|
М =1- |
= л/о + |
М л - М р |
У2, |
|
|
|
I |
|
|
|
|
п |
|
где У* |
= ctga определяет угловой коэффициент прямой, проходящей через точки |
у}
М0 и Л.
Теперь воспользуемся установленным выше фактом о том, что множество эффектив ных портфелей описывается в системе координат доходность — риск гладкой выпуклой кривой второго порядка. Запишем здесь ее выражение в неявном виде
I
F (M (r),V 2(r))=Q или, в виде ДЛ/(г),а(г)) = О,
где о — среднеквадратическое значение, и отметим, что если принадлежащая этой кривой точка Л (см. рис.) является точкой касания прямой, проходящей через точки М0 и А, то уг ловой коэффициент этой прямой точно равен угловому коэффициенту касательной к
кривой F (M (r),V 2(r)) = 0 в точке А. Большее значение угловой коэффициент при фик
сированном значении М0 не может принимать, так как тогда (при меньшем угле а) новый портфель будет составлен в виде линейной комбинации безрискового актива и рисковых из недопустимого множества, а при меньших значениях углового коэффициента новый портфель будет составлен из безрискового актива и доминируемых рисковых портфелей, так как при таком угловом коэффициенте прямая отсекает часть эффективного множества (на рис. это показано). Требуемое доказано.
Метод последовательной оптимизации частных критериев с учетом же сткого приоритета. Метод состоит в упорядочении критериев по их важ ности и реализации правила последовательной оптимизации, при кото ром оптимизация /-го частного критерия начинается тогда, когда дос тигнуты оптимальные значения всех предыдущих частных критериев / — 1, / — 2,..., 1. Таким образом, структура свернутого критерия здесь имеет вид
/(* ) = Л (*)+ X suP/y (*>• ;=1
Этот метод не позволяет справедливо учитывать «интересы» менее важ ных критериев, так как не допускает их увеличения, если это связано хотя бы с незначительным уменьшением более важных критериев.
Учет «интересов» всех частных критериев, упорядоченных по их важности, может быть достигнут при использовании принципа уступок.
Так, принцип справедливой уступки основан на оценке и сопоставле нии прироста и убыли частных критериев на множестве Парето. При этом основу принципа справедливой абсолютной уступки составляет усло
вие непревышения суммарным абсолютным уровнем снижения не скольких (в частном случае — одного) частных критериев суммарного абсолютного уровня повышения других частных критериев. Такому
принципу соответствует свернутый критерий вида / = ^ /,( х ) . Недоста
ток принципа уступок заключается в том, что этот принцип допускает резкую дифференциацию уровней отдельных критериев: высокое значе ние свернутого критерия может быть достигнуто за счет высокого уров ня одних частных критериев при сравнительно малых значениях других. Изложенный принцип называется также принципом равномерной опти мальности.
Основу принципа справедливой относительной уступки составляет ус
ловие непревышения суммарным относительным уровнем снижения значения одного или нескольких частных критериев суммарного отно сительного уровня повышения значений остальных частных критериев. Этому принципу соответствует свернутый критерий вида
/ = П / ,( * ) |
/ = |
c l |
Х а ' =L |
/«1 |
|
Cl |
Принцип весьма чувствителен к величине критериев, за счет отно сительности уступки происходит автоматическое снижение «цены» ус тупки для частных критериев с большей величиной и наоборот. В ре зультате проводится значительное сглаживание уровней частных критериев. Принцип инвариантен к масштабу измерения критериев, в нем прослеживается и тесная связь с концепциями решений в некоо перативных бескоалиционных играх. Принцип справедливой относи тельной уступки называют также приемом равномерной относитель ной уступки.
Метод последовательных уступок. Этот метод позволяет упорядочить частные критерии по убыванию их важности и в последовательном ре шении задач оптимизации: сначала ищется решение, обращающее в максимум/, — первый (самый важный) критерий, далее устанавливает ся А, — некоторая уступка (от maxf x= b максимума этого критерия), на
которую согласен принимающий решение, чтобы улучшить решение по последующим критериям, в первую очередь, по второму по важности критерию / 2. Это приводит к задаче max.f2 при ограничении /,> /» — А,.
Затем назначается уступка Д2 по критерию^, при которой максимизи руется / 3, и так далее до п -го частного критерия.
Введение уступок Ау в виде относительных отклонений частного критерия f от его максимального значения позволяет свертывание век
торного критерия оптимальности реализовать согласно методу миними зации уступок, т.е. свернутый критерий при этом имеет вид
А = min |
, У = 1 ,п , |
А/ |
т а x f j |
где Cj> 0 — весовые коэффициенты важности уступок по критерию j£.
Метод, основанный на целевом подходе. Метод состоит в назначении ЛПР в пространстве частных критериев некоторой цели и представле-
242
нии свернутого критерия в виде метрического для его оптимизации на множестве М0. Метрический критерий можно записать в виде
/ м |
_ у |
/;< * > - //* > |
|
/(Y ). |
f |
/ ; м - / , м |
|
’ |
« |
/;<*> |
’ |
|
у / ; ( ч - т т / , ( ч |
' |
|
|
|
|
|
|
/ |
л |
\М> |
/(х) = 2м > Уf-, jo (Lх ) - minfj(x) |
f { X ) |
= I |
/ 7°(x )-m in /y(x) |
|
|
|
|
|
y -i |
у |
v |
-у |
(при ц, = 2 имеет место критерий в виде суммы квадратов нормирован ных отклонений частных критериев от их минимально возможных зна чений),
|
1 |
1 |
* |
v |
\ - |
т = |
|
. /( * ) = 2 м / у ° < * ) - / у < * ) ) ' |
U=' |
|
|
f ( x ) = ^ \ f j ( x ) - f j ( x ) \ при р = и f{x) = max|/y°( х ) - / у(х)| при р —>оо.
y=i |
1 |
Заметим, что свернутый критерий записывается в чебышевской мет |
рике: |
|
/< * ) = 2 > |
,! / • ( * ) - / , <х)1, Х ^ у = 1- |
у»1 |
у=1 |
/°(х) = (шах/,(х), шах/2( х ) , ш а х / д(х)) — идеальная точка, а при других значениях для/*(х), установленных ЛПР, это будет целевая точ ка. Указанные здесь т а х /(х ) находят для каждого /,(х), х е X, без учета
остальных частных критериев.
В данном методе ЛПР должен так изменять выбор цели, чтобы окон чательное решение на М0 было как можно ближе расположено по отно
шению к идеальной или к целевой точке. Это довольно сложная задача, для облегчения ее решения сначала строят эффективное множество, на котором и реализуют изложенный целевой метод (см., например, [132]).
Метод ELEKTRE-I — метод Руа. В этом методе используются коэф фициенты важности частных критериев. Критериям устанавливают чи словые шкалы и их важности интерпретируют как число голосов членов жюри, голосующих за соответствующий критерий. Затем множество ча стных критериев разбивают на три подмножества:
J+(x, у) — подмножество критериев, по которым альтернатива х е X предпочитается альтернативе у е X, х > у;
J*(x, у) — подмножество критериев, по которым х - у е X; J~(x, у) — подмножество критериев, по которым у > х.
По этим результатам формируется функция —индекс согласия о том, что х > у, т.е. функция о предпочтительности альтернативы х относи
тельно у,
|
х а |
|
|
» _ /б /ц у |
|
|
х,У |
N |
9 |
|
|
I * |
|
|
где Р, — вес /-го частного критерия, и индекс несогласия |
с отноше |
нием предпочтения х > у. Очевидно,что 0 <Сху< 1. Индекс |
опреде |
ляется для подмножества J \ x , y ) |
в зависимости от разности оценок |
альтернатив х, у. Вычисленные разности выражаются в долях наиболь
шей числовой шкалы критериев и упорядочиваются по величине. Оче видно также, что 0 < й 1. Индексы согласия и несогласия позволяют
выделить на исходном множестве альтернатив ядро недоминируемых альтернатив, для выбора окончательного решения из которого задают пороговые константы С* и d* для Сху и d^. Так, если выполняется усло вие Сху < С* A < d \ то принимается решение в пользу альтернативы х. При изменении индексов Сху и d4 состав ядра изменяется, а это, в свою
очередь, обусловливает дополнительные трудности анализа задачи вы бора эффективного решения.
При реализации изложенных методов множество Парето, как и в случае равноценности частных критериев, может быть существенно су жено.
Метод лексикографии. На допустимом выпуклом замкнутом множе стве X задана конечная совокупность частных критериев. Требуется найти эффективную альтернативу х° е X, приемлемую с позиции макси мизации всех частных критериев, непрерывных на X. В этом случае вы
бор х° означает сжатие множества Парето, содержащего все эффектив ные точки множества X.
Алгоритм лексикографического выбора х° е X включает следующие
операции.
А л г о р и т м |
|
|
|
1. |
Упорядочить частные критерии в порядке невозрастания их |
важности: |
2. |
Найти подмножество S ] C X, |
^ |
= { * б .Г |/; ,( г ) = т а х /; | (*)}, точки м |
кагорого |
максимизируют частный критерий j x. |
|
|
3. |
Найти подмножество S2 c S ,, |
^ |
= { y e * | / у2(у)= m £ « /,2(*)j, точки {у> кагорого |
максимизируют очередной (после критерия у,) по важности критерий /2.
4. Продолжить выполнение оп. 3 для критериеву3,у4, ...,jkдо тех пор, пока Sk с
5 * - Ь б Д Г | / д (у)= птах / A( * ) U 0.
Это означает, что если * 0 , \ <1йк,то S { содержит эффективную точку множест ва X.
З а м е ч а н и е : 1. Точное вычисление всех множеств sk на ЭВМ может быть невыпол нимым; в этом случае вводят уступки последовательно по каждому критерию; задача ста новится регуляризованной.
2. При выборе JC° е X по вектору линейных частных критериев эффективная альтер натива х° является крайней точкой множества X.
7.6. Метод сравнения по важности однородных критериев
Определение. Критерииf(x),fj(x), i,j = |
1, 2 |
, |
п, / Фу, однородны, если |
sup/, (х) = supf j (х), |
inf/, (х) = inf (x). |
x*X |
Xex |
xeX |
|
xex |
Если они неоднородны, ограничены и имеют положительные размахи |
г-, - sup/, (х)- inf/ |
(х), |
/ = 1, |
2, |
п, |
xcif |
хеХ |
|
|
|
|
то перевод их к однородным можно осуществить согласно линейному пре- образованию вида
/,°(х) = а ,/,(х )+ 3 ,, |
а, > 0, / = 1, |
2, .... п. |
Так, например, непрерывные |
на X = [0,1] |
критерии /,(х) —х и |
/ 2(х) = -а х 2 + b переведем к однородным следующим образом: записы
ваем выражения
шах/, (х) = 1 max/2 (х) = Ь,Ь = 1,
х е Х х е Х
шах/. (х) = 0, max/ , (х) = -а+ Ь , а = Ь\ |
х е Х |
1 |
х е Х |
выписываем условия однородности критериев для их преобразования от неоднородных к однородным
«1 + Pi = <hb+ Pa. Pi = -ОгЯ + ос^ + рг
и вычисляем а,, а 2, 3i> РгДля рассматриваемого примера ос, = о^, 3i = Рг- а с учетом размахов г, = гг = 1 получаем ос, = щ = 1, Р, = Зг = 0.
Теперь строим множество Парето. В этом примере ДА) = [О 1]. Вводим упорядочение критериев /(х ), / 2(х) по их важности. Пусть / 2(х) > /,(х), вычисляем множество эффективных альтернатив как ядро лексикографического отношения предпочтения Са„ с учетом максими зации и важности частных критериев. В рассматриваемом примере
—1 + ^5 |
п / v\ |
£1ех =0, |
с Р(Х) и его правая граница определяется из уравне- |
ния /,(х) = / 2(х). В результате достигнуто сужение множества Парето.
7.7. Сужение множества Парето с использованием абсолютно кооперативных, среднеквадратичных, арбитражных стратегий
Определение 1. Вектор допустимых стратегий х ‘ = (х ’,x'2,...,x'N),
N |
|
|
|
|
|
х ‘ е X = J'JA',, называется |
абсолютно |
кооперативным |
в |
конфликте |
(-1 |
|
|
|
|
|
N сторон, если для любых х е X |
выполняются |
условия |
вида |
Fi(x)< mwiFi(x) = Fi(xm), i = |
1, 2,.... N. |
|
|
|
|
Отметим важную особенность: значения F,(x), / = 1, 2 |
, N, |
в об |
щем случае необходимо характеризовать как “точку утопии” в про странстве значений критериальных функций сторон. Это идеальная точка — точка полного удовлетворения требований одновременно всех сторон и каждой в отдельности, исходящих из максимизации их крите риев на допустимом множестве стратегий X. Такая стратегия на практи
ке, как правило, недостижима; но в тех же конфликтах, когда она реа лизуется, имеет место абсолютно оптимальная кооперативная стратегия х "= х и € X; при этом очевидно, что множество Парето представляется
одной-единственной точкой х*“.
Можно предполагать, что ЛПР при равноправных участниках кон фликта будет стремиться найти такое компромиссное решение, при котором значения их критериальных функций находятся на минималь ном удалении от идеальной точки. Степень близости допустимо харак
теризовать расстоянием |
вида ^ [F, (х ”с) - Fi (х*“ )]2, где х 'с = (х’с ,x1е |
|
|
/=i |
|
|
..., Х ц ) е X — среднеквадратичная стратегия. |
|
|
Определение 2. Вектор стратегий х 'с = (х ’с ,х'2с ,...,х„ ) е X |
называет |
ся среднеквадратичным в конфликте N сторон, если при любых х € X вы |
полняется условие |
|
|
|
|
£ [/ ■ ( х Ь / Д х *")]2 > |
У |
[ / ; . ( * * < ) - / '( х *")]2 = |
m i n f [ е д - ^ |
х * 1') ] 2. |
73 |
73 |
хеХ73 |
|
Такие стратегии обладают следующими свойствами:
—одинаково учитывают интересы всех сторон;
—оптимальны по Парето;
—не зависят от несущественных альтернативных стратегий, т.е. если
X с X , ш ах/)(х) = шах/).(х), / = 1,2, ..., N и х*с е X ,
то х с является среднеквадратичной стратегией и для суженного множе
ства допустимых стратегий;
— являются проекциями идеальной точки на множество Парето и представляют для ЛПР результат его сужения.
Пусть теперь все стороны согласны привлечь беспристрастного ар битра для выбора справедливого компромиссного решения. При этом объединения сторон в какие-либо коалиции не допускаются и выпол няются следующие а к с и о м ы Н эш а .
Аксиома допустимости. Оптимальное арбитражное решение должно
содержаться в исходном множестве X = П ^ / -
/=i
Аксиома индивидуальной рациональности. F;(x*a) > Fi(xmm)9где х*а — ар битражная стратегия, хтт — стратегия status-quo, т. е. это стратегия действий сторон, когда они не согласны с решением арбитра; при такой стратегии они могут рассчитывать на достижение только гарантиро ванного (своего максиминного) выигрыша.
Аксиома оптимальности по Парето.
Аксиома независимости от посторонних альтернатив. Имеет тот же смысл, что и аналогичная аксиома в п. 1.8.
Аксиома симметрии. Имеет тот же смысл, что и аналогичная аксио ма в п. 5.3.
Аксиома независимости арбитражного решения от линейного преобра зования критериальных функций. Если множество у /(А) образуется из ис ходного замкнутого выпуклого множества значений критериальных функ ций сторон \р(Л) с помощью линейного преобразования у'(Х) = а\р(Х) + р,
т.е. \|/'(х) = а /у ,( х ) + р /> / = 1, 2, ..., N, a F^Ctt) = фДА)Лдс"ш)), то
«(КуШ а^х"”") + Р) = <xF(x'a) + р.
При такой системе аксиом справедлива следующая теорема (см. [40; 71; 78]).
Теорема Нэша. Существует единственное арбитражное решение
|
|
N |
|
F(x'a) = arg |
шах |
=77(7') ( х ) - / !)(х вш)), х е Х , х—' е Х . |
F ( x ) 2 F ( x * ” ’ ) |
* * |
|
Согласно этой теореме, можно сформулировать определение сред |
неквадратической стратегии. |
|
Определение 3. |
Стратегия х ’“ = (х*", х '2а,..., х '£) называется арбит |
ражным решением в конфликте N сторон, если для любых х е X выполня |
ется неравенство |
( x ) - F i (xmm))< |
(x 'a) - F l( x mm)). |
|
/*1 |
|
/=1 |
Очевидно, такое решение есть сужение множества Парето в про странстве значений критериальных функций сторон.
Для решения сформулированных условных экстремальных задач можно воспользоваться изложенными в гл. 6 методами.
На примере конфликта двух сторон раскроем структуру метода оты скания их арбитражных стратегий и конкретизируем роль арбитра.
Задача. Пусть одна из сторон, конфликтующая с доугой, достижение своей цели свя
зывает с критериальной функцией F{ (х{,х2) = ^ ^ где х { = (xn ,xi2), х2 = (*21**22) —
векторы стратегий сторон, а другая — с критериальной функцией F2(xltx 2) =
Найти арбитражное решение.
Р е ш е н и е . Воспользуемся арбитражной схемой. 1. Вычислим максиминные выиг
рыши сторон |
|
|
|
|
|
бТ* = max min F, (х, ,х2), |
2“ = шах min F i(xx ,х2). |
1 |
лг |
х2 |
|
*2 *1 |
|
Для этого найдем решения |
,х*т,х£т) и ( d ^ , x ”w,x"w) систем уравнений |
1) 2*ц -"2XJ2 = 6j”m, |
“ Зхц + 2XJ2 = 6j"m, |
*ц+*12 = Ь |
*п» *12-0 |
и 2) 2х2| + 4х22 = 6 2m, |
|
5х2| - 2х22 = 6 2w, |
х21 + х22 = 1, |
х2!, х22 £ 0: |
2. |
Вычислим значение характеристической функции |
|
|
|
|
ti(Fh F2) = тах ^ l(* ll> * 2 1 ) + |
^2(*11»*21 )» |
F \ (*12»*21)+ ^2 |
(*12»*21 )>1 |
шах{4,3,1,0} = 4 |
|
{ |
^2(*11»*22)» |
^ (* |
»* |
)+ ^ (* |
»* |
|
|
|
F[ (*i1>*22 ) |
l |
12 |
22 |
2 |
12 |
22>»1 |
|
|
3. |
Проверим выполнение условия коллективной рациональности 6 (FlfF2)^ |
+ б 2да; |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем 4> —— условие выполнено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислим дополнительный суммарный выигрыш сторон по отношению к их ми нимаксным выигрышам: 4 - (-2 /9 + 8/3) = 14/9. Этот выигрыш подлежит справедливому дележу между сторонами.
5.Составим соотношения, определяющие итоговые выигрыши согласно условиям индивидуальной рациональности сторон:
/;Vi,*2)=or+e7 ’ /г2в(*|.*2)=’»Г' +(i-e)ip osesi.
Если теперь арбитр располагает достоверной информацией для установления прием лемого обеими сторонами значения параметра 0 , то он может сформировать и арбитраж ное решение (0 \ б ®(0 ) ,б 2(0*)). Однако такой информацией арбитр, как правило, не рас
полагает, поэтому следует перейти к выполнению очередной операции.
6. Найдем арбитражное решение { / ^ ( x j ,*2 ), ^2 *(*1**2)}как решение экстремальной
задачи вида |
|
|
|
{F*a(x{,х2), F2'‘(*I ,х 2 )} = arg |
max |
(F a(xx,х2) - б Т ” )(F f(x{,х2) - Ъ2т) |
|
|
F * { x и х 2 ) > ь ” т |
1 |
на |
выпуклом компактном множестве значений критериальных функций сторон. |
Решение этой задачи может быть найдено с использованием метода возможных на правлений, начиная из начального приближения в точке (Ъ™т,Ъ "т). Но в данном случае
оно достаточно просто находится и аналитически согласно необходимым условиям суше248
ствования стационарной точки для задачи с ограничениями в виде равенств. Искомое ре шение принадлежит множеству Парето. Последнее в рассматриваемой задаче принадле жит отрезку, соединяющему граничные точки А(-2,5) и В(2,2)'множества у(Л), и является единственным ограничительным условием — допустимым множеством арбитражных ре шений.
Уравнение отрезка имеет вид
|
F\(xx,x2)+ 1 |
= 0; |
|
2 + 2 |
|
2 - 5 |
выразим F2(X XJC2) через FX(X XJC2): получим F2{X XJC$ =7 /2 — 3/4 /'[(x i^)-
Подставим F2(xх^с2) в выражение критериальной функции, т.е. представим ее как функцию одной переменной
к = (Рх(хх^ ) + 2/9)(—(3/4) F2(X XJ 2) + 5/6)
и найдем F*a(xх ,х2), доставляющее ей экстремальное значение. Взяв производную и при равняв ее нулю, получаем арбитражное решение
JF1*e(jCi,xr2 ) = 4 / 9 и F ? 0c„ х 2) = 19/6.
Видно, что арбитражное решение доставляет больший выигрыш сторонам по сравне нию с их выигрышами в точке status-quo.
В заключение отметим, что изложенные методы сужения множества Парето применимы и при выборе решений в динамических конфликтах многих сторон, в том числе и когда эволюция их фазовых координат описывается стохастическими дифференциальными уравнениями.
7.8. Структура обобщенной свертки частных критериев
В основу формирования свертки векторного критерия принима ются:
1. Положения, определяющие существование и вид функции полез ности и(/) = M(M,(/i(x)),..., u„(f„(x))), которая определяет численную меру совокупности полезностей иь ..., и„ частных критериев /|(х),
2.Принципы свертывания частных критериев путем восстановления функции полезности (ФП) по данным предпочтений ЛПР.
3.Качественные предпочтения ЛПР на множестве значений част ных критериев либо альтернатив, в том числе и оптимальных по Парето стратегий-альтернатив.
Реализация подхода, основанного на использовании аппарата ФП, требует прежде всего анализа методов формирования функций не скольких переменных. В этом случае изначально постулируется суще ствование порядка на множестве альтернатив, тогда существование вещественной функции полезности гарантируется следующей тео ремой.
Теорема Фишберна. Если отношение > на множестве альтернатив М0 является слабым упорядочением, а М0\~ исчислимо (конечно или счетно), то существует вещественнозначная функция Д х) на М0, для которой
*/>Х/<=>М) *AXj) Vx„ Xj€ M0;
M„|~ — обозначение множества всех классов эквивалентности множест ва М0.
Подход к решению задачи определения конкретного вида ФП как функции нескольких переменных, представляющей агрегирование (свертку) одномерных полезностей частных критериев, может быть осуществлен в полном объеме на основании следующих результатов и теорем:
а) теорема Колмогорова о представлении непрерывной функции ■&в
виде суперпозиции одномерных функций
2я+1 |
|
д(х,,...,хя) = |
S 4 < * y > |
я-1 |
;=i |
где функции f qj являются заданными и независящими от самой функ
ции д. Эта теорема дает наиболее общий возможный подход к форми рованию многомерной функции полезности;
б) т е о р е м а Г е р м е й е р а о представлении агрегированного кри терия в виде тулК jfj(x), где fpc) — частный критерий, / = 1,л, А > О
в) т е о р е м а К а р л и н а |
о представлении агрегированного крите |
рия в виде ^ Ц у/Д х), где х е |
М0, М0 — выпуклое множество, а Д х) — |
вогнутые функции на М0; |
|
г) в случае установления |
неединственного решения по критерию |
Гермейера агрегированный критерий выбирается в виде
F ( a A ,n , / ( x ) ) = m i n X y / y ( x ) + a ] £ p у/ ; (х ),
J J
где a > 0, Xj > О |
j = 1, Ц = (Ць •••» Ю , |
О |
=1; |
|
j |
|
J |
д) если рассматривается задача минимизации подмножества целе вых функций частных критериев с одновременной максимизацией дру гой части критериев при выборе одного (любого) из них как домини рующего, то формирование такой свертки векторного критерия базируется на результатах теоремы Подиновского .
Известны и другие виды сверток, основанные на использовании ин формации о важности частных критериев.
Для отмеченных видов сверток, определяющих некоторое семейст во агрегированных критериев, характерной особенностью является ад дитивная, мультипликативная или мультиаддитивная их структура. Такая структура порождает в свою очередь подкольцо кольца всех критериев, что позволяет применить результаты теоремы Сто уна—Вейерштрасса для получения всюду плотного множества в про-
