Дж. Н. ГУДЬЕР
Ф.Г. ХОДЖ
Уп р у г о с т ь
и
пластичность
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО Н. А. Ф О Р С М А Н
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Г. С. Ш А П И Р О
М о с к в а
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 |
9 |
6 |
0 |
Surveys In applied mathematics
Elasticity and plasticity
THE MATHEMATICAL THEORY OF ELASTICITY
J. N. G О О D I E R
Professor of Engineering Mechanics
Stanford University
THE MATHEMATICAL THEORY OF PLASTICITY
P. G. H O D G E JR.
Professor of Mechanics
Illinois Institute of Technology
New York • John Wiley and Sons, Inc.
London • Chapman and Hall, Limited
1 9 5 8
В книге дается обзор новейших результатов по тео рии упругости и теории пластичности. Существенное место занимает в ней изложение результатов, получен ных советскими учеными. Книга позволяет быстро войти в круг идей современной теории упругости и тео рии пластичности и знакомит с литературой по этим важным областям. Снабжена обширным списком лите ратуры. Будет полезна научным работникам, аспиран там и студентам-механикам, а также широкому кругу инженеров, желающих ознакомиться с современным состоянием теории упругости и теории пластичности.
Редакция литературы по математическим наукам
Предлагаемая книга — первая в издаваемой Исследова тельским бюро Военно-морского ведомства США (Office of Naval Research) совместно с Реферативным журналом по прикладной механике (Applied Mechanics Reviews) серии «Обзоры по прикладной математике».
В предисловии, открывающем серию, руководитель Отдела математических наук Военно-морского ведомства Ф. Вейль указывает, что цель этих обзоров — суммировать достижения в соответствующих дисциплинах так, чтобы они стали до ступными не только узким специалистам, но и математически подготовленным читателям, работающим в смежных обла стях науки. Ф. Вейль подчеркивает, что «математики никогда не верили в миф (ныне вообще вдребезги разбитый), со гласно которому русская наука лишь следует за западной, притом на почтительном расстоянии; математики были_ осве домлены о том, что исследования в их области энергично развивались в коммунистических странах, и они были зна комы с непрерывным потоком получаемых там важных результатов». Если иметь в виду развитие теории упругости в СССР, то это замечание Вейля можно отнести не только к послевоенному, но и к довоенному и даже к дореволюцион ному периодам; ряд выдающихся результатов был у нас по лучен до войны и в области теории пластичности. Естест венно, что одной из главных задач серии является ознаком ление западных читателей с достижениями, полученными в Советском Союзе, а также в странах народной демократии.
Теория упругости, основы которой были заложены еще в прошлом веке, представляет собой вполне сложившуюся науку. Теория пластичности является значительно более мо лодой дисциплиной, находящейся в стадии становления и особенно бурно развивающейся за последние два десяти летия. Этим в известной мере объясняется различие
в построении обзоров по теории упругости и теории пластич ности в данной книге.
Обзор по математической теории упругости, составленный Дж. Гудьером, касается малоизвестных в англо-американ ских странах достижений, полученных за последние 10— 20 лет в отдельных разделах этой дисциплины: в плоской и трехмерной задачах, в анизотропной упругости -и задаче о температурных напряжениях, в контактных задачах, в тео рии колебаний и теории распространения волн.
Признавая советские исследования ведущими, автор уде ляет им главное внимание. В области плоской задачи совет ские работы определяются как «важнейшее достижение века» по этому разделу и излагаются весьма подробно. Много внимания посвящено изложению результатов, полученных
вСССР по контактным задачам, по анизотропной упругости
ипо концентрации напряжений вблизи отверстий. Помимо ряда книг, в обзоре упоминается около пятидесяти других публикаций на русском языке. К сожалению, в обзоре не
нашли отражения советские работы, выполненные после 1954 г.
Для наших читателей, располагающих обзорами советских работ по теории упругости, помещенными в сборниках «Ме ханика в СССР за 30 лет» (ОНТИ, 1950) и «Строительная механика в СССР за 40 лет» (Стройиздат, 1958), основной интерес представит та часть обзора Гудьера, которая посвя щена малоизвестным у нас работам американских, англий ских и японских упругистов.
Совсем иначе построен обзор Ф. Ходжа по математиче ской теории пластичности. Здесь в главах 1—4 дан очерк развития (начиная с 1951 г.) основных идей в построении теорий идеально-пластических и упрочняющихся тел. Особое внимание уделяется кусочно-линейным теориям пластичности
иминимальным принципам, в развитии которых большие за слуги принадлежат автору обзора. Приложения, выделенные в главы 5 и 6, носят чисто иллюстративный характер. Обзор
иобширная библиография дают достаточно полное пред ставление о работах англо-американских ученых. Что ка сается помещенного в гл. 7 обзора советских работ и иссле дований в странах народной демократии, то он едва ли отражает современное состояние дела. Этот обзор разделен на две части; в первой части, заимствованной из одного не опубликованного отчета В. Прагера, рассмотрены работы
1936—1949 гг., |
а во второй части — работы |
1949—1955 гг. |
Хотя в обзор |
включено большое число работ, |
однако неко- |
торые из них имеют второстепенное значение. Вместе с тем, вне поля зрения оказывается ряд важных публикаций, хо рошо известных нашим читателям. Обращает на себя внима ние высокая оценка, даваемая успешному применению новейших математических достижений советской школой теории пластичности.
Английский оригинал этой книги вышел в свет в 1958 г., а библиография к ней доведена до 1955—1956 гг. С более современным обзорным материалом наши читатели смогут оз накомиться по намеченным к опубликованию Трудам съезда
по |
теоретической и прикладной механике (происходившего |
27 |
января — 3 февраля этого года в Москве), куда будут |
включены прочитанные на съезде обзорные доклады.
Февраль I960 ?.
Г. С. Шапиро
Математическая
теория
упругости
Дж. Н. ГУДЬЕР
§ 1. Введение. Тема и цель обзора
Исследователь, желающий получить полную картину со временного состояния теории упругости, не может этого сде лать, пользуясь лишь одной книгой, опубликованной на любом языке. Это было почти возможно в 1927 г., когда вышло в свет последнее издание руководства Л ява1). Трак товка «Математической теории упругости», данная Лявом, шире нашей, так как он включает в эту теорию также и тео рию пластинок и оболочек. Исчерпывающее представление о предмете исследователь может получить, лишь ознакомив шись как с рядом книг, опубликованных за последние пять лет, так и с более ранними изданиями. Это даст ему возможность ориентироваться в потоке непрерывно публикующихся иссле довательских работ.
Приведем краткий перечень новых книг, называя их в по
рядке, |
обратном |
хронологическому: |
G r e e n А. |
Е., |
Zer- |
|||
n a |
W., |
Theoretical |
elasticity, |
1954; Г а л и н Л. А., |
Контакт |
|||
ные |
задачи |
теории |
упругости, |
ГТТИ, |
1953; Му с х е л и ш в и - |
|||
л и Н. И., |
Некоторые основные задачи математической |
тео |
||||||
рии упругости [третье русское издание 1949 г. переведено на
английский язык Радоком ( Ra dok |
I. |
R. M.) в |
1953 г., чет |
вертое русское издание появилось |
в |
1954 г.]; |
М у с х е л и - |
ш в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения (второе русское издание 1946 г. переведено на английский язык Ра
доком |
в 1953 г.); |
Са в и н |
Г. Н., Концентрация напряжений |
|
вокруг |
отверстий, |
ГТТИ, |
1951; Л е х н и ц к и й С. Г., |
Теория |
упругости анизотропных тел, ГТТИ, 1950. |
причем |
|||
Преобладание |
русских |
названий поразительно, |
||
все эти книги почти полностью базируются на последних рус ских исследованиях2). Около 250 русских работ, отмеченных,
•) |
L o v e A., Mathematical |
theory of |
elasticity, 1927; русский перевод: |
||
Л я в |
А., Математическая теория упругости, ОНТИ, |
1935. — Прим. ред. |
|||
2) |
Многие разделы второго |
издания |
книги |
Сокольникова (S о к о 1n i- |
|
к о f f, |
Mathematical theory of |
elasticity, |
New |
York, |
1956) построены на |
той же основе и содержат многочисленные ссылки |
на русские книги ‘ и |
||||
статьи. |
|
|
|
|
|
начиная с 1940 г., в реферативных журналах Mathematical Reviews и Applied Mechanics Reviews, нашли отражение в данном обзоре, причем с большинством из них (в том числе со всеми перечисленными выше, а также некоторыми дру гими книгами) удалось ознакомиться непосредственно.
Мы не предполагаем дать исчерпывающего представле ния о всех разделах математической теории упругости. Этому препятствуют небольшой размер данной книги, ограничен ность времени и недостаточная компетентность ее автора. Главная цель обзора — привлечь внимание к наиболее важ ным последним достижениям, мало известным тем читате лям, для которых английский язык является родным. Все хо рошо известные или легко доступные в этом смысле резуль таты либо не упоминаются вовсе, либо затрагиваются лишь кратко и в самых общих чертах. В библиографию включены только те работы, которые рассматриваются или цитируются
в обзоре.
§2. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния в изотропной среде
Главные достижения в развитии этого раздела теории упругости в двадцатом веке содержатся в работах Н. И. Мусхелишвили и его многочисленных последователей. Читатели, владеющие английским языком, смогли оценить важность но вых методов и результатов и ознакомиться с перспективами их развития около 15 лет назад по книге Сокольникова. Эти методы относятся к задачам с заданными граничными си лами (первая основная задача) или заданными граничными смещениями (вторая основная задача). В более поздних ра ботах рассмотрена задача со смешанными краевыми усло виями, когда задаются условия, относящиеся как к силам, так и к смещениям, например силы задаются на одной части границы, а смещения — на другой (третья основная задача). Со всеми упомянутыми методами можно ознакомиться по книге Н. И. Мусхелишвили [1], английский перевод которой был сделан Радоком в 1953 г.
Пока не были развиты новые методы решения третьей за дачи, методы Н. И. Мусхелишвили широко применялись (особенно в СССР) для решения первой и второй основных задач. Большая часть таких решений лишь упоминается в книге Мусхелишвили, которая посвящена методу и общим формам решения, а не детальному описанию приложений. Ее ценным дополнением является книга Г Н. Савина [1], к со
жалению, она не переведена на английский язык1). Савин приводит полные решения и много подробных результатов для разнообразных задач о концентрации напряжений у от верстий, причем некоторые из них в недавнее время появи лись независимо и в нерусских статьях. Савин не ограничи вается, однако, рассмотрением плоских задач для однород ной изотропной среды, которым посвящена монография Мусхелишвили; он уделяет много внимания задаче о концен трации напряжений в анизотропной среде, а также близкой к ней задаче об изгибе тонкой пластинки, изотропной и (ко ротко) анизотропной. Библиография в работе Савина из 135 названий содержит в основном ссылки на русские ра боты, но в то же время довольно полно представлена и соот ветствующая нерусская литература, на которой основаны не которые разделы его книги.
Основой для изотропных задач является ныне хорошо из вестное колосовское представление напряжений (ох, оу, хху)
и смещений (и, v) |
с помощью двух комплексных потенциалов |
||||||
Ф(г), |
^ 0z): |
|
|
|
|
|
|
|
°.< + оу = |
2 [ср'0г) + ср'0г)]. z = x + i y , |
z = x — iy, |
(1) |
|||
|
|
ay— °ж + |
2г"_гУ— 2 \zy"(z) + Y(z)\, |
(2) |
|||
|
|
2|J. (и + |
iv) = |
*<p(z) — z<?'(z) —t(z), |
(3) |
||
где |
jjt— модуль |
сдвига, |
v — коэффициент |
Пуассона, |
и = |
||
= 3 — 4v для |
плоской |
деформации, к = (3 — v) / (1 + v) |
для |
||||
плоского напряженного состояния. Эти формулы для компо нент напряжений в декартовых координатах легко привести к компонентам в криволинейных координатах g, т], которые получаются при конформном отображении z=co(g), g = £+nr]. Гакое преобразование обычно переводит физическую область в плоскости z в единичный круг g-плоскости математических операций. В книге Мусхелишвили исследован характер (внутри отверстия и вне его) неголоморфных частей комп лексных потенциалов <p(z) и ф(г), соответствующих, напри мер, результирующей сил, действующих на контуре отвер стия, или дислокационному разрыву при разрезе. Остается определить голоморфные части. Мусхелишвили показал, что их можно найти из краевых условий путем использования,
]) После того как это было написано, Нейбером был опубликован не мецкий перевод: S a w in G. N., Spannungserhohung am Rande von Lochem, Berlin, 1956.
правда не непосредственного, известной интегральной фор мулы Коши для аналитических функций. Необходимые для этой цели следствия из формулы Коши получены самим Мусхелишвили и приведены вместе с доказательствами в его книге [1].
Г. Н. Савин [1] привел детальные исследования (в боль шинстве случаев с таблицами, кривыми и графиками) широ кого круга конкретных задач о концентрации напряжений у
отверстий1). Отверстия |
имеют форму |
четырех типов: (1) |
|
прямоугольника с закругленными углами, |
(2) треугольника |
||
с закругленными углами, |
(3) эллипса и |
(4) |
круга. Отверстия |
снабжены или не снабжены усилением. Предполагается, что отверстия вызывают возмущения либо в однородных полях нормальных или касательных напряжений, либо в простей ших полях (изгиб, изгиб консоли).
Фактические формы отверстий типа (1) и (2), для кото рых проведены подробные выкладки, получаются в резуль тате разложения в ряд интеграла Шварца—Кристоффеля для прямоугольника и треугольника. Например, для квад рата
При сохранении первых двух, трех и четырех членов по лучаем три формы отверстия, соответственно все более близ кие к квадрату. Для задач об оваловидных отверстиях
|
|
(5) |
|
|
(6) |
где с, пг и п— постоянные; |
эти задачи |
были исследованы |
(с числовыми выкладками) |
в отдельности |
Гринспеном, Мор- |
ковиным и Грином2). Разумеется, нет надобности выбирать коэффициенты отображающей функции, исходя из разложе ния в ряд интеграла Шварца—Кристоффеля, как это делает Г Н. Савин. Для техники представляют интерес не «идеаль ные» отверстия с идеально остроконечными углами, которым
обычно соответствует бесконечная |
концентрация напряже |
|||
]) Е. Ф. Бурмистров [1] дал обзор некоторых из решений Г. Н. Са |
||||
вина, исправив при этом выкладки. |
на стр. 212 книги Тимошенко |
|||
2) См., |
например, ссылки, |
приведенные |
||
и Гудьера |
( T i m o s h e n k o |
and G о о d i е г, |
Theory of elasticity, New |
|
York, 1951). |
См. также Грин |
и Церна [1], |
стр. |
296. |
ний, а отверстия с закругленными краями простейшего очер тания, для которых можно найти действительное распреде ление напряжений. Вопрос о выборе формы отверстия при проведении выкладок, подобных произведенным Г. Н. Сави ным, является одним из наиболее важных, и мы к нему вер немся в дальнейшем.
В книге Савина кратко излагается приближенное решение весьма интересной технической задачи, которая, насколько это известно автору данного обзора, рассматривалась только в СССР. Для кругового отверстия в тонкой цилиндрической оболочке влияние кривизны оболочки характеризуется сле дующими коэффициентами концентрации напряжений (для
продольных напряжений): |
|
|
|
Л, = |
3 ( l + 0 ,43 4 |
) - |
(7) |
Л, = |
2,5 (l + 2,3 4 |
) |
(8) |
соответственно для полей продольного растяжения и совмест ного растяжения в продольном и окружном направлениях (в случае находящегося под давлением цилиндра с закры тыми концами). В этой формуле р0— радиус отверстая, а а и h — соответственно радиус и толщина оболочки. Решение принадлежит А. И. Лурье [1, 2].
Савин приводит решения для полосы, ослабленной цен тральным круговым отверстием, и для полубесконечной пла стинки с круговым отверстием, а также с двумя пересекаю щимися или непересекающимися отверстиями. Эти решения, полученные с помощью метода Фурье для действительных переменных, заимствованы в основном из работ Гаулэнда, Миндлина и Лина1). Недавно к полученным результатам этого рода добавилось решение, найденное Исида [1] для подвергнутой изгибу и кручению полосы с несимметрично расположенным круговым отверстием, причем решение было подтверждено при проверке методом фотоупругости. Ссылки на работы периода 1940—1950 гг. можно найти в более ран нем обзоре2).
В статье Лина [1] при рассмотрении полосы, ослабленной на каждом из двух краев полукруглыми вырезами, строится
>) См., например, библиографию в цитированной книге Тимошенко и Гудьера, стр. 211.
2) G o o d i e r , Applied Mechanics Reviews, 4, 1951, p. 330.
последовательность функций напряжений, каждый член ко торой является бесконечным рядом (типа рядов Фурье). На ложение таких членов или их комбинаций при удовлетворе нии условий сперва на одной, а затем на другой границе представляет собой, разумеется, хорошо известный прием. Он применялся во многих работах, в которых рассматрива лись комбинации круговых и прямолинейных границ (см., например, работу Гаулэнда) '), но Лин улучшил эти после довательности (назвав это улучшение «повышением по рядка»). Нижние гармоники Фурье для каждого члена последовательности удаляются путем вычитания предше ствующих членов, и каждый член новой последовательности начинается с гармоники Фурье более высокого порядка, чем у предыдущего члена.
Задачи с многосвязными областями, вообще говоря, не поддаются решению методами комплексного переменного, развитыми Н. И. Мусхелишвили, так как формулы для кон формного отображения таких областей на внешнюю или внутреннюю область единичного круга остаются сложными. Мусхелишвили [1] упоминает о приведении решения к инте гральным уравнениям Фредгольма, которое было выполнено Шерманом и Михлиным. В более поздних работах Шерман [1—3] путем трудоемкого анализа с помощью комплексного переменного исследовал задачу о тяжелой вертикальной пла стинке (применительно к плоскому напряженному состоя нию) с двумя круговыми или с двумя эллиптическими от верстиями. Предполагается наличие свободной от напряже ний верхней горизонтальной границы пластинки, однако в действительности задача относится к бесконечной пла стинке, так как отверстия столь малы и столь удалены от края, что не испытывают влияния края. Для случая круго вого отверстия, по-видимому, удобно применить общую форму решения с разложением в ряды Фурье в биполярных координатах, предложенную Джеффри в 1921 г. и исполь зованную с тех пор для многих конкретных задач. В общем нам кажется, что задачи с многосвязными областями будут решаться с помощью теории функций комплексного перемен ного, уже применяемой в двумерной теории.
Вопрос о гравитационных напряжениях, вызываемых на личием некруглых отверстий или туннелей, в книге Савина)*
*) См. библиографию на стр. 83 цитированной выше книги Тимошенко и Гудьера.
не рассматривается1). Ю [1] получил выражения для комп лексных потенциалов и напряжений вблизи полостей для случая оваловидных отверстий, отвечающих преобразованию
(5). Кроме того, Ю использовал комплексное представление Мусхелишвили для решения задач о тяжелом круговом коль це, опертом в точке, и тяжелом диске, уравновешенном сосре доточенными силами. Савин включил в свою книгу задачу о кольце под действием диаметрально противоположных сил («задача об испытательном кольце») и привел некоторые ре зультаты русских авторов.
§ 3. Отверстия и вырезы заданных очертаний. Приближенное конформное отображение
Концентрация напряжений у оваловидных отверстий, ко торым соответствуют преобразования (4) —(6), хорошо изу чена, потому что эти преобразования удобны с математиче ской точки зрения и определяют такие очертания отверстий, которые приближаются по форме к прямоугольникам, ром бам и треугольникам с закругленными углами. Практиче ское значение подобных исследований зависит от того, в ка кой мере надежным будет их использование для реальных отверстий, имеющих обычно прямолинейные стороны с за кругленными по дугам окружности углами. Коэффициенты т и п , определяющие форму отверстий в преобразовании (5), всегда можно подобрать таким образом, что получится требуемое для .прямоугольника отношение сторон и требуе мое отношение минимального радиуса кривизны в углах к стороне, но при этом закругления не будут иметь форму дуг окружности, а стороны не будут идеально прямолиней ными. В общем можно считать, что использование математи чески удобных точных конформных отображений приводит к такому развитию двумерной теории, которое напоминает развитие теории кручения по Сен-Венану, позволившей на копить большое количество результатов для математически простых, но практически неинтересных форм сечений.
Значительно больший практический интерес представил бы метод, позволяющий иметь дело непосредственно с задан ной истинной формой отверстия. Такой метод предложен Кикукава [1—3], и его возможности показаны на ряде весьма2*
!) Это утверждение не вполне точно. Для оваловидных отверстий, со ответствующих преобразованию (6), такие задачи рассматривались в статье Г. С. Шапиро, Тр. Ленингр. политехи, ин-та им..М. И. Калинина
(1941), цитированной в книге Г. Н. Савина. — Прим. ред.
2 Зак. 1254.
интересных примеров концентрации напряжений в растяну той пластинке а) с отверстием ромбической формы при кру говых закруглениях в углах, б) с двусторонними вырезами,, причем каждый вырез имеет параллельные стороны, соеди ненные полукругом в форме U, в) с галтелями в форме чет верти окружности при изменении ширины пластинки от ко нечной до бесконечно большой. Результаты для случая «б» хорошо согласуются с результатами Нейбера для двусторон них гиперболических вырезов. Результаты для случая «а», если считать их справедливыми, показывают, что оваловид ное приближение к истинной форме отверстия, определяемое преобразованием (5), не дает правильных результатов. Ав тору настоящего обзора не известны иные теоретические ре шения случая «в»12), имеются лишь результаты, найденные методом фотоупругости.
Метод Кикукава исходит из начального отображения z=.z0(£) в простой определенной форме, например из отоб ражения (5) для случая «а». Это сразу позволяет прибли зить форму отверстия достаточно точно к заданной форме. Метод Теодорсена и Гаррика, предназначенный для аэроди намических профилей, оказывается непригодным2).
Начальное отображение z = z0(£) дает кривую С0 (т. е. оваловидную кривую) в плоскости z, несколько отличающуюся от заданной кривой С (т. е. от отверстия для случая «а»)„
как показано на фиг. 1, б. Точка Q0 на кривой |
С0 соответ |
||||
ствует |
точке |
£= е1' |
на единичной |
окружности |
плоскости £ |
(фиг. |
1, а ); |
точка |
Q — неизвестная, |
но близкая |
к Q0 точка |
на кривой С; эта точка соответствует искомой, но, разу
меется, |
неизвестной |
отображающей функции |
z(£). Имеем |
||||
|
|
|
г (Q — г 0(С) = А г (С); |
|
|
|
|
вектору |
QoQ |
соответствует |
комплексное |
число |
Дz(£), |
где |
|
£ = еь . Если |
Д/г(т) |
и Д^(т) |
соответствуют |
компонентам |
век |
||
тора QoQ вдоль нормали и касательной к кривой С0 в точ ке Q0, то (согласно фиг. 1,в)
|
|
|
Дя(т) -4- i Дt(z) = Lz (elx) • |
(9) |
*) |
Весьма |
грубое решение подобной задачи |
было получено Вейнелем^ |
|
( W e i n e l |
А.), |
Ргос. Second U. S. Nat. Congr. |
Appl. Mech. (1938). Не |
|
давно |
это |
решение было улучшено Хетеньи ( He t e n y ) , /. Appl. Mech.r |
||
3(1956). — Прим. ред.
2)Обзор численных методов конформного отображения дан Биркгофом, Янгом и Царантонелло в Ргос. Symp. Appl. Math., 4, 1953, 117.
где 7 — угол между нормалью и осью х, определяемой соот ношением
|
Кга| |
при С= |
е/т, |
( 10) |
|
|
|
|
|
|
|
Из (9) и (10) получим |
|
|
|
|
|
Д*(С) |
&n(t) + /A*(t) |
при |
t. = eh |
(И) |
|
С-^(У |
К(С)| |
|
|||
|
|
|
|
||
Область, ограниченную односвязной кривой С в плоско сти z, можно отобразить на внутренность единичной окруж-
6
Фиг. 1. Приближенное конформное отображение по методу Кикукава.
ности Т в плоскости £ с помощью преобразования z=z(£), причем z(£) голоморфна в Г и г '( О ^ 0 в Г. Отображение будет однозначным при условиях нормализации z(0)= a и
argz'(O) = 0 . |
Функции |
z(£) |
и |
z0(£) |
выбираются |
в соответ |
|||||||
ствии с этими условиями. |
|
|
|
|
|
(11) |
будет |
голоморф |
|||||
Функция в левой части уравнения |
|||||||||||||
ной, так как 1) Дz(£) |
голоморфна |
в |
области Т и z(0) = 0 |
||||||||||
вследствие |
условия |
нормализации; |
2) |
Zo(£) голоморфна |
|||||||||
в области Т. |
|
разложением |
в |
ряд Маклорена, имеем |
|||||||||
Тогда, |
пользуясь |
||||||||||||
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
||
С-*о(с) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
Дтр=-Дот/ -+- i Дот" |
|
(р = |
1, 2, |
...), |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
но Дото есть действительная величина, потому что Дг'(0) |
и |
||||||||||||
z'0(0) — действительные величины. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из (11) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. Д,п ^ |
. = |
Дот0+ |
Дот.' COS х+ |
Am' cos 2х—(— |
|
|
|||||||
|го(^‘т)| |
|
|
|
|
— Дот" sin х — Дота sin 2т — |
|
|||||||
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2тс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2" Дот0= |
J |
- |
Ап (х) |
-d t, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
К |
( * ,х) | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ AmP = f - |
Ап (х) |
- cos рх dx, |
|
|
|
||||||
|
|
14 (e‘z) | |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2к |
|
Д л(х) |
psin pxdx. |
|
|
||||
|
|
71Дт Р = |
1 |
- |
|
|
|||||||
Если теперь Ап(т) |
0 |
\ * o |
W |
|
|
|
|
|
|
||||
известно, то по формулам |
(13) можно |
||||||||||||
определить коэффициенты ряда |
(12). В действительности мы |
||||||||||||
имеем только две кривые |
С0 и С и не знаем точки Q, кото |
||||||||||||
рая при искомом отображении соответствовала |
бы е/т |
на |
|||||||||||
единичной |
окружности |
|С| = 1. |
Но |
Ап(т), |
будучи |
проекцией |
|||||||
QoQ на нормаль к кривой С0 в точке Q0, почти равно расстоя нию 5п(т) по нормали между кривыми Со и С. Это расстоя ние известно, и оно используется вместо величины Дп(т) для приближенного вычисления коэффициентов (13) ряда (12). Комплексные потенциалы (1)—(3) находятся простым раз ложением в ряды.
Кикукава обнаружил, что для случая «а» использование двух членов ряда (12) дает существенное отличие результата
от напряжений, вычисленных для начального оваловидного отверстия, третий же член не вносит новых заметных измене ний. Если выводы Кикукава подтвердятся, то его метод зна чительно увеличит эффективность двумерной теории, а также теории изгиба пластинок. Эти бигармонические задачи зна чительно менее удобно решать посредством численных мето дов (например, с помощью метода релаксации), чем гармо нические задачи кручения или изгиба.
§ 4. Усиление отверстий
Искусственность форм отверстий, для которых удается получить строгие математические решения, остается не ме нее неприятным моментом и при исследовании отверстий, усиленных кольцами. Круговые отверстия и кольца не пред ставляют затруднения и хорошо изучены. Библиографию можно найти в недавней работе Геллера [1] и в более раннем обзоре автора (см. примечание на стр 15). В некоторых рус ских работах рассматривались задачи о наборе спаянных круговых колец, вставленных в отверстия (отверстие с впаян ным внутрь него одним кольцом, затем вторым, третьим и т. д.), причем кольца предполагались выполненными из раз личных материалов. На бесконечности заданы обычные поля растяжения, изгиба или сдвига. Как кольцо, так и пластинка исследуются с помощью теории плоского напряженного со стояния. Библиография и результаты для одного кольца, вы полненного из материала, отличного от материала основной пластинки (или, что эквивалентно при предпосылках пло ского напряженного состояния, для кольца иной толщины), приводятся в гл. V монографии Савина [1]. Результаты по лучены для частных случаев, они не охватывают весь воз можный диапазон условий и носят иллюстративный харак тер. Независимо развивались и другие исследования, в боль шинстве которых кольцо рассматривалось как кривой брус (усиление в виде «реборды»). Анализируя такой тип под крепленного кругового центрально расположенного отвер стия в пластинке, работающей на изгиб и сдвиг, Геллер [1J в соответствии с предложением Рейсснера и Мордухова [1] обнаружил, что усиливающее кольцо работает на растяже ние или сжатие, а не на изгиб.
Если отверстие некруговое и если как кольцо, так и пла стинка рассматриваются с помощью теории плоского на пряженного состояния, то в отношении формы кольца сразу возникают затруднения математического характера. Форма
кольца определяется внутренней граничной кривой, свобод ной от напряжений, и внешней граничной кривой, по которой кольцо прикрепляется к пластинке. Анализ оказывается вы полнимым только в том случае, когда обе эти кривые при надлежат одному и тому же семейству, т. е. когда они преобразуются в концентрические окружности на плоско сти £. Для простейшего случая—эллиптического отверстия — две граничные кривые становятся софокусными эллипсами. Для оваловидных форм существуют аналогичные ограничения.
Пример на фиг. 2, воспроизводящий одну из диаграмм Савина, поразителен в том отношении, что наименьшую тол щину (в плоскости действия сил) кольцо имеет в углах, где концентрация напряжений, вызванная наличием отверстия, •является максимальной — сомнительная особенность с прак тической точки зрения.
Задачи этого рода разрабатывались Шереметьевым [1] для преобразования [6]. Это отображение рассматривалось в книге Мусхелишвили [1], а также в книге Грина и Церна fl] на стр. 296, независимо от них Веллсом [1] для эллиптиче ского случая, а также Харвеем [1] в общем виде для колец малой толщины (в плоскости действия сил) и, в частности, для оваловидного отверстия, которому соответствует отоб ражение (5). Савин описывает исследования Шереметьева, приводя подробные результаты для конкретных иллюстра тивных примеров, относящихся к упругим кольцам различ ной формы, причем делается сопоставление с результатами для абсолютно жесткого кольца и для неподкрепленного от верстия. Примером служит фиг. 2. На фиг. 3 показаны раз личные исследованные Савиным [1] формы усилений и значе ния максимальных напряжений для каждого случая.
Результаты для абсолютно жесткого кольца (жесткое включение) зависят, конечно, только от формы внешней гра ничной кривой кольца, но не зависят от внутренней границы. Представляется весьма желательной разработка этих задач методом Кикукава (см. выше, § 3), особенно для случаев жестких включений прямоугольной, треугольной, ромбиче ской и щелевидной форм, образованных прямыми линиями и дугами окружностей. Трактовка усиления как тонкого кри вого бруса освобождает анализ от вышеупомянутых трудно стей, связанных с рассмотрением кольца, а также от огра ничений теории плоского напряженного состояния, требую щих, чтобы поперечное сечение усиления имело вид узкого прямоугольника. Такая трактовка дает существенное упро щение, так как для кольца используются элементарные
Фиг. 3. Напряжения на контуре отверстий |
и |
жестких включений различных форм. Значения |
в точках |
А, |
В, С и т. д. |
/ —тангенциальные напряжения CTQ для отверстия (без усиливающего кольца); I I —то же для жесткого кольца; / / / —нор мальные напряжения Ор для жесткого кольца; IV — касательные напряжения TpQ для жесткого кольца.
(Фиг. 132 из книги Савина [1].)
пренебрегать не только уточнениями, но и изгибной жест костью. Подробно произведен аналогичный теоретический ана лиз для анизотропной пластинки, но здесь он ограничивается круговым усиленным отверстием. Поле напряжений на бес конечности всюду принято однородным. Шереметьев [3] ис следовал также задачу об изгибе пластинок. В независимо проведенном на той же основе исследовании усиленных от верстий Радок [1] привел конкретный вид общих уравнений (для плоского напряженного состояния и изотропного ма териала) для случая, когда не учитываются изгибная жест кость и другие уточнения. Его результаты также ограничи ваются круговым отверстием и кольцом постоянного сечения. Были найдены граничные условия, налагаемые кольцом на комплексные потенциалы пластинки; эти условия использо вались для определения коэффициентов при разложении по тенциалов в ряды Лорана по отрицательным степеням z. Метод Кикукава, по-видимому, позволит получить с по мощью этой теории результаты для практически интересных некруговых форм отверстий.
Основной целью проектирования конструкций является, конечно,'устранение концентрации напряжений около уси ленных отверстий; вопрос же об определении концентрации напряжений, если она имеется, является второстепенным. В статье Мэнсфилда [1] ставится вопрос о возможности пол ного исключения концентрации напряжений посредством вве дения гибкого кольца. Показано, что если невозмущенное поле напряжений представляется функцией напряжений Эри
<p(x, |
У) у то решение легко |
получается для отверстий формы |
ф(лг, |
у) + ах+ Ьу+ с= 0. Для |
однородного поля такими «ней |
тральными отверстиями» будут отверстия конического сече ния. В общем случае площади поперечных сечений кольца не будут одинаковыми и в некоторых случаях оказываются от рицательными. На примере показано, каким образом этого можно избежать. Необходимо иметь два усиливающих стержня, соединенных под углом. Любое отклонение от идеальных условий в этом случае может вызвать значитель ную местную концентрацию напряжений.
Если усиливающий стержень не является замкнутым кольцом, то может возникнуть необходимость учета сил взаимодействия между стержнем и пластинкой; поскольку мы представляем себе стержень в виде линии, эти силы бу дут сосредоточенными1). Это было показано и эксперимен-
0 То есть сосредоточенными вдоль линии. — Прим. ред.