книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Осталось рассмотреть случай, когда Ъ и с не коллинеарны, а а, Ь и с компланарны. В этом случае а лежит в плоскости векторов b и с и, следовательно, ортогонален вектору d, вычисленному по фор­ муле (9). Поскольку (а,Ъ, с) = 0 и (а,п) = 0, вектор (9) удовлетворяет равенству (8) и в этом случае. Итак, мы нашли вектор, который удов­ летворяет (8) при любом а и определяется только по b и с.

Допустим, что для фиксированных b и с нашлось два вектора di и d 2 таких, что для любого а выполнено (а, Ь, с) = (a, di) и (а,Ь, с) = = (a, d 2). Отсюда следует, что (a, di) = (a,d2) или (a,di —d2) = 0. Поэтому вектор di —d 2 ортогонален каждому вектору пространства и, следовательно, равен нулевому вектору. Это доказывает, что век­ тор d, определяемый формулой (8), может быть только один. Пред­ ложение полностью доказано.

Опишем еще раз, как вектор d определяется по Ъ и с. 1. Если b и с коллинеарны, то d = О.

2. Если Ь и с не коллинеарны, то:

а) |d| = S = |b||c|sm^>, где (р — угол между b и с; б) вектор d ортогонален векторам b и с;

в) тройка векторов b,c, d имеет положительную ориентацию. При нашем выборе ориентации пространства — это правая тройка. Определение. Вектор d, определенный перечисленными выше

условиями, или, что то же, формулой (8), называется векторным про­ изведением векторов Ь и с .

Подчеркнем, что векторное произведение, как и смешанное, опре­ делено только для ориентированного пространства. Разумеется, не­ обходим так?ке выбор единицы измерения длин.

Векторное произведение векторов b и с обозначают [Ь,с] или b х с. Используя это обозначение, мы можем записать формулу (8) в виде

Благодаря этому равенству смешанное произведение и получило свое название.

Пример 1. Пусть e i,е2,е3 — правый ортонормированный базис.

Предложение 4. Векторное умножение антикоммутативно,

т.е. для любых векторов [Ь,с] = -[с, Ь]. Действительно, если (a,b,c) = (a,d), то

(а, с, Ъ) = -(a , d) - (a, (-d)).

Получим теперь свойство линейности смешанного и векторного произведений по каждому из сомножителей. Применяя предложе­

32 Гл. I. Векторная алгебра

ние 2 к скалярному произведению (Aai + /ха2, [Ь, с]), мы получим

Действительно, мы можем переставить интересующий нас сомножи­ тель на первое место, раскрыть скобки, а затем выполнить обратную перестановку.

Предложение 5. Для любых векторов b i, b 2 и с и любых чисел А и р имеет место равенство

[Abi + цЪ2, с] = А[Ьь с] + ^[Ь2, с].

В самом деле, правой части формулы (13) можно придать вид (a,A[bi,c]) + (а,/и[Ь2,с]).

Поэтому по предложению 2 получаем

(a, [Ab! + (А>2 , с]) = (а, А[ЪЬ с] + //[Ъ2, с]).

Так как это верно для любого вектора а. мы можем, выбрав ортонормированный базис e i,с2,ез, подставить на место а последователь­ но каждый вектор этого базиса. В силу предложения 1 мы получим равенство всех компонент векторов [Abi -f /xb2,с] и A[bi,с] + /х[Ь2,с], а отсюда и равенство векторов, которое нам нужно было доказать.

Линейность векторного произведения по второму сомножителю можно получить из свойства антикоммутативности.

5. Выражение векторного и смешанного произведения через компоненты сомножителей. Если заданы разложения век­ торов а и b по векторам некоторого базиса е !,е 2,ез, то мы можем раскрыть скобки:

[а,Ъ] = [{QIGI + а 2е2+ а 3е3), (ftei + /?2е2+ 0зе3)] =

=—<*2/?i)[ei,e2] + (а2/?3 —аг3/?2)[е2, е3] +

+(a3/?i —ai/?3)[e3,ei]. (И)

Здесь использовалась антикоммутативность векторного умножения и то, что векторное произведение двух одинаковых сомножителей — нулевой вектор. В примере 1 были сосчитаны попарные векторные произведения векторов ортонормированного базиса. Поэтому из фор­ мулы (14) следует

Теоре ма 2. В положительно ориентированном ортонормирован­ ием базисе векторное произведение выражается через компоненты сомножителей формулой

[а,Ь] = (а2/?з - a 3/?2)ei + (a3/3j - ац33)е2+ (a j/?2 - о 2А )е3. (15)

Если базис ориентирован отрицательно, перед правой частью этой формулы следует поставить знак минус.

называется детерминантом этой матрицы или детерминантом третьего порядка и обозначается

При помощи теоремы 2 и определения детерминанта можно полу­ чить следующее выражение векторного произведения через компо­

Детерминанты тесно связаны с системами линейных уравнений, решения которых удобно записывать с их помощью. Этим мы зай­ мемся в гл. V, а сейчас дадим только геометрическую иллюстрацию.

Пусть дана система из трех уравнений

сцх + bxy + cxz = du а2х + b2y + c2z = d2, а3х + b3y + czz = d3.

Выберем в пространстве некоторый базис и рассмотрим векторы а(ах,«2 , а3), b(6i9(2,b3), c(ci,c2,c3) и d(di,d2,d3). Тогда система яв­ ляется координатной записью векторного равенства

(напомним, что |n |= 1). На плоскости выберем произвольный (не обя­ зательно положительный) базис ei, е2. Примем п за третий базисный вектор и выразим смешанное произведение через координаты сомно­ жителей:

О0 1

5±(а,Ь) = ori а 2 О (е1,с 2,п).

A А О

Вычисляя детерминант, находим, что он равен <*i/?2 —<*2/?ъ и полу­ чаем окончательное выражение

Эта формула сходна с формулой (16). По существу это та же фор­ мула, написанная для двумерного пространства. Если е\, е2 — поло­ жительный ортонормированный базис, то

Для площади неориентированного параллелограмма в ортонормированном базисе мы получаем формулу

5 = (25) которая следует и из (21).

9. Двойное векторное произведение. Выражение [а, [Ь, с]] на­ зывается двойным векторным произведением. Докажем, что

С этой целью выберем правый ортонормированный базис ei ,c 2le3 так, чтобы ei был коллинеарен Ь, а е2 был компланарен b и с. Тогда b = /Зех, с = 7iei + 72е2 и а = aiei + а 2е2 + а 3е3. Отсюда получа­ ем [Ь, с] = /?72е3 и

Разность правых частей двух последних равенств совпадает с най­ денным выше двойным векторным произведением. Это заканчивает доказательство.

10. Биортогональный базис. Дадим следующее Определение. Базис, составленный из векторов

называется взаимным или биортогоналъным для базиса oi,e2,c3. Из предложения 6 вытекает, что e j, е£ не компланарны и дейст­

вительно образуют базис. Название “биортогональный” связано с тем,

38 Гл. I. Векторная алгебра

что векторы обоих базисов, имеющие разные номера, ортогональны: (е*,е]) =2 0 при i ф j. Кроме того, (е*,е*) = 1 для всех г.

Нетрудно проверить, что ортоиормированный базис совпадает со своим взаимным.

Предложение 10. Если е£,е2,е 3 — базис, взаимный с в 1,е 2,ез,

то произвольный вектор а раскладывается по этим базисам так:

Подставляя сюда вместо а последовательно ei, в2 и е3 и учитывая, что (et-,ej) = 0 при i ф j , а (е,-,е*) = 1, получаем ei = ej*, ег = ез* и е3 = е ^ .

Числа (a,ei), (а,ег) и (а,ез) однозначно определяют вектор а с помощью векторов базиса ei,e2,e3. Они называются ковариантными координатами вектора а в базисе ei,e2,e3. По отношению к бази­ су е*,е*>,Оз — это обычные координаты вектора. Обычные коорди­ наты, чтобы подчеркнуть их отличие от ковариантных координат, называют коптрвариантными координатами.

11. О векторных величинах. R приложениях математики час­ то рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, ско­ рости, моменты сил и т. д. Векторам, изображающим такие величи­ ны, приписывается размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся изложением формальных правил действий с размернос­ тями.

С формальной точки зрения, размерность — это одночлен, состав­ ленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножа­ ются и делятся, как обычные одночлены. Имеют место следующие правила действий с векторными величинами.

•Модуль векторной величины имеет ту же размерность, что и сама величина.

•Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых.

•При умножении векторной величины на скалярную их размер­ ности перемножаются.

• Скалярное, векторное и смешанное произведения имеют размер­ ность, равную произведению размерностей сомножителей. Это лег­ ко следует из первого правила, определений скалярного и векторного произведений и формулы (10).

Для того чтобы изобразить векторную величину на чертеже, мы должны условиться о масштабе: сколькими единицами длины (на­ пример, см) мы будем изображать одну единицу данной размерности (например, км, м/с, Н).

Если в векторном произведении сомножители имеют размерность длины, то произведение имеет размерность площади. Масштаб для изображения единиц площади выбирается так, чтобы одна единица площади изображалась одной линейной единицей. При этом длина векторного произведения будет численно равна площади параллело­ грамма, построенного на сомножителях.

Поскольку единица длины у нас выбрана и не меняется, указанное соглашение ни к каким противоречиям привести не может. Однако оно не так безобидно, как может показаться. Именно, два математи­ ка, пользующиеся этим соглашением, но разными единицами длины (например, француз, пользующийся сантиметрами, и англичанин — дюймами), для одних и тех же векторов нарисуют несовпадающие векторные произведения. Как связаны длины этих произведений, ес­ ли дюйм равен примерно 2,5 см?

Упражнения

1.Пусть в некотором базисе скалярное произведение вычисляется по формуле (2). Докажите, что базис ортонормированнмй.

2.Используя свойства скалярного умножения, докажите, что высоты

произвольного треугольника пересекаются в одной точке.

3.Найдите сумму векторных проекций вектора а на стороны заданного правильного треугольника.

4.Построены векторы, перпендикулярные граням произвольного тет­ раэдра, равные по длине площадям этих граней и направленные в стороны вершин, противоположных граням. Докажите, что сумма этих векторов равна О.

5.Дан трехгранный угол. Используя свойства векторного произведе­ ния, найдите выражение какого-либо из его двугранных углов через плос­ кие углы.

6.Пусть дан положительный базис на ориентированной плоскости та­ кой, что |ei| =2, |ег| = 3 и (01,02) = 2. Найдите площадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах а(1,2) и b(2,1).

7.При каком условии на матрицу перехода от одного базиса к другому

оба базиса ориентированы одинаково? Вопрос поставлен как для плоскости, так и для пространства.

8. Какова размерность векторов взаимного базиса e!\e£,ej, если век­ торы базиса е1,ег,ез измеряются в сантиметрах?

ГЛАВА II

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

§ 1. Общее понятие об уравнениях

1- Определения. Начнем с простого примера. Пусть в прост­ ранстве задана декартова прямоугольная система координат. Рас­ смотрим сферу радиуса г, центр которой находится в точке Р с ко­ ординатами (а, 6, с). Сфера — множество всех точек, отстоящих от центра на одно и то же расстояние г. Обозначим через (я, у, z) коорди­

наты некоторой точки М и выразим через них равенство \РМ\ = г:

Возводя в квадрат обе части равенства, мы придадим ему более удоб­ ную форму

Очевидно, что это равенство выполнено для всех точек сферы и толь­ ко для них, и, следовательно, его можно рассматривать как запись определения сферы при помощи координат. Равенство (2) называет­ ся уравнением сферы в рассматриваемой системе координат.

Приведем пример из геометрии на плоскости. Графиком функ­ ции / называется линия Ь, состоящая из точек, координаты которых связаны соотношением у = /(ж). Если нас интересует в первую оче­ редь линия, а не функция, мы можем встать на другую точку зрения и считать, что соотношение у = f(x) есть уравнение линии L.

Вообще, под уравнением множества S в некоторой системе коор­ динат следует понимать выражение определения множества S через координаты его точек, т. е. высказывание, верное для координат всех точек множества и неверное для координат точек, ему не принадле­ жащих.

Чаще всего уравнение представляет собой равенство, записанное математическими символами, но это вовсе не обязательно: оно может быть словесным описанием, перечислением и т. д. Например, выска­ зывание “обе координаты точки — рациональные числа” мы будем считать уравнением соответствующего множества в какой-либо зара­ нее выбранной системе координат. Это должно звучать естественно для читателя, знакомого со способами задания функций.

Часто уравнению множества точек в планиметрии можно придать вид F (x, у) = 0, а в стереометрии — вид F (x, г/, z) = 0, где F — функ­ ция соответственно двух или трех переменных. Уравнение сферы (2)