§ 8. Температурные напряжения. Упругие волны, вызванные тепловым ударом

в теории упругости» (1937). Содержание последней моногра­ фии перекрывается двумя более новыми книгами, однако имеются небольшие исключения, к которым относятся случай несимметричного нагрева сферы, небольшая глава о случае, когда упругие постоянные зависят от температуры, и моди­ фикация формул Колосова (1) — (3), соответствующая не­ равномерному распределению температуры (установившемуся_или неустановившемуся). Формулы для температуры

Т {г, г) примут вид

теории упругости по существу не отличается от обычных задач для ненагретого упругого тела с поверхностными и объемными силами. Приведения выполняются различными способами2). В одном из способов применяется потенциал смещений, который представляет собой ньютоновский потен­ циал распределения температуры, а для двух измерений — логарифмический потенциал. Если для двумерного случая распределение температур соответствует установившемуся потоку тепла в однородной изотропной среде, то плоское напряженное состояние есть либо состояние, отвечающее наличию дислокаций, либо напряжения всюду равны нулю. Примеры аналогии с дислокациями для круговой области

сэксцентрично расположенным круговым отверстием и для плоскости с двумя отверстиями подробно разобраны в би­ полярных координатах Удогучи [1, 2]. Иной способ был при­ менен Гейтвудом [1] и Гике [1]. Задача о круговом цилиндре

сэксцентрично расположенным круговым (цилиндрическим) равномерно нагретым ядром приведена ими путем использо­

в статье Д. И. Шермана, помещенной в сборнике «Механика в СССР за 30 лет», 1950, стр. 202—204. См. также посмертную монографию В. М. Май­ зеля «Температурная задача теории упругости», Изд. АН УССР, 1951.—

Прим. ред.

2) См., например, гл. 14 цитированной выше книги Тимошенко и Гудьера.

вания логарифмического потенциала к задаче о сплошном цилиндре с поверхностной нагрузкой. То же самое имеет место в задаче об эксцентричной горячей посадке при нали­

скольких русских статьях с применением методов Мусхелишвили и Шермана. Тарабасов [1, 2] рассматривал сперва задачу об эксцентричной (круговой) горячей посадке со сцеплением для одного запрессованного с равномерным натягом диска, затем — ту же задачу для нескольких дисков. Так как, однако, материал считался всюду одинаковым, то последняя задача методом суперпозиции приводится к пер­ вой. Угодчиков [1] рассматривал два диска и считал, что внешняя граница имеет специальную математическую форму. Введение логарифмического потенциала позволяет считать все эти задачи решенными, коль скоро можно считать решен­ ной первую основную задачу для сплошной области, ограни­ ченной исходным внешним контуром2).

Диск (или цилиндр, не деформирующийся в осевом на­ правлении), равномерно нагретый по одну сторону от хорды и равномерно охлажденный по другую (задача исследована иным путем Гике [1]), сокращается в размерах в результате приложения простого сжатия по границе нагретой области в направлении, параллельном хорде (для нейтрализации сво­ бодного теплового расширения в направлении хорды), после чего определяются напряжения, вызванные в ненагретом диске снятием этой нагрузки. Задачу о диске с нагретым сектором (также решенную иным способом Гике [2]) можно привести к задаче о диске с силами, приложенными на гра­ нице диска, путем использования логарифмического потен­ циала для сектора.

Кроме того, существует общий метод приведения к нор­ мальной поверхностной силе, пропорциональной температуре Т в точке, и объемной силе, получаемой из температуры Т, которая рассматривается как потенциал3). Отсюда вытекает, что некоторые общие теоремы, например теорема взаимности Бетти — Максвелла, будут иметь термоупругие аналогии, которые можно немедленно записать. В ранней статье совет­

учета этой возможности. Гике [1], также рассматривавший термоупругую задачу как самостоятельную, установил общую теорему о равенстве нулю полного изменения объема, вызван­ ного тепловыми напряжениями (исключая тепловое расши­ рение).

В некоторых новейших работах рассматриваются темпе­ ратурные поля, перемещающиеся в материале как волны. Мелан [1] определил температурное поле и тепловые напря­ жения для диска, который вращается, но имеет фиксирован­ ное в пространстве температурное поле, что соответствуем например, стационарному, но не однородному в пространстве газовому потоку, обтекающему диск. Перемещение тепловых источников в фиксированной пластинке рассматривалось Ме­ ланом [1, 2] и другими авторами, упомянутыми в статье Фрейденталя и Вейнера [1], по усталости, вызванной темпера­ турными напряжениями. Когда поверхности упругого тела внезапно сообщается повышение температуры, расширение тонкого поверхностного слоя полностью устраняется внутрен­ ней ненагретой массой тела. Начальное напряженное состоя­ ние, отличное от нуля, возникающее только в нагретом слое,, легко определяется. Однако если части поверхности, напри­ мер площади круга на плоской поверхности полубесконечного тела, внезапно передается конечное количество тепла, то тонкий нагретый диск, стесненный холодной массой, в кото­ рую он заключен, создает на поверхности конечные сжимаю­ щие радиальные усилия. Садовский [1] определил возникаю­ щие в этом частном случае напряжения, считая задачу статической.

В других новейших работах задача рассматривается с иной точки зрения. Предполагается, что внезапный нагрев сообщает частицам внезапные скорости и, следовательно* вызывает упругую волну с разрывным фронтом. Тогда задача оказывается по существу динамической. Даниловская [1] и Мура [1] сходным образом, но независимо исследовали такую возможность для одномерной задачи при внезапном (конеч­ ном) и равномерном росте температуры по всей плоской поверхности полубесконечного тела. Соответствующее рас­ пределение температуры дается посредством хорошо извест­ ного интеграла вероятности, и соответствующее уравнение для упругих перемещений интегрируется посредством пре­ образования Лапласа. Мура подчеркивает результат, пока­ зывающий (в соответствии с Даниловской), что от места воз­ никновения теплового удара распространяется фронт конеч­ ного разрыва напряжений вместе с опережающим его потоком