книги / Математика без формул

Есть города, основатели которых словно отдавали дань точным наукам. Математическая строгость с само­ го начала вносилась в планы ,таких городов.

Вот карта одного из старейших районов Петербурга— Васильевского острова. Его линии и проспекты, пересе­ каясь под прямым углом, образуют геометрически пра­ вильную сетку.

По такому же принципузастроен остров Манхеттен — центральная часть Нью-Йорка. Математическая стро­ гость застройки подчеркнута тем, что улицам Манхетте-- на — продольным авеню и поперечным стрит — при-

61

своены не названия, а номера. В такой сетке улиц не запутаешься: два числа — номер стрит и номер авеню — однозначно указывают положенйе каждого перекрестка, а добравшись до него, уже нетрудно отыскать нужный дом.

Впрочем, прямоугольная сетка стрит и авеню,, если внимательней приглядеться к карте Манхеттена, не столь уж математически безукоризненна. По самому краю острова, почти вплотную к берегу, проходит первая авеню. Но капризная природа сотворила берег не иде-

Г удзон

ально ровным на всем его протяжении. В одном месте, уклоняясь от направления первой авеню, он выдается значительным мысом. Мыс Застроен, причем градостро­ ители выдержали строгий принцип планировки: авеню

62

здесь проложены параллельно остальным. Однако гра­ достроители не выдержали принцип в обозначении улиц: вместо цифр в хо'д пошли буквы — авеню А, авеню В, авеню С и D.

А если сохранить верность номерным обозначениям? Приближаясь к мысу и перебирая номера авеню — тре­ тья, вторая, первая, какой номер естественно увидеть на следующей авеню? Очевидно, нулевой. А дальше, разумеется, должны идти минус первая, минус вторая...

Теперь переведите взгляд в район четвертой и пятой авеню. Между ними пролегает Мэдисон-авеню — не нумерованная, как все, а именованная. Что если и ее переименовать на числовой

«улицы» определяется тем, какой отрезок отсекает она на нулевой стрит или на

нулевой авеню. В ходе рассуждений план города с прямоугольной сеткой улиц превратился в прямоуголь­ ную декартову систему координат.

•

Не сразу Москва строилась и — в отличие от Петер­ бурга — не по единому плану. Вначале, как гласит ле­ генда, князь Юрий Долгорукий «повеле соделати град мал, древян» в месте слияния Москвы-реки и речки Неглинной. Вокруг деревянной крепости кольцом рас­ положился посад. Лучами из крепости, как из центра, на все стороны расходились торговые пути: во Владимир и Суздаль, Новгород и Смоленск. Росло население, и новостройки все новыми кольцами опоясывали цент­ ральную часть города.

63

Так складывалась радиально-кольцевая структура нашей древней столицы.

Конечно, прихотливое течение Москвы-реки, пересе­ ченный рельеф местности нарушали строгость структу­ ры. Лучи шли отнюдь не по линейке, кольца — не по циркулю. Если же употребить эти геометрические ин­ струменты, то схематической карте города нетрудно придать геометрическую стройность. Для этого нужно спрямить радиальные улицы и превратить в четкие ок­ ружности кольцевые.

И тогда, как на плане Петербурга или Нью-Йорка, положение любой точки на плане Москвы будет опреде­ ляться как пересечение двух «улиц» — радиальной и кольцевой.

Номер кольцевой улицы будет равен радиусу соответ­ ствующей окружности, измеренному в принятых едини­ цах масштаба, иными словами, расстоянию точки до центра, до начала координат.

С номерами радиальных улиц дело сложнее. Прежде всего — откуда их отсчитывать? Какое-то направление нужно принять за основу, уже привычным нам приемом

64

присвоить ему нулевой номер, и каждую радиальную улицу определять углом, который она составляет с ну­ левой.

Поправка за поправкой план Москвы с его радиальнокольцевой структурой превращается в этакую симпатич­ ную координатную систему. Ее называют полярной сис­ темой координат.

Как и в декартовой систе­ ме здесь есть начало коор­ динат, обозначаемое бук­ вой О. Из этой точки исхо­ дит полярная ось, которую мы в нашем предыдущем рассказе называли улицей номер нуль. Как в и декар­ товой системе здесь у каж­ дой точки две координаты. Первая из них — длина от­ резка, проведенного в точку из начала. Его называют ра­ диус-вектором, а его длину

обозначают греческой буквой р. Вторая координата — угол, образованный этим отрезком с полярной осью. Он считается положительным, если отсчитывается от по: лярной оси к радиус-вектору против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчитывается по часовой стрел­ ке. Его называют полярным углом, а его величину обо­ значают греческой буквой <р.

•

Примеры двумерных координатных систем мы подыс­ кивали, изучая планировку Петербурга, Нью-Йорка, Москвы.

За примерами трехмерных координатных систем, по­ жалуй, нужно отправиться в пространство, подняться над землей.

Но почему подняться? В третье измерение можно выйти и в противоположном направлении. Человек сде­ лал это задолго до эры авиации и космонавтики — копая шахты, добираясь до угольных пластов и рудных жил.

65

Взгляните на чертеж, изображающий горную выра­ ботку. Чтобы добраться до своего рабочего места, шах­ тер должен спуститься до нужного квершлага, затем проехать до нужного штрека, а затем до нужного участ- fg fiо) ка. Номер кверш лага, номер штрека., номер участка — вот три числа, которые записаны в наряде у шахтера, когда он отправ­

пункт его назначения в под­ земном пространстве.

В строгой структуре гор­ ной выработки четко про­ сматривается образ трех­ мерной декартовой систе­ мы координат.

Отображение и функция. В своих рассуждениях мы употребляли эти слова вперемежку, и читатель мог посчитать их синони­

мами.

Это не совсем так. Чтобы показать тонкую разницу между ними, обратимся к нашим испытанным приме­ рам отображений.

Пример с гостиницей. Каждому номеру ставится в соответствие ключ. В роли прообразов здесь выступают

числа (номера). Всякое такое отображение называется функцией числового аргумента.

Примеры с экзаменом и с новосельем. Здесь числа выступают в роли образов (каждому экзаменующемуся ставится в соответствии оценка, каждому новоселу —

66

номер его квартиры). Всякое такое отображение назы­ вается числовой функцией.

А теперь представьте, что в новом доме, куда недавно вселились жильцы, устанавливают телефоны. Номеру каждой квартиры ставится в соответствие номер теле­ фона. Как назвать такое отображение? Числовая функ­ ция числового аргумента, не правда ли?

Наш недавний пример, где каждому вещественному числу ставился в соответствие его квадрат, — тоже чис­ ловая функция числового аргумента.

На подобные примеры, когда и образы и прообразы— числа, стоит обратить особое внимание. Именно в таких случаях обычно говорят не «отображение», а «функция», не «прообраз», а «значение аргумента», не «образ», а «область определения функции» (ее составляют веще­ ственные числа, как правило, из некоторого ограничен­ ного или неограниченного промежутка). Часто в таких случаях употребляют термин «область значений функ­ ции» — это тот самый образ множества прообразов, о котором говорилось в конце раздела, где определялось понятие отображения.

Свои особенные наименования есть у многих отобра­ жений специального вида.

Отображая какое-либо пространство на себя, говорят о преобразовании этого пространства. (Скажем, когда недавно каждой точке плоскости мы ставили в соответ­ ствие другую точку, отнесенную от первой на отрезок определенной длины и направления, это было так назы­ ваемое преобразование параллельного переноса.) Ото­ бражения, сопоставляющие числовые функции числово­ го аргумента друг с другом, именуются операторами, функции с числами — функционалами.

Взгляните на такое выражение: 1 + 3 = 4. Примером чего оно служит? Математик сказал бы, что оно иллю­ стрирует операцию сложения. А про выражение 2 • 5 = 10 он сказал бы, что здесь произведена операция умножения.

Но ведь про первый пример можно сказать и так: двум числам, 1 и 3, поставлено в соответствие число 4, называемое их суммой. А про второе так: двум числам, 2 и 5, поставлено в соответствие число 10, называемое их произведением.

67

И там и тут парам чисел ставятся в соответствие числа. Стало быть, мы опять имеем дело с отображени­ ем (или, как можно еще сказать, с числовой функцией двух числовых переменных).

Можно вообразить наиболее общий случай такого рода, когда упорядоченным парам, составленным из элементов некоторых двух множеств, ставится в соот­ ветствие элемент третьего множества. Всякое такое отображение в математике принято именовать бинар­ ной, или двуместной, операцией («binarus» по-латыни «двойной»), определенной на произведении первого множества на второе (напомним, что совокупность упо­ рядоченных пар из элементов двух множеств называет­ ся произведением этих множеств) со значениями из третьего множества.

Значит, и сложение и умножение чисел — это дейст­ вительно отображения, но того специфического вида, которые именуются бинарными операциями. Определе­ ны обе эти операции на произведении множества веще­ ственных чисел на себя, и значения принимают опятьтаки из множества вещественных чисел.

Можно говорить вообще об л-местных операциях, когда л-кам элементов ставятся в соответствие элемен­ ты еще какого-то множества. (Правда, в таких случаях обычно говорят р функциях л переменных.) «Обыкновен­ ные» отображения, когда с элементами одного множе­ ства сопоставляются элементы другого (или того же самого), тоже иногда трактуются как операции — их называют унарными, или одноместными («unarius» полатыни «единичный»). Когда, например, положительным числам ставятся в соответствие их квадратные корни, говорят об операции извлечения квадратного корня.

Как все-таки многолико это понятие «отображение»! Как широко оно применяется! Недаром во многих курсах математики о нем говорится как об одном из основных понятий этой науки, не менее фундаментальном, чем понятие множества.

68

•

Когда мы знакомились с пересечением и объедине­ нием множеств, с включением одного множества в дру­ гое, на память о каждой операции над множествами или отношении между ними нам оставалась выразительная символическая картинка — диаграмма Венна.

Вероятно, читателю хочется получить подобный-суве­ нир, который давал бы наглядное представление о по­ нятии отображения.

Характерная картинка, приводимая для этой цели во многих учебных пособиях по теории множеств, воспро­ изведена на этой странице. Овалы — это множества, точки — их элементы, стрелки — соответствия. Из каж­ дой точки левого овала, символизирующего мно­ жество прообразов, исхо­ дит одна и только одна стрелка. В некоторые точки правого овала (он изобра­ жает множество, элементы которого в данном отобра­

жении играют роль образов) упирается несколько стре­ лок, в некоторые — ни одной. Все вполне соответствует определению отображения. Но выразительные возмож­ ности таких картинок явно не настолько широки, чтобы показать существенные черты того или иного конкрет­ ного отображения.

Более богатые изобразительные средства стоят за термином «график отображения», который встречается

вработах по теории множеств. Поинтересуемся, что он означает. Оказывается, так именуется множество пар, построенных из элементов двух множеств, участвующих

вотображении, причем первые элементы всех таких пар

всовокупности представляют собой все множество про­ образов, а второй элемент каждой пары является обра­ зом первого в данном отображении.

Скажем, если рассматривать экзамен как отображе­ ние, то его графиком будет экзаменационная ведо­ мость, полный перечень пар «фамилия — оценка»

69

Опять’ не очень живописно. И не очень понятное поче­ му это называется графиком? Это слово обычно ассо­ циируется с кривой, вычерченной в координатных осях.

Дело в том, что такие кривые тоже представляют собой графики отображений, но весьма частного вида. Это графики числовых функций числового аргумента. Ведь в таких отображениях каждая пара «прообраз — образ» — это пара чисел. (Напомним, что в подобных случаях принято говорить не «прообраз», а «значение аргумента», не «образ», а «значение функции».)

Всякую пару чисел можно изобразить точкой на коор­ динатной плоскости. Перебрав все значения аргумента из области определения функции и изобразив каждую такую пару точкой плоскости, мы и получим график функции.

Когда, знакомясь с декартовой системой координат, мы отметили на координатной плоскости несколько точек (см. стр. 60), соответствующих приведенным в тексте числовым парам, внимательный читатель навер­ няка подметил характерное свойство этих пар: второй элемент каждой из них есть квадрат первого. Иными бловами, эта россыпь точек не что иное, как фрагмент графика отображения, которое каждому вещественному числу ставит в соответствие его квадрат.

Изобразим на координатной плоскости все пары та­ кого рода. Они сольются в привычную параболу.

Рядом — график другого отображения, которое каж­ дому вещественному числу х ставит в соответствие число х2 + х + 1. Глядя на формулу, не так-то легко

70