является положительной, а рассмотрение тех же четырех случаев показывает, что это действительно так.

.Из закона течения (11.14а) снова следует, что для дей­

единственности, то посредством использованных ранее аргу­ ментов можно показать, что скорости изменения напряжений однозначны, и в этом случае из выражения (11.14а) следует также единственность для скоростей деформаций.

§ 12. Конечные принципы

Соответствующие экстремальные принципы существуют, хотя и в значительно более ограниченной форме, для проин­ тегрированных законов, рассмотренных в гл. 3. Эти огра­ ничения требуют, чтобьи в статически или геометрически допустимом поле напряжений точка напряжений имела правильную историю движения. Следует отметить, что эта ограничение налагается не только на предполагаемые поля напряжений или перемещений, которые подвергаются иссле­ дованию, но и на действительное поле. Поскольку действи­

в § 10, за исключением того, что необходимо дать соответ­ ствующие определения для П* и п2. Рассмотрим сперва идеально-пластический материал; из (8.8) получим

будет неотрицательной. Вывод получается на основе тех же соображений, что и прежде.

Чтобы доказать, что выражение (10.11) справедливо также и в этом случае, можно скомбинировать оба принципа. Наконец, доводы, аналогичные приведенным вслед за выво­ дом уравнения (11.11), показывают, что напряжения един­ ственны, но что для деформаций существует некоторая не­ определенность.

Те же два принципа справедливы и для упрочняющегося материала, описанного в § 9. В случае изотропного упрочне­

Доказательства аналогичны приведенным выше и потому не приводятся. Неравенство (10.11) снова оказывается спра­ ведливым, и существованием минимума обеспечивается одно­ значность как напряжений, так и деформаций. Подобные же результаты можно получить для кинематической модели

иматериалов, упрочняющихся по комбинированному закону.

§13. Теория предельного равновесия *)

Принципы теории предельного равновесия представляют собой другой тип экстремальных принципов. В то время как при рассмотрении принципов минимума потенциальной и до­ полнительной энергии поверхностные усилия считаются фик­ сированными и энергия минимизируется, теперь мы будем иметь дело с некоторыми множителями при усилиях. Если идеально-пластическое тело подвергается нагрузке совокуп­ ностью поверхностных усилий Т, мы будем рассматривать усилия XT, причем К медленно возрастает от нуля. В част­

Соответственно для каждой пластической грани получим, что или Хв= 0, если грань не входит в механизм течения, или же

соответствующее значение /в= 0. Поэтому и-з (13.1) и (13.2) находим

V

Однако, так как матрице By соответствует положительно определенная квадратичная форма, это обстоятельство нала­ гает требование, чтобы Q/ = 0 в каждой точке объема V, что и требовалось доказать. Наконец, подставляя этот резуль­ тат в (2.96), покажем, что при нагрузках ST закон течения можно записать в виде

этому, так как S по определению есть статически допустимый множитель, то он будет наибольшим из таких множителей, что и требовалось доказать.

Второй принцип относится к кинематически допустимому полю скоростей деформаций. Пусть v* есть любое поле, удо­

s

поле V* повсюду является пластическим, то можно связать

Очевидно, что комбинирование этих двух теорем позволяет получить верхнюю и нижнюю границы для коэффициента запаса:

(13.8)

В этом доказательстве, так же как при доказательстве всех принципов, рассмотренных в данной главе, мы молчаливо предполагали, что должны быть удовлетворены требования непрерывности. В действительности теоремы справедливы и при значительно более слабых требованиях. Решающим в каждом доказательстве было приложение принципа вир­ туальной работы, поэтому любое предполагаемое разрывное поле напряжений или скоростей должно быть проверено, исходя из этого принципа. Например, когда непрерывны по­ верхностные усилия на некоторой поверхности, могут претер­ певать разрыв не только производные напряжений, но даже сами напряжения. Требования неразрывности в отношении перемещений и скоростей деформаций также могут быть ослаблены, если учитывать любое конечное значение энер­ гии, производимое при таком разрыве. Дальнейшие иссле­ дования разрывных полей в идеально-пластическом теле можно найти в [13.9, 13.10, 13.11, 13.12].