книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

1. Уравнение прямой, проходящей через две точки (56). 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки (56). 3. Параллельность прямой и плоскости (56). 4. Полупространство (57). 5. Расстояние от точки до плоскости (58). 6. Расстояние от точки до прямой (58). 7. Расстояние между скрещивающимися прямыми (59). 8. Вычисление углов (60). 9. Некоторые задачи на построение (60). 10. Пучок прямых (62). 11.0 геометрическом смысле порядка алгебраической линии (63).

ГЛАВА III. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1.Линейные преобразования (179). 2. Умножение преобразований (180).

3.Инвариантные подпространства (181). 4. Собственные подпростран­ ства (183). 5. Характеристическое уравнение (184). 6. Свойства собст-

1. Закон преобразования коэффициентов (252). 2 Линии второго по­ рядка на плоскости (255). 3. Ортогональные инварианты (256). 4 По­ верхности второго порядка (257).

ГЛАВА IX ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1.Вводные замечания (263). 2. Обозначения (263). 3. Определе­ ние и примеры (265). 4 Линейные операции (268). 5. Умножение тензоров (269). 6. Свертывание (270). 7. Транспонирование (272).

8.Симметрирование и альтернирование (273). 9. Замечание (274).

10.Симметричные и антисимметричные тензоры (275)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга отражает многолетний опыт преподавании соответст­ вующего курса в Московском физико-техническом институте. Осо­ бенности подготовки студентов МФТИ вызывают необходимость ускоренного изложении курса математики, по объему приближаю­ щегося к университетскому. В связи с этим аналитическая геометрия излагается так, чтобы на простом и доступном материале подго­ товить студента к изучению линейной алгебры. Собственно линейной алгебре, т. е. теории линейных пространств, предпослана большая глава о системах линейных уравнений и матрицах Ее цель — дать читателю исследование систем линейных уравнений, независимое от методов линейной алгебры. В этой же главе собраны и другие све­ дения, необходимые для дальнейшего.

Настоящее издание существенно отличается от предыдущих. До­ бавлена теорема о приведении матрицы линейного преобразования к треугольному виду, параграфы о теореме Жордана и о сингулярном разложении матрицы. В настоящем издании улучшены некоторые до­ казательства и исправлены погрешности предыдущего. Более подроб­ ное представление о строении книги можно получить из оглавления.

Мне хочется с благодарностью отметить то влияние, которое ока­ зали на эту книгу преподаватели кафедры высшей математики МФТИ, больше других все, читавшие лекции по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Особенно я благодарен проф. А.А. Абрамову, проф. Л.А. Беклемишевой, чл.-корр. РАН Л.Д. Кудряв­ цеву, проф. В.Б. Лидскому, акад. Л.В. Овсянникову, проф. С.С. Рышкову, проф. С.А. Телнковскому.

ГЛАВА I

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§1. Векторы

1.Предварительные замечания. Первые главы этой книги можно рассматривать как продолжение школьного курса геометрии. Известно, что каждая математическая дисциплина основывается на некоторой системе не доказываемых предложений, называемых ак­ сиомами. Полный перечень аксиом геометрии, так же, как и обсуж­ дение роли аксиом в математике, можно найти в книге Н.В. Ефи­ мова [5]. (Цифры в квадратных скобках означают ссылки на список рекомендуемой литературы, помещенный в конце книги.)

Мы не ставим себе целью изложение логических основ предмета и потому просто опираемся на теоремы, доказываемые в курсе элемен­ тарной геометрии. Равным образом мы не пытаемся дать определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости. Чита­ тель, интересующийся их строгим введением, может обратиться к той же книге Н.В. Ефимова, мы же просто будем считать, что эти и другие введенные в школьном курсе математики понятия известны читателю.

Предполагаются также известными определение вещественных (действительных) чисел и их основные свойства. (Строгая теория вещественного числа приводится в учебниках математического ана­ лиза.) Будет широко использоваться то обстоятельство, что при выб­ ранной единице измерения каждому отрезку можно сопоставить положительное вещественное число, называемое его длиной. Едини­ цу измерения длин мы будем считать выбранной раз и навсегда и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются.

2. Определение вектора. Понятие вектора также известно из школьного курса, но лучше напомнить основные факты, с ним свя­ занные. Пару точек мы называем упорядоченной, если про эти точки известно, какая из них первая, а какая — вторая.

Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, назы­ вается направленным отрезком или вектором. Первый из его концов называется началом, второй — концом вектора. К векторам относит­ ся и нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Направление вектора на рисунке принято обозначать стрелкой, над буквенным обозначением вектора тоже ставится стрелка, напри­

10 Гл. /. Векторная алгебра

мер АВ (при этом буква, обозначающая начало, обязательно пишется первой). В книгах буквы, обозначающие векторы, набираются полу­ жирным шрифтом, например а. Нулевой вектор обозначается 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его дли­ ной (а также модулем или абсолютной величиной). Длина вектора обо­ значается |а| или \АВ\.

Векторы называются коллинеарными, если существует такая пря­ мая, которой они параллельны. Векторы компланарны, если сущест­ вует плоскость, которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Длина его, разумеется, равна нулю.

Определение 2. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Из этого определения вытекает, что, выбрав любую точку А*, мы можем построить (и притом только один) вектор \А*В'\, равный не­ которому заданному вектору \АВ\, или, как говорят, перенести век­ тор \АВ\ в точку А*.

3. О другом определении вектора. Понятие равенства векто­ ров существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе говоря, два равных числа при всех обстоятельствах могут рассматриваться как одно и то ?ке число. С векторами дело обстоит по-другому: в силу определе­ ния существуют различные, но равные между собой векторы. Хотя в большинстве случаев у нас не будет необходимости различать их между собой, вполне может оказаться, что в какой-то момент нас будет интересовать именно вектор АВ, а не равный ему вектор А!В*.

Для того чтобы упростить понятие равенства и снять некоторые связанные с ним трудности, иногда идут на усложнение определения вектора. Мы не будем пользоваться этим усложненным определени­ ем, но сформулируем его. Чтобы не путать, будем писать “Вектор” (с большой буквы) для обозначения определяемого ниже понятия.

Определение 3. Пусть дан направленный отрезок. Множест­ во всех направленных отрезков, равных данному в смысле определе­ ния 2, называется Вектором.

Таким образом, каждый направленный отрезок определяет Век­ тор. Легко видеть, что два направленных отрезка определяют один и тот же Вектор тогда и только тогда, когда они равны согласно определению 2. Для Векторов, как и для чисел, равенство означает совпадение.

Из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена Вектором, поскольку силы, изображаемые равными нап­ равленными отрезками, производят, вообще говоря, различные дейст­ вия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий ее отре-