической траектории (6 130).
Следуя методике (163), определяем вклад в амплитуду перехода (6.123) одного инстантона (6 130) с учетом всех возможных его положений на времен*
нбй оси т. |
Затем, |
используя приближение |
разреженного |
инстантонного газа, |
||||
учитываем |
всевозможные вклады в амплитуду (6 123) |
независимых пi ипстан- |
||||||
тонов и я2 |
ангиинстантонов при |
выполнении ус к>вия |
щ-П‘>=\. необходимого |
|||||
для выполнения равенства (6.125) |
В результате получаем |
|
|
|||||
J =■ \0)е |
2Я |
jo |
|
|
|
|
(6.132) |
|
0> J ——expf —Î 0 —^ (0)77Ь|, |
|
|
||||||
где |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<£ (0) = |
— Д £ cos 6; |
А % = A exp (— SE |<ркл]/Ь) |
|
|
(6.133) |
|||
имеет смысл параметризованной энергии нижней зоны, а |
величина |
2Д<§Г — ее |
||||||
искомой ширины В соотношениях (6.133) |
|
|
|
|
||||
А — 4а ({SD h cop/я)112 |
, |
|
|
|
|
(6.134) |
||
Г Det' [ __ ш-2 д2/дХ2 _ *2 (д2/дх2 + |
д*/ду*) + 1— 2 ch-2 сор т] |
j-l/2 |
||||||
|
Det [ — со~2 а*/ат* — %%(д2/*2 4- д*/ду*) + |
1] |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.135) |
где Det' обозначает детерминант, из которого исключена нулевая мода. Вы
числяя детерминанты в соотношении (6 135) |
при условии Т-*оо, находим |
||
« = 2 |
П |
‘ (û)nw/°>p)+nï/2 |
(6.136) |
|
|||
т, п 0 (®пт/®р) 1I |
|
||
тАгПФО |
|
|
|
Здесь частоты мод Фиске |
|
||
(От = |
[ со*+ (я/гс/а)2+(я/ис/6)а]1/2, |
(6.137) |
|
где c=(ùpKd — скорость Свайхарта [141].
Проанализируем (6.133), (6.136). Рассматриваемая модель, не учитывающая диссипацию и предполагающая бесконечным евкклидово время 7, адекватна при нулевой температуре для частот ©<сошах= (Ai+A2)/ft. Напротив, для мод Фиске с ©><ошах зату
хание резко возрастает (добротность 1всегда меньше |
единицы). |
J0* |
275 |
Такое затухание ведет к сжатию волнового пакета нулевых коле баний данной моды по оси <рд и, следовательно, к уменьшению ее вклада в / и а. Это уменьшение можно приближенно учесть, ог раничив произведение (6.136) на частоте ©шах. Тогда в зависимо
сти |
от соотношения размеров |
Д П можно различить три случая. |
||||||
|
Если ©ci и ©io>«ùmax (что |
при реальных |
значениях |
С и Ai,2 |
||||
выполняется |
для |
переходов с |
а, |
Ь <, 10“3 см), |
то Д П можно |
рас |
||
сматривать |
как |
сосредоточенный |
(«нульмерный»). При |
этом |
а — |
|||
= 2 |
и (6.133) сводится к |
|
|
|
|
|
||
|
Д »о = 8 (ft ©р «d /я)1/2 ехр ( - |
8 |
/ft ©р). |
|
(6.138) |
|||
Если размеры перехода сильно различаются (например, а<С&), то может быть выполнено условие ©oi<C©max<©io. В этом квазиОДНОМерНОМ Случае существенны ЛИШЬ МОДЫ ©om<©max, и из (6.133), (6.136) получаем
|
|
[l„ |
|
+ ï ] . |
(6.139) |
где у — константа |
Эйлера. Если |
параметр |
0, то ширина |
энер |
|
гетической зоны распределенного перехода |
оказывается больше |
||||
ширины |
зоны сосредоточенного |
перехода. |
С физической |
точки |
|
зрения |
это связано |
с тем, что в |
случае переходов конечных раз |
||
меров появляются дополнительные траектории в фазовом про странстве, которые дают вклад в туннелирование. В результате возрастает вероятность туннелирования и, как следствие, — раз
мер энергетической зоны. Для переходов относительно |
больших |
|||||||
размеров (©<н и ©ю<©тах) находим |
|
|
|
|
|
|||
а = exp (S©maJ%d с), S = ab, |
|
|
|
|
(6.140) |
|||
где с — скорость Свайхарта. |
|
|
|
|
|
|
||
При анализе |
(6.138) — (6.140) необходимо учесть, |
что |
влия |
|||||
нием температуры на рассматриваемые эффекты |
можно |
прене |
||||||
бречь лишь |
при |
значениях температуры, меньших <§о |
и S ’q, где |
|||||
& Q = e2/2C', |
С — C0S — полная емкость |
перехода. |
Д ля |
значений |
||||
С0я110-5«Ф -см ~ 2 |
и температур |
выше |
10~2 |
К это |
условие выпол |
|||
няется лишь для S g 10-9 см2, так что при а ~ 6 реализуется |
нуль |
|||||||
мерный предел и |
теория Г154] |
является |
адекватной. |
Однако |
||||
принципиально возможна реализация и квазиодномерной ситуа ции, при которой влияние размеров перехода хотя и мало, но мо
ж ет быть различимо. Так, для й ~ 5 0 мкм, |
1,5-10-3 эВ и |
Яв«100 мкм имеем ««0,3 . Этот вывод справедлив и для эффек тов макроскопического квантового туннелирования и когерентно сти [144].
Одноэлектронные колебания. В туннельных переходах малых
размеров при низких |
температурах |
( T ^ S ’q, ^ ç s s e ^ C ) дискрег- |
ность квазичастичной |
компоненты |
туннельного тока становится |
существенной; при фиксированном внешнем токе /, протекающем через такой переход, эта дискретность приводит к возникновению двух типов когерентных колебаний электрического заряда и на
пряжения на переходе. Если ДП «е |
шунтированы, то частоты |
этих колебаний пропорциональны току |
и cos= 2 n ije для одноэлек- |
троиного туннелирования (см. § 3.14). |
|
Влияние температуры на блоховские и одноэлектронные коле бания. В [164] решается вопрос о максимальной температуре, при которой еще могут возникать блоховские и одноэлектронные колебания, так как характерную кулоновскую энергию &q нельзя сделать очень большой из-за того, что С определяется площадью перехода. Для решения этого вопроса про/веден количественный анализ влияния температуры на характеристики этих колебаний при различных соотношениях между S q и джозефсоиовской энер гией связи перехода
Уравнение для матрицы спектральной плотности колебаний. Анализ ди намики электрического заряда перехода Q проведем для случая, когда
#Q«Ali2. |
(6.141) |
Рассмотрим переходы с малой туннельной проводимостью G: |
|
cil (U) |
(6.142) |
GRn « 1 » Gi |
|
dU |
t/«o’ |
где Rq==кЬ./2е2 — квантовая единица сопротивления; I(U)—средний квазичастичный ток, протекающий через переход при фиксированном напряжении U. В этом случае переход можно описывать следующим «адиабатическим» гамиль тонианом
36 = |
+ QV2C — cos cpD + |
- (h !j2e) <pD, |
(6.143) |
где 5^i,2 — |
гамильтониан металлов 1, 2; |
— стандартный |
туннельный га |
мильтониан [165], в котором нужно учитывать только квазичастичную (одно электронную) часть туннельного тока. Динамика заряда на переходе описы вается уравнением для матрицы плотности:
p = F/ + FT. |
(6.144) |
Члены Fj [52] и Ft [56] описывают влияние внешнего тока / и туннелирова ния соответственно, но не в представлении заряда Q, как при S а в представлении квазизаряда q. При малой проводимости перехода (6.142) ско рость изменения матрицы плотности в (6.144) мала по сравнению с характер ными частотами временных ядер под интегралом в выражении для FT и ее можно вынести из-под интеграла. В этом же «марковском» приближении мо жно усреднить (6.144) по интервалу времени
со- l (q, |
q') « М « |
{GR0 G)ss, (q, q-)]~l , |
(6.145) |
где s=^s', |
\q—q'\ æe, |
что приводит к исчезновению |
членов, содержащих бы |
стро осциллирующие экспоненты от аргумента сùSs{q, |
q)t при s^=s\ |
||
Тогда согласно (6.144) затухают все недиагональные элементы матрицы плот ности, кроме небольшой (GRq) (/-окрестности диагонали q ~ q \ s—s'. Поэтому если можно пренебречь зиперовским туннелированием, приводящим к генера ции недиагональных элементов матрицы р, то уравнение (6.144) сводится к уравнению для плотности вероятности o.(q)=pS8 '(q, q').
|
Если кроме соотношения (6.141) |
выполняется также |
условие |
|
|||||||
|
|
—Д,|. |
|
|
|
|
|
|
|
(6.146) |
|
то |
функцию |
/(£/) можно считать |
линейной |
для характерных |
напряжений |
на |
|||||
переходе примерно равных е/с. При этом уравнение для |
a 8(q) |
принимает |
вид |
||||||||
|
v»(q, t) + / — |
|
|
21 (| ctss, (?)|2 + |pss- (?) 12 (£s'(q —e sgn ?) — |
|||||||
|
- ï . (q)) [ <V (Q— e sgn ?, t) (1 - |
exp { - |
(8S. ( q - e sgn q) - |
rSs (д))/Т}Г1- |
|||||||
|
- a e (q, |
t) (exp {[$s. (q— e sgn g) — %s (q)]/T) — 1)~']> |
|
|
(6.147a) |
||||||
|
os ( — e, |
t) = oa(e, |
t). |
|
|
|
|
|
|
(6.1476) |
|
|
Решение |
(6.147) |
получено |
с |
|
Ô-функциональным |
начальным условием |
||||
o>(q, 0)=ôSSoô(?—?о): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( 9 .0 = Psi (« (q- |
4i (0) + |
Pst (t) «[?-<?, WJ. |
|
|
(6.148a) |
|||||
где |
qi(t) = |
(qo+It+e)mod(2e)—e; |
qz(t)=qi(t)—esgn(?t)f. За |
время t~%, |
|||||||
tsC /G , решение (6.148a) переходит |
в установившееся решение, |
периодичное |
|||||||||
по времени с периодом еИ=2я/ав: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Os (9 .0 = a. (q) (S (q— 9i (0) + |
Ô(q -9a (0)]. |
|
|
(6. I486) |
||||||
Это означает, что в случае нешунтированного перехода одноэлек
тронные колебания являются |
монохроматическими, |
тогда |
как |
||
блоховекие колебания имеют |
ширину линии |
Дсо-^т-1. Решение |
|||
(6.148,6) позволяет найти форму одноэлектронных колебаний |
|
||||
(U (/)> = |
2 U. (qt (t)) os (qt (Q), / - 1 , 2 , |
|
(6.149) |
||
|
м |
|
|
|
|
где Us(q) — среднее напряжение на переходе в |
состоянии \k, |
s >, |
|||
равное |
|
|
|
|
|
Us (q) — d.Vs (q)/dq. |
|
|
(6.150) |
||
Из функции <f/(f)> определили ВАХ перехода |
по |
постоянному |
|||
току £7= £7(7): |
|
|
|
|
|
V (7) = ± |
/ dt (U (ф ,Т = е/7, |
|
(6.151) |
||
1о
атакже амплитуды спектральных компонент одноэлектроиных колебаний.
Хотя оператор напряжения на переходе в представлении ква
зизаряда недиагонален, его недиагональные матричные элементы быстро (с частотой порядка coSS'(<7> q ')) осциллируют во времени
и в марковском приближении (6.145) при |
малых |
частотах со«* |
çs&ije не дают вклада в спекгр колебаний |
напряжения St; (со), так |
|
что спектральную плотность (определенную для |
— оо <; со <; + оо ) |
|
Sv (со) = — f dx cos (сот) Ки W |
|
(6.152) |
яо
икорреляционную функцию Ки(Ф определили по классическим формулам теории флуктуаций в радиотехнике.
Расчет ВАХ, Str(w) ПРИ одноэлектронных колебаниях. В пре
деле слабой джозефсоновской связи |
состояния с опреде |
|||
ленным зарядом |
Q |
отличаются от |
состояний с определенным |
|
квазизарядом | q, |
s> |
только в небольших (e(&Dl&<i)n) |
окрестно |
|
стях точек Q = ± e n , |
а вне этих окрестностей величины |
q и Q свя |
||
заны соотношением |
|
|
|
|
Q = q + 2е |
- |
( — I f sgnç, Q s |
( — оо ; + o o )j. |
(6.153) |
В этом случае уравнение (6.147) удобно записать в Q-нредстав- лении, пренебрегая отличием состояний \q, s | от состояний с оп ределенным Q и описывая влияние потенциала — éTi>cos<p на ди намику заряда с помощью граничных условий, которым должна удовлетворять функция o(Q, t) в точках Q = ± e n .
Таким образом, уравнение (6.147,а) приводится к виду
M Q . t) + I î ll & J L = S (Q + e )-S (Q ),
|
dQ |
|
|
|
S (Q) = |
- ^ - 7- {o (Q, f) f1 - |
exp ( - |
e (Q - el2)/CT)]~l - |
|
|
ex |
|
|
|
- o (Q - e , f) exp (e (Q -e /2 )/C T )~ |
l ] - 1}. |
(6.154) |
||
Характер |
граничных условий |
в точках ± еп, п = 1,2,..., |
зависит |
|
от интенсивности зинеровского туннелирования, т. е. от отноше
ния <£>nl<%Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
вероятность зинеровского |
туннелирования Ps |
из |
||||||||||
юны s— 1 в зону s порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Pg ~ |
exp { -c o n s t ( r D ,'hcoB) <JD , c/ Q) « - ‘}. |
|
|
|
|
(6.155) |
||||||||
Такое туннелирование может быть важно лишь при 7;&е/т, |
по |
|||||||||||||
скольку лишь при таких |
токах заряд |
Q |
может достигать |
точек е, |
||||||||||
2 е,... Поэтому из оценки |
(6.155) |
следует, |
что при |
|
|
|
|
|||||||
|
^ |
(GRQy ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.156) |
|
зинеровское туннелирование между всеми зонами |
будет полным. |
|||||||||||||
При этом переход описывается уравнением |
(6.154) |
с |
формальным |
|||||||||||
граничным условием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
< т(-о о ,* ) = о ( + оо, 0 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.157) |
||||
Результаты численного |
решения |
краевой |
задачи |
(6.154), |
||||||||||
(6.157) |
при |
температурах |
Т Ф 0 |
представлены |
на |
рис. 6.13: а — |
||||||||
вольт-амперная характеристика |
при |
7’/(е 2С ) = 0 |
(кривая |
1); |
0,1 |
|||||||||
(кривая 2); 0,3 (3); 1,0 (4); 3,0 |
(5); |
оо |
(б); б — зависимость |
ам |
||||||||||
плитуды первой гармоники колебаний от |
тока |
|
для |
UA^ U S/2, |
||||||||||
е*1СТ = 6 (кривая 1); 8 (кривая |
2); |
10 (3); |
12 (4); |
15 |
(5); |
20 |
(6); |
|||||||
3 0 (7 ); |
оо (8). Как видно |
из рис. |
6.13, |
одноэлектронные |
колеба |
|||||||||
ния разрушаются при Г » 0,2 &q.
Спектр напряжения на переходе состоит из монохроматиче ских спектральных линий одноэлектронных колебаний, наложен ных на шумовой фон, спектральная плотность которого Sü(<ù)
Рис 613. Влияние температуры на характеристики туннельного перехода в ре жиме одноэлектронных колебаний (Й’в-»0) [164]
плавно спадает при увеличении частоты наблюдения. При малых токах низкочастотная высота пьедестала и средний квадрат флук туаций напряжения (7— t/—<t/> найдены аналитически:
Sff (0) = ( я - ‘ - 1 /4) (е2х/С2), |
|
(6.158) |
|
<Ü2> - |
(1 —2—1/2) (eÜIC), V = |
(я/2)1/2 (е/С) (7х/е)1/2. |
(6.159) |
Из этих |
формул следует, чго |
частоты среза шумового |
пьедеста |
ла |
|
|
|
Лю ~ |
(U2)/Su (0) ~ (Ц еху/2. |
|
(6.160) |
В области больших токов (7>>е/т) шумовой пьедестал выражает ся формулой 1165] :
Su (от) = (е V12 я G) cth (eU/2 T) (1 + (ют)2) - 1 • |
(6.161) |
Если е£7<с7\ то эта формула справедлива при любых токах. Когерентные колебания при слабой джозефсоновской связи.
Если для параметров Д11 выполняются неравенства |
|
|
<W |
< (GRqу /2 < 4DfitQ < 1. |
(6.162) |
то из (6.155) следует, что вероятность туннелирования между
нулевой и первой зонами равна |
нулю, а между всеми остальны |
||||||||||
м и — единице. Это означает, что |
плотность вероятности |
o(Q, t) |
|||||||||
непрерывна |
на |
всей оси — o o < Q < ; + oo, кроме |
точек ± е , |
в |
кото |
||||||
рых она удовлетворяет граничным условиям |
|
|
|
|
|||||||
о ( + е ± |
0,f) |
= о ( — е ± |
0,7). |
|
|
|
|
|
(6.163) |
||
Результаты |
численного |
решения |
краевой |
задачи |
(6.154), |
||||||
(6.157). (6.163), представлены на рис. 6.14 (а)Т1(е2С)—0 |
(кри |
||||||||||
вая 1); |
0,1 |
(2); |
0,3 (3 ); 1,0(4); |
3,0(5); |
оо (6); |
б) |
Т /(e2jC) = 0 ,1 |
||||
(кривая |
1); |
0,15 (2); 0,30 (3); оо |
(4) |
и на |
рис. |
6.15 |
(амплитуды |
||||
монохроматических спектральных компонент одноэлектронных ко лебаний соответствуют наблюдаемым системой с полосой пропус-