книги / Математика без формул

ради чего оно предпринимается, видеть конечную цель. Я возьмусь за изучение японского языка лишь после того, как мне расскажут о неповторимых прелестях японской поэзии на моем родном языке. Но если вместо этого мне дадут свиток с иероглифами... Математичес­ кие формулы для непосвященного — те же иероглифы. Да и доказательства для него не понятнее иероглифов. Этот жаргон, эти бесконечные «если... то... для любого., существует... вообще говоря... по крайней мере...»

—Ну, уж тут позволь с тобой не согласиться. Есть хороший анекдот .на эту тему — не возражаешь?

—Давай.

—Рихард Дедекинд, как ты знаешь, умер глубоким

стариком, через много лет после того, как написал свои классические труды. А о классиках принято думать, чтр жили они в давно прошедшие времена. Короче говоря, где-то в начале нашего века Дедекинд раскрыл какой-то календарь и прочел там: «Рихард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года». Дедекинд написал тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый колле­ га!.. Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти неверен по крайней мере год». Так и чувствуется рука математика! А в этом самом «по край­ ней мере» заключено все остроумие ответа. Так что строгость и занимательность — вещи вполне совмести­ мые, можешь меня не разубеждать!

—Не приведи господи! Ведь именно об этом я тебе и толкую! Анекдоты и приметы, пословицы и детские счи­ талки, картины великих художников и отрывки из клас­ сических произведений, факты истории и нашей повсе­ дневной жизни — вот где нужно искать иллюстрации к математическим понятиям! И они не могут не найтись. Разве древо математики поднялось бы до таких высот, если бы не уходило корнями в глубины общечеловечес­ кой практики?

—И в таком духе ты намереваешься изложить всю математику, и притом совершенно строго?

—Зачем всю? И зачем совершенно строго? Наша книга не должна быть учебником. Важны основные идеи

ипонятия. И если читатель войдет во вкус, — он потом возьмется и за учебники, за формулы и строгие доказа­ тельства. «Подобно тому, как рою бесчисленных пчел,

4

поражающему наперебой своими жалами, не удается отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного вкусил приятность скрытого в дереве меда, так нет, разумеется, никого, кто, хоть краем губ постигнув сла­ дость математических доказательств (какая бы масса величайших трудностей, ни отталкивала его, точно час­ тыми уколами жал), не стремился бы всеми силами . освоить их вполне, до полного насыщения». Это сказал Бонавентура Кавальери в своем трактате «Геометрия».

— Ну и что же за книга у нас получится? Если не учебник — то что? Что-то вроде «Кабаре математики» Графа? «Математической смеси» Литтлвуда? Развлека­ тельное чтиво?

' — Не учебник и не чтиво. Я попытался бы определить ее дух иносказательно. Представь себе поток, на одном берегу которого стоит жаждущий, но не сведущий, а на другом раскинулись райские сады математики. Книги о математике — словно камни в потоке, по которым можно переправиться на ту сторону. К берегу незнания примы­ кает россыпь анекдотов. У другого берега теснятся глыбы учебников. А в промежутке — не так уж много для уверенной переправы. Трехтомник «Математика, ее со­ держание, методы и значение» А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева и других. «Что такое математика?» Р. Куранта и Г. Роббинса. «Что такое математика?» Л. Геффтера. «Прелюдия к математике» и «Путь в современную математику» У. У. Сойера... Где-то здесь мы и должны положить свой камешек.

—Книгу полусерьезную-полушутливую, как я понял. Этакий гибрид теоремы и побасенки. А форма книги?

—Есть стиль, на мой взгляд, отлично соответствую­ щий ее содержанию. Фрагменты, связанные друг с дру­ гом не словесными переходами, но одною лишь логикой

предмета.

—Догадываюсь: «Опыты» Монтеня, «Записки у изго­ ловья» Сэй-Сенагон...

—Высокие примеры! В вольном разбеге пера одна за другой появляются зарисовки лаконичные и в то же время детальные, поэтичные и в то же время глубоко­ мысленные, часто проникнутые усмешкой... Вот бы и нам показать в таких картинах важнейшие области ма­ тематики!

5

ТЕОРЕМЫ,

АКСИОМЫ,

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Что такое математика?

Задайте этот вопрос своим приятелям, спросите у знакомых, и в ответ вы скорее всего услышите что-ни­ будь вроде: «Это наука о числах .и фигурах».

В самом деле, возьмем наугад любой раздел матема­ тики. Арифметика занимается числами. Они же подра­ зумеваются под буквами в формулах алгебры. В геомет­ рии речь идет о плоских фигурах и пространственных телах.

Между тем существуют такие отрасли математики, где ни числа, ни фигуры никакой видной роли не играют. Вот книга по математической логике. Заглянем в нее. Формулы, которые встретятся нам тут, напоминают ал­ гебраические. Однако буквы в них обозначают не числа, а фразы, чаще всего математического содержания. Их в логике именуют высказываниями. Фигуры же появля­ ются здесь исключительно для иллюстрации.

А вот книга по теории групп. В ее формулах буквы истолковываются как математические операции. После таких примеров трудно утверждать, будто в числах и фигурах заключено нечто самое существенное для ма­ тематики.

Так что же такое математика? Что в ней самое глав­ ное? Что прежде всего характерно для любого из ее разделов, любой ее теории?

Если вообразить математику в виде огромного дома, то ученых, чьими трудами возведен этот дом, естествен­ но сравнить с каменщиками. И такое сравнение небез­ основательно. Когда каменщик возводит стену, то каж­ дый кирпич прочно укладывается на уложенные ранее и скрепляется с ними раствором. Точно так же в рассуж­ дении математика каждое утверждение опирается на уже доказанные. Оно сцементировано с ними законами логики.

7

Каждый такой «кирпич» в математической «кладке», каждое утверждение математической теории, получен­ ное из ранее доказанных на основании правил логичес­ кого вывода, именуется теоремой. Конечно, математики в своих рассуждениях далеко не каждое умозаключение отмечают званием теоремы — есть у них и другие назва­ ния. Говорят, например, про признаки делимости чисел, про правила разложения полиномов на множители. Но если быть строгим в терминологии, каждое такое пра­ вило, каждый признак — одним словом, каждое матема­ тическое утверждение, получаемое путем логического доказательства, есть теорема.

Любая теорема или несколько теорем, в свою оче-. редь, могут послужить обоснованием для какой-то но|вой теоремы. И подобно тому как здание складывает­ ся из кирпичей, любая математическая теория пред­ ставляет собой совокупность теорем.

Логически последовательная стройность утвержде­ ний — вот самое существенное и характерное свойство, математики. Оно ярко проявилось уже в древнейших ее разделах- — арифметике и геометрии. В числах и фигу­ рах впервые воплотилось это отличи+ельное свойство точной науки.

Со временем появились в математике и формулы, этот особый язык для записи выкла­ док и теорем, язык удобный, точный и емкий. Скажем, не­ безызвестную теорему Пифа­ гора можно высказать словами: «Квадрат гипотенузы равен

сумме квадратов катетов». Но математик предпочтет этой длинной фразе короткое равенство а2 + Ь2 = с2.

Влюбом здании, спускаясь с верхних этажей все ниже

иниже, мы в (конце концов добираемся до фундамента. Так можно перебирать и теоремы. Занявшись этим, мы рано или поздно доберемся до утверждений, истин­

8

ность которых принимается без доказательства. Это аксиомы или постулаты.

Раскроем знаменитые «Начала» Эвклида. В течение многих веков эта книга служила для школьников учеб­ ником геометрии, для ученых — образцом математичес­ кой строгости.

УЖе на первых страницах своего трактата Эвклид перечисляет постулаты, на которые опирается в даль­ нейшем, выводя геометрические теоремы: «1. От всякой точки можно провести прямую линию. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3, Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг- 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и nq одну сторону углы, то эти две прямые, продолжен­ ные неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых» (то есть в сумме составляют меньше 180 градусов).

Посмотрим, как на таком фундаменте возводится'зда­ ние Эвклидовой геометрии.

С помощью своего пятого постулата Эвклид доказыва­ ет, например, теорему о ра­ венстве накрест лежащих углов при параллельных пря­ мых *— {$ и Р’>а также 5 и 6’ на нашем чертеже. В самом деле, сложим параллели так, как показано на рисунке ниже!, Если бы накрест лежа­ щие углы были не равны друг другу, то какие-то два ynW, лежащих по одну сторону от АВ, тогда оказались бы в сумме меньше двух прямых и параллели встретились бы. Но это невозможно. Парал­ лели на то и параллели, что не пересекаются нигде. Зна-

9

чит, накрест лежащие углы (3 и (5’, а также 5 и 8’ равны. Следующий чертеж подсказывает нам, что углы а, Р’ и у* в сумме равны двум прямым. Если заменить в этой сумме р’ и у’ равными им углами треугольника АВС, то есть углами р и у, то тем самым будет доказана извест­ ная теорема Ь том, что сумма углов любого треугольника

равна двум ррямым, то есть 180 градусам. Так и получается Одна т„еорема за другой.

•

Перед вами — малярная кисть, плакатное перо, фло­ мастер и тойко очиненный карандаш. Каким из этих инструментов вы бы воспользовались, чтобы нарисо­ вать прямую линию на бумаге?

По-видимому, вы сразу потянетесь за карандашом. И это понятно: малярная кисть рисует широкую полосу с неровными краями, с кляксами по сторонам, с торчащи­ ми в разные стороны усами, то есть с теми деталями, которые не имеют никакого отношения к прямой линии. Не свободны от подобных недостатков и плакатное перо, и фломастер. А у следа, оставленного на бумаге тонко очиненным карандашом, таких «довесков» нет. По крайней мере они^не заметны невооруженным-глазом.

Но посмотрите на след карандаша через увеличитель­ ное стекло. Он ничем не лучше следа* оставленного малярной кистью! Та же непостоянная ширина, те же неровные края.

Карандаш нужно заменить инструментом более со­ вершенным. Но где же тот инструмент, который позво­ лит свести на нет все несущественные подробности? Хорошенько поразмыслив, мы наверняка придем к вы­ воду: такого инструмента не найдешь ни в одной гото­ вальне.

Может быть, мы сплоховали из-за свёей неопытнос­ ти? Не посоветоваться ли нам в этом щекотливом во­ просе с признанными авторитетами? Как, например, определял'прямую линию отец геометрЦи Эвклид?

Раскроем вновь его «Начала»:

Ю