Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

16.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3227 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

м	Тип гипотез У\|, ft.		Вцд статистики /(Я) для выбора решения
	ЯГ- (*,, хъ ..., х„) -	выборка.

	Вид функций правдоподобия Р{Х)lyj), ДЯ )jft)-
1	2		3
А	1. Yi> Y2 — простые. Выборка ЯГ объема я из		HY\
	независимых одинаково	распределенных

компонент,

и , ' 5 ®

Р ( т ) - е - \ Х > 0

/=1

w tY 2 ) = i ? exp{ 'T ' } ’ Jf> 0

2. yb у2 — простые. Выборка ЯГ— из корре		1/КЧ
лированных компонент.
	j /	№ ' « Ж > ’
/

	Р(Х\ч1)=(2%)/'1\Кх\ /г -			Yi ~ Ми Ъ ~ Мь
		Л/, )TK~l{X - М, )j,		Yi ~ Ми Ъ ~ Мь
	• е х р \|- \|( * -	Л/, )TK~l{X - М, )j,
	Д^1У2) = (2 я )'^ \|А Г ,Г ^ -		"1	+k x T( K ? - K ; ' ) x +
	г 1		"1	+k x T( K ? - K ; ' ) x +
	• expJ- j(AT -	М2 f К2'(Х - М2) ,		2
	• expJ- j(AT -	М2 f К2'(Х - М2) ,		+2[ХТ(К~]М\ - К 2хМг)~
				+2[ХТ(К~]М\ - К 2хМг)~
где Ип &i — вектор средних и ковариаци				-(MlK -'M i-M lK2 M2)
онная матрица генеральной совокупности
/=	1,2.
Б Y	Y2 — простые,			№ 2 ),
74YJ)» ^ 2) ~ неизвестны.				( ) />(*lYi>
				( ) />(*lYi>

__________ — --------- ------ ---------

Правило выбора решения 1п/(Я) £ УЦ, 1п/(Я) < Ло, Ло - пороговое значение

----------- "

л»=я- 21пд Й _ 2,пс+1п(2/я)’

С12 _ С !1 С21 -^22

С С,„ С21, С22 — значения функции по терь,

«Yi) + Pit) =

-/у ) /уу»)) априорное распределение вероятностей на множестве гипотез

n lri / ’(^'lYl) V Сп ~ С1!

°	Л * \|Т 2> С2 > -С22

д 0 = д т т вычисляется из выражения

Выборка X из коррелированных компо нент,

Р(Х)|YI), Р(Х)(у2) того же вида, что и в пре дыдущем примере при дополнительном ус ловии: К\ = к 2

			Продолжение табл.
3			4
3			^ тт
			^ тт
1п/(Д!) = Х ТК - \ М х - М 2	+	(С,, - С22) + <С12 - с „ ) J Р(КХ\У\))dl -
+ М1)К -'(М[ - м 2)
		- ( С 21- С 22) х	jp ( l( X \ y 2))dl = 0,
		Лдада
		/>(/(Л)Ы> Н Я Х Ш -	нормальные плотно-
		сти распределения вероятн.

вYh У2 — простые или сложные. Для слож Если гипотезы простые

ных гипотез заданы области Qi и Q2 В03-					,/V4 Р(Х\у2).
можных значений их параметров о>\|, СО2 и					т ,) ’
априорные плотности распределения веро
ятностей		параметров		на этих областях если сложные , то
Дю ,), />(02)			пусть того же вида, что и		JР(Х\<й2,У2)-Р(ф1)d<0l
Р(Х)\|у,), Р(Л)\|у2) -
в предыдущем примере					ЦХ) = ^ ------------------------- — •

					JP (X \|CO,;YI )
					а,
г 1. V.,	ъ -	простые;		отсутствуют какие-	II
либо	сведения		относительно априорных

вероятностей Р(уi). Р(Уг)> WOhTi)» HKntd заданы

и ЛГ("5'Р*Р)

соответственно

р = (А/, - М2)Т ■К-ЧН, - М2)

А0 = ЛМАР’

*« X il

лм а р - Я Г 2 )

AQ = ЛмП

Лмп 5=11

1	2
г 2. Yi, у2 сложные. Заданы		области		&2
возможных значений параметров coi и
априорных сведений о		W ft), ЛУг))		и
(^Xcoj), Р(а>2))	не имеется.
X — выборка из генеральной совокупности
	iV(p,G2),	если	Y i^po
	Q ! — полупрямая		р ==Р о>
ЛГ(ц,с2)= '	ЛГ(ц,с2),	если	У2 s M->
	£21 — полуплоскость,
	-оо<ц<оо, G2 > 0.

дY Y Простые; отсутствуют какиелибо сведения относительно априорных вероят

ностей ДУ!>, Р(Ъ) и Функции потерь

(Cn t Cl2tC2l,C 22).

X — выборка объема п из независимых одинаково распределенных компонент хп / = 1, п\

шах />(Ar|co2;Y2 )

l(X )~ <’>2eSlj

шах Р(Х\щ;Ч\)

о)|

1(A) - Inl(A),

ln /(JQ = fl + * 5 _ Цо)) 2

lЛ я - D J

*= - £ * , >

• ’ - T i t * - ™ ы\

к * Р(Х 1т.)

2ц 2^ х( - яЦ^

1„/(А) = ----------------------

2 сг

Продолжение табл.

Л() = Ра

а — заданный уровень значимости (вероят ность ложной тревоги)

’■ - ( ■ ♦ А ) 1-

где (а определяется из условия

J	в котором
—'а
/„-> (0 = , Г^ /2 )	х ( и * Г *

— плотность вероятности распределения Стьюдента с (я - 1) степенями свобод

Л0 вычисляется из условия

J/4 1 n /(A )|Y ,)d ln /(A ) = «,

Л0

где а — заданный уровень значимости. Здесь

1	2
	P ( X \ i i ) = TT —j= = — s x	p l - );
	■*-=f-V27to l	2 a 2 j

Yi=l^i =0. -Ъ = Р г * Ъ -

E Yi, y2 — простые, отсутствуют какие-либо сведения относительно функции потерь; X — выборка объема п из независимых одинаково распределенных компонент хп /=1,л; функции правдоподобия /WlYi),

PyOfe) пусть такие же, что и для правила Неймана-Пирсона

ЖТип гипотез, функции правдоподобия, ап риорное распределение вероятностей гипо тез и свойства выборки X зададим такими же, как и в методе Е

2Ц2 ^ / . -" Ц з

ы т -	,=1 ,
	2 a 2

К Х ) = Р(Х\у2)

Л*1Т1)

Продолжение табл.

Л Уг)

Р( y,)lnP(Yljrf|)

* _	miirfj).
	P i h W	i )
П » Ц > -	« М ' Ы	;

« У г Ю = « W ' M

;

^ Р ( У ; ) Р Ш У;)

7=1

5396 - 8 1

3	у2 — простые, А"— выборка из некорре
	лированных	одинаково	распределенных
	компонент хь / = 1, 2, ...
	/ХДГ)у, )=	* > 0 ,	X, >0, Y, E X,,

Р(Х\у2 ) = \ 2e~x , X Z 0 , X 2 > К У2• К

иУ\> Yi ~ простые близкие:

Y2=YI + 5» 5 > °;

X — из некоррелированных одинаково рас пределенных компонент xh / = 1, 2, ...

Р(Х\У[), Р(Х\у2) — нормальные условные плотности распределения вероятностей

N(yb о2) и N (Yi + 6, о2)

,„ /(Л = л 1пЬ . - ( Х 2 - Х 1) £ х<

, Я(Д'|у2)-Я(Л'|у1) _

^Yl

Э 1 п ?(^|у ,)_ Y JC, - у,

	Продолжение табл.
------------- ^4
	P(Yi W z l Y i )
/*(Yll^2) = -2	’
J> (Y y )* № lY y )
;»•
где вероятности	v - 1, 2, счита-
ются заданными
Правило выбора решения, если
_ S L . < i n / ( * ) < l n ^ ,
1 -Р	Р

то решения не принимаются, выполняется эксперимент по получению хя+1; если

In /(ЛГ)£ In—	или 1п/(ЛГ)< In— ,
Р	1 -Р

то принимается решение в пользу гипотезы

у2 или Yi соответственно; здесь а			и р — за
данные значения	вероятностей		ложной
тревоги и пропуск
Значение порога Л0 =		вычисляется из
условия		5
условия
Л0
где	/>(У\|У1) = л г ( о , - ^

Правило отождествления запишем в виде
max		p(xh Xj / Х ^ , Х Я)
/(x,,xy) = - W	Q------ ------------- тс(ос),
ПМxp(xi,Xj / XM= X, = X.)
ex p [-i(x , - X„ f	K /' (x, - X„) -		j ( x , -	Xqf К J 1(*y - X ,)
где p(xt ,Xj / ХЦ,Х,) =		Y	\|	-	,
	(2 я )я(det /Г/)2 (det К j )2
exp[- i(x ,		- Х)т К f ' (x, - X) -		I ( x y - Х)г /ГJ 1(x, - X)
p(Xj9Xj / X.J2 — —X);
		(2 w)"(det A", )2(det ATy)2
я(а) определяется из условия jp (l(x h X j)/X )d l= а, здесьр(/(х(, ху)/ X) -					плотность веро

я ( а )

ятности отношения максимальных значений функций правдоподобия при условии, что имеет место гипотеза с параметром X = Х^ = Xq.

Выполним элементарные преобразования над выражением для отношения правдопо добия: числитель и знаменатель сократим на общий член, не равный нулю, и учтем, что максимум числителя достигается при Xq = х( и = Xj и равен единице, затем прологариф мируем преобразованное выражение для правила выбора решения, получим

ln/(x(,xy)=mm{(x, - Х ) тK f'(x , - Х ) + (ху - Х ) тK j ' i x j -\)}< ,2\п л(а)

и, считая, что X е int Q — выражение для оценки параметров объекта

X = ( * , - '+ * J 1)(* ,- '* ,+ * j 'x y).

С)

Правило отождествления векторов отсчетов xh xjt i,je l,N , принимает вид

(х, -Х)ГА7,(*, - X) + (ху - X ) T K j ' ( X j - X)S 2 In л(сх).

(**)

При этом pO(xlt xj)/ X) есть х2 — распределение с п степенями свободы; вычисление порогового уровня 21mc(a) для заданного а можно выполнить с использованием таблицы, на пример, из [126]. По правилу (**) на всех возможных парах векторов измерений, получим матрицу R взаимных расстояний между ними и матрицу Т - (fy) с элементами ^ = 1, если векторы xh Хр i,j е 1 ,N отождествлены, и fy = 0 — в противном случае. По матрице R опре

делим гарантированную оценку количества объектов Q, обусловивших исходную выборку измерений.

Один из приемов вычисления оценки Q по матрице R опирается на принципы вер бального анализа и заключается в выполнении следующих операций:

1.Для каждого отсчета по номеру строки матрицы R (пример такой матрицы взят из [127]) найти ( в строке ) расстояние до ближайшего (ближайших) отсчета; соответствую щие результаты представлены в виде матрицы Т.

2.По матрице Т построить цепи; в рассматриваемом примере имеем пять цепей-

кластеров (рис. 6, а), т. е. Q =5, по этой оценке ЛПР может формировать решение об опасности контролируемой ситуации.

266

М а т р и ц а R

№ реа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
лизации	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
I	0	29	45	49	54	62	68	75	95	120	130	110	82	67	58	54	26	14	30	48	47	35	30	75	86	101	106	97	121
2	29	0	20	28	37	48	48	51	71	101	121	99	75	60	59	67	51	27	17	41	51	52	32	64	67	82	90	85	111
3	45	20	0	11	21	32	30	32	52	82	102	84	60	48	51	67	61	37	16	32	48	55	33	47	48	63	70	69	90
4	49	28	11	0	10	21	20	22	47	73	91	72	49	37	43	62	62	40	19	24	40	52	31	35	38	54	60	57	80
5	54	37	21	10	0	11	14	25	46	67	84	63	40	27	35	57	62	43	24	16	35	48	30	26	32	50	52	47	70
6	62	48	32	21	11	0	13	27	45	60	73	52	28	19	30	56	67	50	34	18	34	52	36	15	25	44	45	37	60
7	68	48	30	20	14	13	0	15	34	54	73	58	37	31	43	68	78	57	37	29	47	63	44	21	18	35	40	40	60
8	75	51	32	22	25	27	15	0	22	51	77	68	51	45	57	82	86	65	44	41	60	74	55	35	23	32	44	50	66
9	95	71	52	47	46	45	34	22	0	38	70	72	62	62	76	100	110	87	64	66	80	98	76	48	29	22	41	54	64
10	120	101	82	73	67	60	54	51	38	0	37	54	58	67	81	111	127	111	91	81	91	111	96	52	36	20	23	41	38
11	130	121	102	91	84	73	73	77	70	37	0	38	56	70	86	115	135	120	113	86	120	117	111	60	56	50	33	38	14
12	110	99	84	72	63	52	58	68	72	54	38	0	26	40	52	72	101	95	90	60	64	83	80	37	47	52	35	20	26
13	82	75	60	49	40	28	37	51	62	58	56	26	0	15	28	52	78	69	58	35	40	60	52	15	35	50	35	80	42
14	67	60	48	37	27	19	31	45	62	67	70	40	15	0	17	43	64	54	43	17	26	43	38	17	35	55	45	31	55
15	58	59	51	43	35	30	43	57	76	81	86	52	28	17	0	27	50	46	42	20	13	32	30	32	50	70	61	47	70
16	54	67	67	62	57	56	68	82	100	111	115	72	52	43	27	0	35	45	53	40	22	20	35	59	77	96	88	73	96
17	26	51	61	62	62	67	78	86	110	127	135	101	78	64	50	35	0	24	45	49	37	19	32	76	91	111	108	94	120
18	14	27	37	40	43	50	57	65	87	111	120	95	69	54	46	45	24	0	21	33	31	25	16	63	73	91	90	82	101
19	30	17	16	19	24	34	37	44	64	91	113	90	58	43	42	53	45	21	0	24	34	41	16	49	55	72	75	70	93
20	48	41	32	24	16	18	29	41	66	81	86	60	35	17	20	40	49	33	24	0	20	36	20	28	42	60	58	47	71
21	47	51	48	40	35	34	47	60	80	91	120	64	40	26	13	22	37	31	34	20	0	21	22	41	58	77	73	58	80
22	95	52	55	52	48	52	63	74	98	111	117	83	60	43	32	20	19	25	41	36	21	0	22	60	76	97	91	77	99
23	30	32	33	31	30	36	44	55	76	96	111	80	52	37	30	35	32	16	16	20	22	22	0	47	60	79	78	67	93
24	75	64	47	35	26	15	21	35	48	52	60	37	15	17	32	58	76	83	49	27	41	60	47	0	20	38	32	21	46
25	86	67	48	38	32	25	18	23	29	36	56	47	35	35	50	77	91	73	55	42	58	76	60	20	0	20	22	30	44
26	101	82	63	54	50	44	35	32	22	20	50	52	50	55	70	96	111	91	72	60	77	97	79	38	20	0	20	36	42
27	106	90	70	60	52	45	40	44	41	23	33	35	35	45	61	88	108	90	75	58	73	91	78	32	22	20	0	20	23
28	97	85	69	57	46	37	40	50	54	41	38	20	20	31	46	73	94	82	70	46	58	77	67	21	30	36	20	0	24
29	121	111	90	80	70	60	60	66	64	38	14	26	42	55	70	96	120	101	93	71	80	99	93	46	44	42	23	24	0

									М а т р и ц а Т
№ реа	2	3	4	5	6	7	8	9	10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
лизации 1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
1									1
2									1

6		1
7		1
8		1
9		1
10				1
11					1
12					1
13			1	1
14			1
15			1
16				1
17				1
18				1
19	1			1
20		1
21			1
22			1
23			1	1
24		1	1
25		1
26		1		1	1
27				1	1
28		1	1		1
29			1

3. Оценить мощности связей между цепями-кластерами и сформировать на них пред почтения: в рассматриваемом примере видно, что цепь II сильнее связана с отсчетами 6,

7, 8, 9, чем цепь /.

4. По результатам операции 3 переформировать цепи; в рассматриваемом примере получим цепи-кластеры I—V (рис. 6, б). Это — разбиение выборки; оно представляет верхнюю границу искомого числа объектов. По данным о векторах xh ху, i,j е \,N, состав

ляющих каждый кластер, вычислить по (*) оценки параметров X соответствующих им объ ектов; полученные оценки ЛПР может учитывать при формировании решения об опасно сти контролируемой ситуации.

5.По результатам операции 4 выявить элементарные цепи-кластеры; в рассматривае мом примере к ним относятся цепи ///, IV и V.

6.Вычислить расстояния (хаусдорфовы) между каждой элементарной цепью и слож ными цепями.

7.Распределить элементарные цепи между сложными, считая при этом, что каждая элементарная цепь может быть отнесена к какой-то одной из сложных цепей, ближайшей по расстоянию (хаусдорфому). В результате такого распределения получим нижнюю

оценку числа объектов QH в рассматриваемом примере QH= 2, так как элементарные цепи IV и V закрепляются за сложной цепью /, а цепь III — за сложной цепью II.

8. Вычислить по выражению (*) оценки параметров	и	для объеюов, представ
ленных векторами отсчетов уточненных сложных цепей	/ и II.

8.1.1. Последовательный метод обнаружения изменения свойств контролируемого процесса

Пусть на отрезке времени [<* — Т, tk], к = 0, 1, 2,..., наблюдается слу

чайная реализация

у, = Qs(x„ 0 +	9 = 0, 1,
где х, — параметр сигнала s(x„ t),	подлежащего обнаружению (сиг

нал s(x„ 1) представляется марковским случайным процессом),

обобщенный случайный процесс типа белого шума, не завися щий от процесса s(x„ ().

Процессу в дискретном времени соответствует процесс с незави симыми приращениями, описываемый плотностью вероятности вида

где N — спектральная плотность.

Запишем отношение правдоподобия

А- ^ > 1 9 = 1>

*а д е = о ) ’

где 0 = 0 — параметр гипотезы Я,, нет сигнала, 0 = 1 — параметр альтернативной гипотезы Я2, имеется полезный

сигнал, и воспользуемся дискретным рекуррентным алгоритмом его вы числения, т.е. выражением вида [61]

^ к+1 “	р,	^ ( * * + 1 ) ) я ( * * + 1 \Хк)^к(Хк)С^Хк^Хк+1 »
	Г'Ук+\ '

270

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3227 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

6		1
7		1
8		1
9		1
10				1
11					1
12					1
13			1	1
14			1
15			1
16				1
17				1
18				1
19	1			1
20		1
21			1
22			1
23			1	1
24		1	1
25		1
26		1		1	1
27				1	1
28		1	1		1
29			1

6		1
7		1
8		1
9		1
10				1
11					1
12					1
13			1	1
14			1
15			1
16				1
17				1
18				1
19	1			1
20		1
21			1
22			1
23			1	1
24		1	1
25		1
26		1		1	1
27				1	1
28		1	1		1
29			1

6		1
7		1
8		1
9		1
10				1
11					1
12					1
13			1	1
14			1
15			1
16				1
17				1
18				1
19	1			1
20		1
21			1
22			1
23			1	1
24		1	1
25		1
26		1		1	1
27				1	1
28		1	1		1
29			1