книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Взаимнооднозначное линейное преобразование называется аффин­ ным преобразованием.

Подчеркнем, что в определении линейного преобразования, вовсе не требуется, чтобы коэффициенты в формулах (3) не обращались в нуль одновременно. Они могут быть любыми. Однако имеет место Предложение 2. Для того чтобы преобразование, задаваемое формулами (3), было взаимно однозначным, необходимо и достаточно,

Таким образом, аффинное преобразование определяется формула­ ми (3) при условии (4).

Д о к а з а те ль ст в о . Наше утверждение вытекает по существу из предложения 9 §2 гл. II. Нам нужно узнать, при каком условии каждая точка плоскости имеет единственный прообраз. Формулы (3) связы­ вают координаты (ж*,у*) точки М* и координаты (ж,у) ее прообра­ за. Их можно рассматривать как систему линейных уравнений для нахождения х и у, и эта система имеет единственное решение при любых свободных членах х* —ci и у* —с2 (а значит, при любых ж* и у") тогда и только тогда, когда выполнено условие (4).

Как видно из предложения 1, ортогональные преобразования явля­ ются линейными. Проверка условия (4) показывает, что они аффин­ ные. Рассмотрим другие примеры.

Пример 4. Рассмотрим сжатие к прямой (пример 3 § 1) и при­ мем эту прямую за ось абсцисс декартовой прямоугольной системы координат. Легко видеть, что в такой системе координат сжатие с коэффициентом А записывается формулами

х* - X, у* = Ау.

Сжатие к прямой — аффинное преобразование.

Пример 5. Проектирование на прямую (пример 6 § 1) в такой декартовой прямоугольной системе координат, для которой эта пря­ мая — ось абсцисс, записывается формулами

х* = ж, у* = 0.

Это — линейное, но не аффинное преобразование.

Пример 6. Для записи уравнений гомотетии не существенно, чтобы система координат была прямоугольной, но уравнения про­ ще, если начало координат поместить в центр гомотетии. По опре­ делению гомотетии с коэффициентом А вектор ОМ переходит в век­ тор ОМ* = АОМ. Если О — начало координат, координаты точек М и М* будут связаны равенствами

х* = Аж, у* = Ау.

кости одну и ту же точку С, записывается формулами х* = с\, у* = с2, где ci и С2 — координаты точки С. Оно линейное, но не аффинное.

Определение аффинного преобразования содержит упоминание о некоторой определенной системе координат, и заранее не известно, будет ли преобразование записываться формулами вида (3) в какойлибо другой системе координат. Устраним это сомнение.

Предложение 3. В любой декартовой системе координат, ли­ нейное преобразование задается формулами вида (3).

До ка за т е л ь с т в о . Пусть преобразование задано равенства­ ми (3) в системе координат 0 ,e i,e 2. Перейдем к системе координат О ^е^е^. Как мы знаем, старые координаты точки М (х,у) выража­

Для образа М* точки М нам нужно будет, наоборот, выразить но­ вые координаты (я'*,2Л) через его старые координаты (ж*,г/*). Они выражаются такими же формулами, разумеется, с другими коэффи­ циентами:

Нам требуется найти выражение новых координат (ж'*,у'*) точ­ ки М* через новые координаты (x,Jyf) точки М . С этой целью под­ ставим в равенства (6) значения х* и у* из формул (3):

х'* = Ai(aiff + bxy + ci) + pi (a2x + b2y -h c2) + i/b 2Л = A2(aix -f biy + ci) + p2(a2x + b2y *f c2) + v2.

Для нас важно, что правые части этих равенств — многочлены сте­ пени не выше 1 относительно х и у:

Подставив сюда выражения х и у по формулам (5), мы найдем иско­ мую зависимость:

Мы видим, что правые части этих равенств — многочлены степени не выше 1 относительно я' и у7. Это нам и требовалось доказать.

Заметим, что аффинные преобразования выделяются из линейных требованием взаимной однозначности, которое не зависит от системы координат. Поэтому без дополнительных проверок мы можем быть уверены, что формулы, задающие аффинное преобразование в новой системе координат, удовлетворяют условию (4).

3. Произведение линейных преобразований. Доказательст­ во предложения 3 было основано на том, что результат подстановки

104 Гл. IV. Преобразования плоскости

и М2 по отдельности. Два равных вектора имеют одинаковые ком­ поненты и, следовательно, при линейном преобразовании перейдут в векторы, компоненты которых также одинаковы. Итак, мы получаем Предложение 6. При линейном преобразовании равные векто­

Если быть точным, говорить об образе вектора при преобра­ зовании f неправильно: преобразование отображает точки, а не век­

торы. Точнее было бы сказать, что f порождает преобразование f множества векторов. Но ниже мы, тем не менее, будем придержи­ ваться не совсем точной, но более удобной и общепринятой терми­

Это — координатная запись доказываемого равенства. Второе из ра­ венств (11) доказывается аналогично.

Из равенств (11) следует, что при линейном преобразовании f ли­ нейно зависимые векторы переходят в линейно зависимые. Дейст­ вительно, как легко видеть, f(0) = 0. Тогда любое соотношение вида Аа 4 рЬ = 0 влечет за собой Af(a) 4 //f(b) = 0.

Если преобразование аффинное, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. В самом деле, в противном случае из равенства Af(а) 4 pf (b) = 0, А2 + р2 ф 0, при обратном преобразо­ вании мы получили бы Аа 4 рЬ = 0.

Следующее предложение устанавливает геометрический смысл ко­ эффициентов в формулах, задающих линейное преобразование.

Иредло?кение 7. Пусть преобразование f записано в системе координат 0 ,е i,e 2 формулами (3). Тогда с\ и с2 — координаты точ­ ки f(О), а «1,02 и 6i , 62 — компоненты векторов f(ei) и f(e2) в сис­ теме координат О, еь е2.

Для доказательства подставим в формулы (3) значения х = О

иу = 0 координат точки О и увидим, что координаты f(O) равны с\

ис2.

Подставим в формулы (10) координаты вектора ej a i = 1, а 2 = = 0 и найдем а* = а1} = а2. Следовательно, f(ei) имеет компонен­ ты «1 и а2. Так же доказывается, что компоненты f(e2) равны bLи 62.

Предложение 8. Каковы бы ни были три точки L ,M ,N , не лежащие на одной прямой, и три точки L*}M* и N*, существует единственное линейное преобразование f такое, что L* = f(L), ЛГ* = = f(M) и N* = f(JV). Это преобразование аффинное тогда и только тогда, когда точки L*, М* и N* также не лежат на одной прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о Векторы LM и LN не коллинеарны. Следо­ вательно, L, LM, LN — декартова система координат. Пусть ci,c2 -— координаты L*, a ai, a2 и 6i , 62— компоненты векторов Ь*МЖи L*N* в этой системе координат. Формулы

х * = aja? + biy+ ci, у* = а2ж + 62у + с2

определяют линейное преобразование f, которое, как легко видеть, обладает требуемым свойством. При этом согласно предложению 7, коэффициенты в формулах однозначно определены.

Условие (4), равносильное аффинности преобразования, необходи­ мо и достаточно для того, чтобы векторы L*M* и L*N* были не коллинеарны, т. е. L*, М* и N* не лежали на одной прямой. Предложение доказано.

Заметим, что в том случае, когда преобразование f аффинное, точ­ ка f(О) и векторы f(ei) и f(e2) могут быть использованы как система координат. Для этой системы координат имеет место

Предложение 9. При аффинном преобразовании f образ М* точки М в системе координат f(0),f(ei),f(e2) имеет те же коор­ динаты, что и точка М в системе координат 0 ,e j,e 2.

ем f(0)f{M ) = xf(ei) -b t/f(e2), которое означает, что х и у — коорди­ наты М* в системе координат f(О),f(ei),f(e2).

Упражнения

5.Докажите, что линейное преобразование, не являющееся тождествен­ ным, либо имеет единственную неподвижную точку, либо имеет прямую, состоящую из неподвижных точек, либо не имеет их совсем.

6.Как изменятся формулы, задающие линейное преобразование, если начало координат перенести в неподвижную точку, не меняя базисных век­ торов?

7.Линейное преобразование в системе 0 ,e i,e 2 задано формулами (3). Какими формулами оно задается в системе координат:

a ) 0 ,e 2,ei; б) 0 ,е ь 2е2?

8. Докажите, что линейное преобразование, задаваемое в декартовой прямоугольной системе координат формулами

х* = х cos v? + у sin v?, у* = х sin <р —у cos <р,

—осевая симметрия. Найдите уравнение оси симметрии.

9.Может ли случиться, что произведение двух линейных преобразова­ ний аффинное, если одно из них не аффинное?

10.Пусть аффинное преобразование в декартовой прямоугольной сис­ теме координат задано формулами

х* = х + by + ci, у* = ах + С2. Найдите векторы, ортогональные их образам.

11.Дан треугольник с вершинами .4(1,0), В (—1/2,1) и С(—1 /2 ,-1 ). Найдите преобразование, переводящее каждую вершину в середину проти­ воположной стороны.

12.Докажите, что преобразование из упр. 8 есть произведение осевой симметрии f относительно оси абсцисс и поворота gHa угол (р вокруг начала координат. Какое преобразование получится, если f и g перемножить в другом порядке?

§3. Аффинные преобразования

1.Образ прямой линии. В этом параграфе мы изучим геомет­ рические свойства аффинных преобразований. Ниже f обозначает аф­ финное преобразование, записываемое в декартовой системе коорди­ нат 0 ,еь е2 формулами

Рассмотрим на плоскости прямую линию с уравнением г = r 0 -f + а/. и найдем ее образ при преобразовании f. (Под образом прямой понимается множество образов ее точек.) Радиус-вектор образа М ж произвольной точки М можно вычислить так:

ОМ* = о ф ) +f (0)М* = с + f(r).

Здесь с — постоянный вектор Of(O), а г - - радиус-вектор точки М. Согласно (11) §2 мы получаем

Так как f — аффинное преобразование и а ф 0, то а перейдет в век­ тор f(a) ф 0, и уравнение (3) является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой г = г0 + at лежат на прямой (3).

Более того, преобразование f определяет взаимно однозначное ото­ бражение одной прямой на другую, так как при сделанном здесь вы­ боре начальных точек и направляющих векторов точка М* имеет на прямой (3) то же значение параметра t> что и точка М на исходной прямой. Отсюда мы получаем

Предложение 1. При аффинном преобразовании: прямая линия переходит в прямую линию; отрезок переходит в отрезок; параллельные прямые переходят в параллельные.

Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что отрезок прямой состоит из таких точек, у которых значения па­ раметра удовлетворяют неравенству вида ti ^.t ^ .t2. Третье утверж­ дение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные.

Предложение 2. При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.

Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть отрезки АВ и CD параллельны. Это значит, что существует такое число А, что А В = XCD. Образы векто­ ров А В и CD связаны той же зависимостью А*ВЖ= AC*D*. Отсюда вытекает, что |АУ| _ \А*В*\ _

\CD\ ” \СЧ)*\ ~

Следствие. Если точка С делит отрезок АВ в некотором от­ ношении А, то ее образ С* делит образ А*В* отрезка АВ в том же отношении А.

2. Изменение площадей при аффинном преобразовании.

Для начала рассмотрим ориентированный параллелограмм. Выбе­ рем общую декартову систему координат O ,oi,e2 и обозначим через {РиРъ) и (qu Яъ) компоненты векторов р и q, на которых он построен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить, пользуясь форму­ лой (23) §4 гл. I:

5± = S'iJp.q) = (pi?2 -P2ffi)5±(e1,e 2).

Пусть аффинное преобразование f записывается в выбранной сис­ теме координат формулами (1). Из предложения 9 §2 следует, что век­ торы f(p) и f(q) имеют в базисе f(ei),f(e2) те ?ке компоненты (рх,р2) и (0ь ? 2)> что и векторы р и q в базисе e i,e 2. Образ параллелограмма построен на векторах f(p) и f(q), и площадь его равна

s± = S±(f(p),f(q)) = (pi? 2 —P 2?i)5±(f(ei),f(e2)).

Вычислим последний множитель. По предложению 7 § 2 коорди­ наты векторов f(ei) и f(e2) равны соответственно (ai,a2) и (6Ь 62).

Таким образом, отношение площади образа ориентированного па­ раллелограмма к площади этого параллелограмма одинаково для всех параллелограммов и равно а\Ь2 —a2bi.

Отсюда следует, что данный детерминант не зависит от выбора системы координат, в которой записано преобразование, хотя он вы­ числяется по коэффициентам, зависящим от системы координат. Эта величина — инвариант, выражающий геометрическое свойство пре­ образования.

Из формулы (4) видно, что отношение площади образа неориенти­ рованного параллелограмма к его площади равно

Если ai&2 —a2&i > 0, то ориентации всех ориентированных парал­ лелограммов сохраняются при преобразовании, а если а\Ь2 —а2Ь\ < О, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация обра­ за противоположна его ориентации.

Займемся теперь площадями других фигур. Каждый треугольник может быть дополнен до параллелограмма, площадь которого равна удвоенной площади треугольника. Поэтому отношение площади об­ раза треугольника к площади этого треугольника удовлетворяет ра­ венству (5).

Каждый многоугольник может быть разбит на треугольники. Следовательно, формула (5) справедлива и для произвольных мно­ гоугольников.

Мы не будем здесь касаться определения площади произвольной криволинейной фигуры. Скажем лишь, что в тех случаях, когда эта площадь определена, она равна пределу площадей некоторой после­ довательности многоугольников, вписанных в рассматриваемую фи­ гуру. Из теории пределов известно следующее предположение: ес­ ли последовательность Sn стремится к пределу 5, то последователь­ ность 8Sn, где 8 постоянное, стремится к пределу 8S. На основании этого предложения мы заключаем, что формула (5) справедлива в самом общем случае.

В качестве примера найдем выражение площади эллипса через его полуоси. В §2 гл. II мы доказали, что эллипс с полуосями а и 6 может быть получен сжатием окружности радиуса а к прямой, проходящей через ее центр. Коэффициент сжатия равен Ь/а. В примере 4 § 2 мы получили координатную запись сжатия к прямой х* = ж, у* = Ау. Де­ терминант из коэффициентов в этих формулах равен А, т. е. в нашем

3)Парабола — неограниченная линия второго порядка, состоящая из одного непрямолинейного куска. Этим свойством не обладают ни­ какие другие линии второго порядка, и потому парабола может пе­ рейти только в параболу.

4)Если л и н и я второго порядка представляет собой точку (пару мнимых пересекающихся прямых), прямую (пару совпавших пря­ мых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта

линия не может перейти в линию никакого другого класса. Докажем вторую часть предложения. В теореме 1 § 1 гл. III кано­

нические уравнения линий второго порядка написаны в декартовой прямоугольной системе координат и содержат параметры а, 6,... Если мы откажемся от нормировки базисных векторов, то сможем произ­ вести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров. Например, замена коорди­ нат ж' = х /а , у' = у/Ь переводит уравнение эллипса х 2/а 2 + y2/b2 = 1 в уравнение хп + у'2 = 1, каковы бы ни были а и 6. (Последнее уравне­ ние не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.)

Читатель без труда покажет, что канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения:

Такую систему координат мы назовем аффинной канонической системой координат.

Из предложения 9 § 2 следует, что аффинное преобразование, ко­ торое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинного класса, совмещает и эти линии. Это закан­ чивает доказательство.

4. Разложение ортогонального преобразования.

Т ео ре ма 1. Каждое ортогональное преобразование расклады­ вается в произведение параллельного переноса, поворота и, возможно, осевой симметрии.

Д о к аз а те ль с тв о . Пусть f — ортогональное преобразование и ААВС — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым уг­ лом А . При преобразовании f он перейдет в равный ему треуголь­ ник АА*В*С* с прямым углом при вершине А*. Теорема будет дока­ зана, если, производя последовательно параллельный перенос р, пово­ рот q и (в случае необходимости) осевую симметрию г, мы сможем совместить треугольники АВС и А*В*С*. Действительно, произве­ дение rqp — аффинное преобразование так же, как и f, а аффинное преобразование однозначно определяется образами трех точек, не ле­ жащих на одной прямой. Поэтому rqp совпадает с f.