книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

странстве л-мерных функций полезности, обеспечивает приближение свернутого критерия с любой точностью и выбор альтернативы из множества Парето, однозначно соответствующий введенным ЛПР от­ ношениям предпочтения на значениях частных критериев. При этом принципиальную возможность существования на классах функций полезности частных критериев произвольной свертки в виде их супер­ позиции в классе базовых непрерывных функций утверждает теорема Колмогорова. В нашем случае базовое семейство непрерывных функ­ ций может представляться как непосредственно исходной совокупно­ стью частных критериев {//(х)}, / = Т|я, так и соответствующими им функциями полезности.

Конкретизируем класс функций полезности U, содержащий функ­ ции и,(Дх)). В основу определения положим эмпирические данные об

отношении ЛПР к риску и требования полноты класса, его минималь­ ности и простоты вычисления значений функции и, е U.

Класс U полон, если имеется возможность отыскания в нем функ­ ции и как приближения к истинной с точностью, определяемой исход­

ными данными ЛПР в виде Ии.

Класс U минимален, если любое его сужение нарушает его полноту, или, что то же, исключает возможность восстановления функции и] со­

гласно информации о предпочтениях ЛПР.

Под простотой вычисления понимается наличие возможности вы­ числения значений функции и] с низкой временной и емкостной слож­

ностями.

Понятие «отношение ЛПР к риску» определяется на основе взаимно­

мализованного критерия, а также на основе зависимости такого располо­ жения от параметров лотереи:

Щ Ц = pfmia + (1 -рУ м *.

Определения. Лотереей L называется вероятностное событие, имею­

щее два исхода f \ f " e [/mm>/maxL вероятности осуществления которых равны р и I — р соответственно.

Величину, которую ЛПР принимает равноценной лотерее, называют детерминированным эквивалентом.

ЛПР не склонно к риску, если оно предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой лотерее вместо участия в ней.

ЛПР склонно к риску, если оно предпочитает участие в любой лотерее вместо получения наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи.

ЛПР безразлично к риску, если ему безразлично, получит ли он исход лотереи или наверняка ожидаемый выигрыш.

З а м е ч а н и е . В теории принятия решений рассматривают также и другие меры от­ ношения ЛПР к риску: убывающую несклонность, возрастающую несклонность, убываю­ щую склонность, возрастающую склонность и др.

251

Возможные типы отношения ЛПР к риску в задачах принятия ре­ шений, соответствующие им условия для случаев положительной ори­ ентированности критерия и параметрические семейства функций пред­ ставлены в таблице

Отметим условия, при которых, например для класса U2, справед ли­

во представление экспоненциальным параметрическим семейством функций. Известно, что при несклонности ЛПР к риску функция по­ лезности вогнута, т. е. имеет место неравенство вида

«(/) > 0,5«(/•+ Af)+ 0,5utf-ДО,

где А/- — случайная величина, характеризующая «честную» лотерею с

P(f+ 4 0 = p ( f ~ АО = 0,5,

имеющая нулевое математическое ожидание и дисперсию Щ А / 2],

/ — текущее значение частного критерия. Очевидно, что существует ве­ личина f>fe (0, АО. при которой неравенство преобразуется в равенство

u { f - §0 = 0,5u(f+ АО + 0,5u i f - АО,

которому соответствует равенство в форме математических ожиданий

M [ u ( f - §/)] = M[u(f + АО], или u (f-b f) = M [u(f + АО]-

Теперь предположим, что функция полезности дифференцируема, и воспользуемся отрезками разложения в ряд Тейлора левой и правой частей последнего равенства. В результате получим соотношение вида

252

«(/) - 8/. «'(/) = M[u(f) + Af- «'(/) + 0,5A / 2 • «"(/)],

или

«(/) - 8/- «'(/) = «(/) + 0,5«"(/) • МА/Ч

или однородное дифференциальное уравнение относительно неизвест­ ной функции полезности

Л/[А/2 ]«"(/)

2 «'СО

при известных «(/Lx), «(/min) И 0 < «'(/Lx) < Ь > 0.

Пусть bf не зависит о т / это означает, что ЛПР свою несклонность к риску не связывает с текущим значением критерия Дх). Тогда получим

однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэф­

класс — параметрическое семейство экспоненциальных функций U2.

Изложим постановку и принципы решения задачи свертывания ча­ стных критериев путем восстановления функций полезности по данным предпочтений ЛПР на парах физически возможных значений векторно­ го критерия (подробное изложение в [13] ).

Функция свертки может быть записана в виде

где и ^ х ) ) известны, i = 1, 2,..., п\

И — информация о СП для ЛПР; Фч — функционал, характеризующий степень соответствия функций

и, и q информации И.

Решение (1) требует определения класса функций Q, информации И, конкретизации функционала Фя и метода его оптимизации.

Схему определения класса Q в (1) введем, исходя из условий пред­ ставимости непрерывных функций многих переменных суперпозицией

У=1,

253

Суперпозиции могут быть заданы следующим образом:

Я(Дх))= (рСф^'М)), ф2№ ) ) , .... фs(f*(x)); а„ а2, .... а,) =

s s

критериев не зависит от всех остальных и все критерии нормированы;

2) ?(a,/(x)) = ^ aS '‘IS[a ,/#(x), l+ a0 =р](1+а0а,), Х а / =1>а<>0>

*=1 /=1 /=I /-1

когда любой частный критерий не зависит по предпочтению от всех

других и все критерии нормированы;

s

3) <7(/(х)) = Ш (х), когда реализуется принцип справедливого ком- /=1

промисса; такой вид агрегированного критерия имеет место при выпол­ нении аксиом Нэша (см. п. 7.7).

Очевидно, что компоненты вектора а подлежат определению (оце­ ниванию). Самая простая структура алгоритма их определения включа­ ет следующие операции

Ал г о р и т м

1.Предъявить эксперту совокупность пар

254

3. Предъявить эксперту вычисленные пары значений критерия f t{x) с целью получе­

4. Составить систему неравенств и равенств вида

q(a,f(xx, х2, .... х'у......х,)) > <7(а,/(х,, х2, .... х*.......хр)),

q(a,f(xh х2......х'у.......хр)) < q(a,f(xu х2.......х ] ...... хр)),

5. Найти решение системы п. 4 в виде, в общем случае, области приемлемых значе­ ний компонент вектора а = (а), а 2>—. **,)•

6. Предъявить область вычисленных значений вектора а эксперту с целью выбора им приемлемого значения а°.

В более общем случае для восстановления агрегированного крите­ рия q(f) применяется метод, данный в [13]. В (2) для ФП ф//5) при / > 2

(ФП второго уровня) ставится задача их восстановления, которая реша­ ется с помощью рекурсивного применения излагаемого в [13] метода. Согласно (2), класс Q полностью определяется заданием операции де­ композиции d(n, s), осуществляющей разбиение исходных критериев на s подвекторов, s = 1,2,..., п, и операции суперпозиции ФП второго уровня для любого фиксированного значения операции d(n, s). При­

мером разбиения исходных критериев может быть выделение из них подвектора экономических критериев, подвектора критериев эксплуата­ ционной надежности и восстанавливаемости, подвектора критериев жи­ вучести и безопасности, подвектора эргономических критериев, подвек­ тора критериев пропускной способности и др.

Операция d(n, s) реализуется либо алгоритмически, либо последова­

тельным экспертным заданием ее значения с учетом смыслового содер­ жания критериев. Операции суперпозиции (свертки) ФП второго уров­ ня (и более низких) конкретизируются на основе физического содержания задачи. Заметим, что определение класса Q конкретизацией операций d(n, s) и ф(фу, фу ) значительно проще, чем указание вида ФП

или проверка совокупности свойств исходных критериев и СП ЛПР. Фиксированное значение операции декомпозиции и конкретная супер­ позиция определяют однопараметрическое семейство функций.

255

Класс Q задается конечным набором семейств Qy, v = 1 , N, кото­

рые упорядочиваются по сложности. Информация И формируется на основе определения областей Q f|,2 различимости по предпочтению

ЛПР фиксированных векторов /* с векторами / * e£2/j<2,

щей И0 и проверочной И„ выборками приближенных отношений экви­ валентности

где Г '" ' = ( - ,Д ’<‘>= (/,,н + Д в ) / 2 , - ,Д = (Дн + Дв ) / 2 , - ) ,

Дн> Дв> Дн> Дв — нижние и верхние границы области Q, ,2 со­

А *

где Д — неизвестное значение критерия Д, при котором (3) в точности

соответствует системе предпочтений ЛПР.

Функционал Фд = {Ф\ ,Ф *} является составным и конкретизируется

на основе соответствующего определению ФП условия: если х ' пред­ почтительнее х " (эквивалентно: fix') предпочтительнее fkx")), то

?(/(*')) ^ 0(Л*"))> и наоборот. Согласно этому условию, выборка И0 вида (3) и объема f0 определяет приближенную систему уравнений

Чуi f ' ) ~ Чуi f ‘ ), к = 1, f0 относительно параметров функции из се­

мейства Qy, qy€ Qy. Решение этой системы эквивалентно минимизации

функционала, задаваемого метрикой р(чУ>Чу) в 4гмеРном пространстве выборок И0, где

Чу = ( 4 y ( f ' ° ' ) , - , 4 y ( f ' W )), Чу =(4yif ), -,4yif )).

Таким образом, Ф\ = piqv,qv) и его минимизация приводит к иско­

мым параметрам a,, ctj,..., as функции qv.

Аналогично конкретизируется и функционал Ф2, но на выборке И„.

Решение задачи (1) строится итерационно. Номер итерации соот­ ветствует номеру семейства Qv (если v' > v", то Qv. сложнее Qv~). На ка­

ждой итерации определяется приближение q'v для q путем минимиза­

ции функционала Ф'я на Q и проверяется согласованность функции q с

СП ЛПР. В силу некорректности задачи (1) в рассматриваемой поста­ новке решение q ищется путем регуляризации метода минимизации

256

функционала Ф ', основанного на использовании оценок (4) и требова­

ния устойчивости решения.

Выбор конкретной функции q'H также согласуется с оценками (4)

для Ип и определяется соотношением

где e(8) — согласованная с (4) точность определения ФП.

Если (5) не реализуется на Q, то выбирается q 'o, минимизирующая

фц на функциях q'v, v = 1 , N.

Приведем укрупненную блок-схему реализации изложенного здесь принципа формального представления критериев эффективности для проектируемых сложных систем.

Вариант программной реализации вычисления свертки частных критериев на ПЭВМ нами изложен в [74].

7.9.Сущность адаптивных процедур

Вадаптивных многокритериальных процедурах используются прав­ доподобные предположения о свойствах принципа оптимальности, о свойствах системы предпочтений и частичная информация о предпоч­ тениях на оценках частных критериев непосредственно при поиске луч-

шей альтернативы, т. е. в адаптивных процедурах решается задача опти­ мизации по частным критериям при неявно заданном принципе оптимальности в интерактивном режиме человека с ЭВМ. Для более полного представления сущности обратимся к одной из таких проце­ дур — алгоритму.

Пусть существует функция полезности u(F{(x) , ..., F„(x)) на множест­ ве оценок частных критериев, х е М0, М0 — выпуклое множество, F,(x), / = 1,/и — вогнутые функции; полагаем также, что u(Ft(x) , ..., F„(x)) во­

гнута и дифференцируема.

Ал г о р и т м Ф р е н к а — В у л ф а

1.Выбрать начальную точку — альтернативу х1е М0.

2.Определить оптимальную величину наиболее сильного возрастания и() как реше­ ние задачи

Положить x*+1 = JC* + **//*, k = k + \ и возвратиться к on. 2.

Так как функция и не задана в явном виде, то оп. 2 и 3 не могут быть непосредствен­ но реализованы; нужна дополнительная информация от ЛПР.

4. Получить информацию по оп. 2. Продифференцировать и( ) по х, получить

(3)

где неизвестные величины | - ^ - | считать положительными; тогда в (1) и (3) целевую

\ZFiJ

к\

ределяет ЛПР после того, как выбрано малое значение Д|.

4а. Информация по оп. 3: оптимизация вдоль направления d k для (2) осуществляется

Затем ЛПР по этому графику выбирает значение г. Видно, что эта задача сложная. К на­ стоящему времени предложены и более эффективные адаптивные процедуры, например

в [39].

Г л а в а в о с ь м а я

Методы выбора решений при риске

К настоящему времени исследовано чрезвычайно большое количе­ ство разнообразных практических ситуаций и соответствующих им ме­ тодов принятия статистических решений — решений при риске. Поэто­ му в настоящей главе излагаются только отдельно взятые из них базовые, широко известные байесовы, последовательные и небайесовы методы или, иначе, методы принятия решений при полной и неполной статистической априорной информации.

Одни из них, как, например, рассмотренные в гл. 4, построены с использованием статистики в виде отношения функций правдоподо­ бия проверяемых альтернативных простых или сложных гипотез, дру­ гие — свободны от вида распределения, они построены с использова­ нием специальных статистик — статистик в виде мер различия между распределениями проверяемых альтернативных гипотез, либо в виде полярностей — знаков независимых наблюдений (измерений), значе­ ний рангов соответствующих отсчетов измерений, либо в виде числа кластеров, на которые разбивается исследуемая выборка наблюдений, и др.

8.1. Методы выбора решений, основанные на использовании отношения функций правдоподобия

Согласно необходимым и достаточным условиям оптимальности выбора решений при риске (они изложены в четвертой главе), имеет место важный вывод: структура правил (алгоритмов) решения сводится к сравнению статистики в виде отношения функций правдоподобия с пороговым уровнем. При этом значение порога однозначно устанавли­ вается для каждого конкретного метода, а статистика вычисляется по наблюденной выборке и заданным в пространстве выборок функциям правдоподобия — условным распределениям вероятности проверяемых гипотез. Конкретные примеры вида статистик и порогов для различных методов и функций правдоподобия применительно к двуальтернатив­ ным ситуациям приведем в таблице, в которой введены обозначения:

М — метод,

А— Байесовский метод минимизации среднего риска, Б — минимаксный, В — максимума апостериорной вероятности,

Г— максимума правдоподобия,

Д— Неймана — Пирсона — метод минимизации вероятности про пуска при фиксированной вероятности ложной тревоги,

Е — идеального наблюдателя (Зигерта — Котельникова) — метод минимизации средней вероятности ошибок,

Ж — энтропийный — метод минимизации остаточной неопреденно сти,

3 — последовательный — метод минимизации средней стоимосп наблюдений (среднего значения объема выборки),

И— локально равномерно наиболее мощный.

В приведенных в таблице примерах предполагалась известной точ ность измерений, принимающая одно и то же значение для всех компо нент выборки. Однако в реальных ситуациях это предположение не все гда может выполняться: точность измерений будет известна лишь ] среднем. В этом случае точностную характеристику целесообразно опи сывать распределением вероятности. Последнее может быть установлю но, например, согласно концепции о максимальной энтропии. Соответ ствующий вариант решения содержится в [80]. Очевидно, что правил: принятия решений при этом должны быть уточнены.

Теперь рассмотрим задачу, для решения которой применяется метод отношения максимальных значений функций правдоподобия для слож­ ных гипотез и вербальный подход.

Задача. Пусть имеется выборка векторов отсчетов (измерений) X = {х,}, / = 1, N , где1

лежат области Q. Требуется определить гарантированные оценки количества объектов и значений их параметров, а также установить возникновение факта небезопасного состоя-, ния контролируемой ситуации.

Разбиение осуществим по результатам отождествления каждой пары {х„ х7), i j е 1, Л векторов отсчетов при условии, что имеет место гипотеза: векторы {х„ Xj} порождены од­ ним и тем же объектом с параметром X, либо — альтернативная гипотеза: векторы {x/,x7) порождены разными объектами с параметрами \ q и Хц, (Х^ * Хц). При этом полагаем, что функции правдоподобий

/>(*,, Xj/ X) = p{x-J X) р(х/ X), X » X^ » \ ,

P(xh Xj/ Х^, Хц) p (x j Хц) p(Xj/ Х^)

и описываются нормальными плотностями вероятности.

Отождествление векторов {х„ х7) выполним на основе сравнения отношения макси­ мальных значений функций правдоподобия для рассматриваемых гипотезы и альтернати­ вы с пороговым значением п(а). Последнее задается согласно допустимой вероятности с неотождествления векторов {*,, х7}, когда в действительности они порождены одним и тем же объектом.

При превышении вычисленным значением отношения правдоподобий пороговой уровня я(а) принимается решение об отождествлении векторов {х,, х7) в противном слу­ чае — решение, что эти векторы порождены разными объектами, т.е. х, = Xj.

260