книги / Математика без формул

штабную единицу горизонтальной оси примем блеск звезды «6 Тельца», стоящей посредине в ряду предста­ вителей звездного сонма.

Сразу же бросается в глаза: отметки на горизонталь­ ной оси располагаются неравномерно. Объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг другу.

С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, как могло бы показаться, а примерно в два с половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает ис­ точники света по блеску, задаваясь вопросом «во сколь­ ко раз?», а не вопросом «на сколько?». Мы отмечаем не абсолютный, а относительный прирост блеска. И когда нам кажется, что он возрастает или убывает равномер­ но, в действительности тиы шагаем по его шкале все более размашистыми шагами, покрывая при этом поис­ тине гигантский диапазон: в миллион миллионов раз различаются по блеску источники света, самый слабый

исамый мощный, воспринимаемые человеческим гла­ зом.

По тому же закону мудрая природа проградуировала

инаш слуховой аппарат. И оттого диапазон звуков, внятных человеческому уху — от шелеста листвы до раскатов грома над головой, — почти столь же широк.

Кстати сказать, именно в силу описанной физиологи­ ческой особенности звезды, ярко горящие на ночном небе, не видны днем, тонут в ослепительном блеске солнца, рассеянном по небосводу. И там и здесь сияние звезд дает одну и ту же добавку к свету фона. Однако в первом случае (ночью) эта добавка велика по сравнению с мерцанием неба, во втором же (днем) составляет

*61

весьма незначительную долю от солнечного блеска (менее чем миллиардную даже для самых ярких звезд). Оттого и гаснут звезды в лучах утренней зари.

Оттого же и голос солиста, когда его пение подхваты­ вает хор, тонет в многоголосом звучании.

Суть функциональной зависимости, описанной нами на примере зрения и слуха, в том, что возрастанию аргумента в одно и то же число раз всегда соответствует одно и то же приращение функции. Когда аргумент меняется по закону геометрической прогрессии, функ­ ция меняется по закону арифметической.

•

Как же называется функция, с которой мы познакоми­ лись по звездному графику?

Прежде чем отвечать на этот вопрос, мы предложим вам, читатель, несколько других. Вы без труда ответите на них, обратившись к первому из графиков, приведен­ ных на стр. 159.

В какую степень нужно возвысить два с половиной, чтобы получить шесть с четвертью? Во вторую, отвечает упомянутый график. А в какую степень нужно возвысить два с половиной, чтобы получить четыре десятых? В минус первую. А чтобы получить два с половиной? В первую. А единицу? В нулевую.

Число, которое нужно употребить показателём степе­ ни при указанном основании для того, чтобы получить заданное число, называется логарифмом заданного числа по указанному основанию.

Минус один, нуль, один, два — это логарифмы по основанию 2,5 для чисел 0,4; 1; 2,5; 6,25.

А теперь, не выпуская из памяти всю эту информацию, вернемся к нашему звездному графику. Вот точка с пометкой «v Дракона А»: абсцисса — около четырех десятых, ордината — примерно минус один. Вот точка «5- Тельца»: абсцисса — один, ордината — нуль. Точка «у Персея»: абсцисса — два с половиной, ордината — один. Точка «Кастор»: абсцисса — шесть с четвертью, ордината — два.

162

Итак, ординаты выделенных точек графика являются логарифмами абсцисс, взятыми по основанию два с половиной. Выраженная графиком функциональная за­ висимость заключается в том, что положительным чис­ лам ставятся в соответствие их логарифмы. Такую функ­ цию естественно назвать логарифмической. А ее график именуют логарифмикой.

В роли основания логарифмов встречаются различ­ ные положительные числа. На практике весьма употре­ бительны десятичные логарифмы, основание которых равно десяти. В теоретических исследованиях популяр­ нее так называемые натуральные логарифмы, основа­ нием которых служит уже знакомое нам число е.

Теперь становится понятным общепринятое и, быть может, уже слышанное вами название этого числа: «ос­ нование натуральных логарифмов».

Кривая натурального логарифма, так называемая на­ туральная логарифмика, приведена на стр. 159 рядом со звездным графиком.

•

Почему летом теплее, чем зимой?

Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от Солнца дальше, чем летом.

Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли — это почти круг, в центре которого находится Солнце. Расстояние нашей планеты от светила меняется слиш­ ком незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было причиной смены времен года.

Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты.

Взгляните на рисунок: зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъема над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара.

Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных

163

лучей она по-разному распределяется по земной по­ верхности. Больше всего ее приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок.

Попытаемся определить точно: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом? .

На поставленный вопрос можно ответить, проследив эволюцию жирно очерченного прямоугольного тре­ угольника на приведенных рисунках (средний из них

ВС стал равным BD и слился с АВ

брать во внимание пока не будем). Гипотенуза АВ, на которую падают солнечные лучи, всюду одна и та же. А

164

вот катет ВС, через который в треугольник входят осве­ щающие гипотенузу лучи, составляет лишь часть отрез­ ка BD, обозначающего на всех рисунках ширину свето­ вого потока. Доля потока, приходящегося на гипотенузу, очевидно, равна отношению BC/BD.

Вот теперь настало время обратиться к среднему рисунку. Судя по нему, ширина /световогопотока BD равна длине гипотенузы АВ. Стало быть, интересующая нас доля солнечной энергии равна отношению вышеука­ занного катета к гипотенузе: ВС/АВ.

Это отношение равно 0.5, когда угол падения лучей составляет 30*, приблизительно равно 0.7, когда этот угол увеличивается до 45*, а при угле 90’, то есть при отвесном падении лучей, оно, как и следовало ожидать,

вточности равно 1 — в этом случае катет ВС сливается

сгипотенузой АВ.

Как меняется это отношение в зависимости от угла падения, удобнее судить, если все жирно очерченные прямоугольные треугольники собрать в одну связку, где их катеты расположёны параллельно друг другу, а гипо­ тенуза стала радиусом некоторой окружности. И если задан угол, под которым солнечнее лучи встречаются с

освещаемой поверхностью, нужно отложить его на этой круговой диаграмме, из точки пересечения его наклон­ ной стороны с окружностью опустить перпендикуляр на горизонтальный диаметр и взять отношение этого пер­ пендикуляра к радиусу окружности. Иными словами, в

165,

прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии.

Число, определенное таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла. Выше приведен график описанной функциональной зависимости.

Читатель, конечно, узнает не раз виденную синусоиду. Если что-то и кажетсяч здесь непривычным, так это неестественно малая протяженность кривой. Обычно ее рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс, волна за волной.

Продолжим синусоиду, переведя разговор о ней на темы электротехники.

Почему трамвай работает на постоянном токе? Сту­ денческий фольклор отвечает на этот вопрос так: если бы он работал на переменном, рельсы пришлось бы укладывать по синусоиде.

Шутка напоминает о том, что переменный ток изме­ няется во времени по зако­ ну синуса.

Откуда же здесь берется синусоида? Обратимся к упрощенной схеме дина­ момашины — источника переменного тока. Ток воз­

никает в рамке, которая равномерно вращается в одно­ родном магнитном поле. Величина тока определяется скоростью изменения магнитного потока, пронизываю­ щего рамку.

Следующие рисунки показывают последовательные стадии этого изменения. Величина магнитного потока, пронизывающего рамку, обозначена фигурной скобкой. Эта величина максимальна, когда рамка перпендикуляр­ на потоку (третий рисунок). Когда рамка наклоняется, доля пронизывающего ее потока уменьшается и обра­ щается в нуль, когда рамка располагается вдоль потока (шестой рисунок). Как же в точности определить зави­ симость этой доли от угла поворота рамки?

166

Чтобы облегчить решение поставленной задачи, мы достроили последний рисунок так, что рамка стала ги­ потенузой прямоугольного треугольника АВС и фигур­ ная скобка отметила длину его катета ВС. Теперь уже, надеемся, ясно, что интересующая нас доля магнитного потока равна отношению катета ВС к гипотенузе АВ, то есть синусу угла поворота рамки (этот угол помечен дужкой на последнем рисунке). За подтверждением та­ кого вывода можно обратиться к рисункам на стр. 165 и сравнить любой из нарисованных там треугольников АВС с нарисованным здесь.

Поскольку рамка вращается равномерно, угол еб по­ ворота может служить мерой времени. Все сказанное позволяет заключить: магнитный поток, пронизываю­

щий рамку, меняется во времени по закону синуса,

шшшшш S

По мере вращения рамки магнитный поток пронизы­ вает ее то с одной, то с другой стороны, и это выража­ ется в сменах его знака — в полном соответствии с течением синусоиды. Оборот за оборотом — нарастания и спады потока в точности повторяются снова и снова. Так вдоль оси абсцисс одна за другой выстраиваются волны синусоиды, похожие друг на друга, как две капли воды.

Но это лишь график магнитного потока. Теперь нужно оценить, какова в каждый момент времени скорость его изменения — она-то и определяет ток в рамке.

О том, как это делается, мы поговорим позже, когда речь пойдет о дифференциальном исчислении. А пока приведем без пояснений соответствующий график.

Он имеет вид синусоиды, сдвинутой на четверть волны влево. Точное название этой ф и вой — косину­

167

соида. Однако очень часто из-за сходства с синусоидой ее ошибочно называют так же. В этом нет ошибки лишь в том случае, если начало отсчета аргумента не указано.

Стоит отметить, что косинусоида, если рассматривать ее как функцию угла, имеет столь же тесное отношение к прямоугольным треугольникам, что и синусоида. Вели построить прямоугольный треугольник с заданным углом и измерить отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе, то получится величина, назы­ ваемая косинусом. Ее зависимость от угла и описывает косинусоида.

168

Наконец, для каждого значения угла, при котором строится прямоугольный треугольник, можно измерить отношение катетов — скажем, противолежащего к при­ лежащему. Эту величину называют тангенсом. Люби­ тель математических выкладок без труда убедится в том, что тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу.

Определенные формулы связывают описанные функ­ ции и попарно: синус с косинусом, синус с тангенсом, тангенс с косинусом. Эти связи проистекают из того, что все три функции породнены прямоугольным треуголь­ ником, через который они определяются. От греческого имени треугольника — «тригонон» — произошло собира­ тельное название «тригонометрические функции». К ним, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще косеканс, секанс и котангенс, соответственно получае­ мые из перечисленных по правилу обратной пропорци­ ональности.

•

В коллекции математических шуток есть такой вопрос: каким по величине покажется угол в пять градусов, если его разглядывать в лупу с десятикратным увеличением?

Угол, конечно же, не изменится. Ответ как будто очевиден. И все-таки давайте обсудим этот оптико-гео­ метрический феномен пообстоятельнее.

На рисунках — одна и та же фигура, но выполненная в разных масштабах, словно рассматриваемая через лупы со все большим увеличением. Все сильнее удли­ няются стороны треугольников, радиус окружности. Но присмотритесь: они увеличиваются всегда в одно и то же число раз. Отношения их длин не изменяются.

Эта неизменность естественным образом связана с постоянством углов на наших разномасштабных рисун­ ках: ведь рисунки подобны друг другу. Такая связь не­ когда и подсказала математикам мысль: мерить углы не традиционными градусами, а числами — отношениями линейных элементов тех фигур, которым принадлежат углы.

169

Элементы, которые наиболее удобно использовать для этой цели, мы вычертили пожирнее. Они образуют сектор. Можно разделить длину дуги сектора на его радиус и частное назвать величиной секториального угла (на рисунках он Отмечен дужкой).

Хороша ли такая мера? Однозначна ли? Не приведет ли к недоразумениям? Давайте разберемся.

Представьте, что на каждом рисунке исчезло все, кроме сторон угла, о котором идет речь. Проведем дугу с центром в вершине этого угла, от одной его стороны до другой. Каким бы ни был радиус дуги, огромным ли, крохотным ли, возникший сектор будет подобен тем секторам, что выделены на прежних рисунках. Точно таким же будет отношение длины дуги, стягивающей угол, к ее радиусу. А это значит, что предложенный метод определяет величину угла совершенно однознач­ но.

Описанный способ измерять углы называется радианной мерой.

Освоить ее нетрудно. Известно, что длина окружности радиуса /? равна 2л/?. Следовательно, полный угол, ко­ торый она охватывает, будет равен 2л, если его изме­ рять только что описанным способом. Прямой угол, вчетверо меньший полного, тогда выразится числом л/2, угол в 45* — числом л/4, в 30* — числом я/6 и так далее.

170