книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

р= 1 о

Сучетом условий (2.79) получаем функционал

После преобразований получим максимальное значение функцио­ нала

61

Полученные результаты (законы распределения компонент вектора решений выхода и их максимально возможные значения) позволяют решить ряд практически важных задач, в частности задачу о вероятности нахождения масс при колебаниях системы в заданных пределах при наихудших внешних случайных воэдей* ствиях на систему — задачу о вероятности пробоя системы амор­ тизации.

На рис. 2.12, а показана техническая система старта летатель­ ного аппарата, которая описывается уравнениями, аналогичными рассмотренным выше. При запуске двигателя тяга R изменяется во времени, как это схематично показано на рис. 2.12, б. В пре­ деле, пренебрегая интервалом времени (0, /j), можно считать, что сила тяги практически мгновенно достигает своего номинального значения R 0 (это наихудший случай воздействия на систему), т. е. функцию R можно рассматривать как внезапно приложенную постоянную во времени силу. В реальных системах из-за техноло-

G2

гических погрешностей вектор силы тяги двигателя R не совпа­ дает по направлению с осевой линией летательного аппарата (отклонен на случайный угол е) и, кроме того, смещен на некото­ рое случайное расстояние е, что приводит к появлению случайных сил и момента Mi (см. рис. 2.12, а), соответственно равных

/ = Mi — Reli — Re.

Считая, что возникающие при движении аппарата по напра­ вляющей колебания являются малыми (малый угол <р), можно получить уравнение вида

Ф + (/) ф + а2 (0 ф = b j + Ь2М,

где М = Re.

Одной из задач динамики старта летательных аппаратов яв­ ляется определение начальных возмущений <р (tk) и ф (th), которые получает тело при сходе с направляющей. В более общем случае точка приложения силы R не лежит в плоскости чертежа, она случайна (рис. 2.13), поэтому и возникающие случайные векторы f i и Mi имеют произвольные направления, т. е. имеют отличные от нуля проекции на все оси xt, что приводит к колебаниям си­ стемы при старте как в плоскости чертежа, так и относительно этой плоскости. В упрощенном варианте система имеет две степени свободы. Рассматривая движение системы, можно получить два линейных уравнения относительно углов ф и v (угол v характери­ зует отклонение системы относительно плоскости чертежа) вида

Ф + яиф + ^iaV 4~ бцф 4" ^12v = CnfXl -|- C12/Xs <2цМХг -f- du Mx%\

v Я21Ф + awV ~h ^21ф Н~ Ь22у = C'nfxi + Сгг/кз ~h d%iMX2-f- d.22MXa.

В векторной форме

v -j- Av -j- Bv = Cf 4- DM ; v = ^ .

Проекции случайной силы / и случайного момента М удовлет­ воряют условиям

Время движения летательного аппарата до момента потери контакта с направляющей известно:

tK= {/ l2m/Ro,

где т — масса аппарата; 12— длина направляющей.

Полагая, что необходимая для решения задачи статистическая информация, о технологических эксцентриситетах и силе тяги

63

10. Случайные колебания систем при периоди­ чески повторяющихся случайных воздействиях

В предыдущих параграфах были рассмотрены случайные коле­ бания, возникающие при действии однократных случайных воз­ мущений (однократное импульсное нагружение и однократное нагружение постоянными во времени силами). Дальнейшим обоб­ щением этих задач является задача о колебаниях при действии периодически повторяющихся случайных возмущений (рис. 2.14). Ограничимся случаем, когда повторяющиеся воздействия имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии, т. е.

mft\ (9 = тш (9 = • • ■= tnfUx (9;

Возможны два случая: случайные возмущения fi-(t) зависимые и независимые. В первом случае считается, что известны взаимные корреляционные функции Kftfj на интервале (0, t\). Случайные

возмущения flk являются нестационарными, однако можно счи­ тать, что при достаточно длительном воздействии ft на механи­ ческую систему она выйдет на установившийся режим (в вероят­ ностном смысле) по аналогии с подобным детерминированным случаем. При детерминированном периодически повторяющемся воздействии система выходит на установившийся режим колеба­ ний, исследовать который можно, например, методом Дуффинга. Воспользуемся этим методом при периодически повторяющихся случайных силах.

Рассмотрим уравнения движения системы (например, см. рис. 2 .8), приведенной к системе уравнений первого порядка (2.34)

64

что приводит к следующему уравнению относительно неизвестного вектора z 0 (компонентами вектора z 0 являются смещения^масс и их скорости в момент времени, принятый за начало отсчета)

т

Воспользуемся выражением (2.91) для определения вероятно­ стных характеристик установившегося режима движения системы, понимая под установившимся, в вероятностном смысле, режим, при котором математические ожидания и дисперсии компонент вектора решения удовлетворяют условию периодичности, т. е.

mZ(ji (0) = mZQl (Т);

DZoi (0) = Я2о| (Т).

Из уравнения (2.91) получаем выражение, которое дает воз­ можность при известных математических ожиданиях компонент вектора / определить математические ожидания компонент век­

тора z 0

т

т 2о = [Е — К (Т)]~1 J К (Г, x ) B m f (т) dx.

о

Для определения дисперсий компонент вектора Z 0 запишем выражения (2.91) в скалярной форме

/I, Т lit 11

. ftd> = ЛЕ — К (Т) ]-i К (Т, х) В.

Дисперсии величин zot равны: при зависимых ft

til ТТ

P=1 k=l о 0

(2.92)

при независимых /г

л, Т Т

р= 1 о о

где kf f — автокорреляционные функции.

'р'Р

Взаимные корреляционные моменты компонент вектора z 0 условиям периодичности в общем случае не удовлетворяют, т. е.

Определив математические ожидания и дисперсии компонент вектора z 0, находим математические ожидания и дисперсии вектора z решения (2.90)

Для определения дисперсий преобразуем решение (2.90), пред­

Принимая, что компоненты гг вектора z имеют нормальное распределение в каждый момент времени, получим максимальные их значения

66

(О, Т) показан на рис. 2.15. Полученное решение (2.98) дает воз­ можность определить максимально возможные амплитудные зна­ чения компонент Zi = г*.

Когда на систему действует только одна случайная периоди­ ческая сила fk, соотношения (2.93), (2.94) и (2.96), (2.97) при­ нимают вид

случай, когда ft есть независимые пери­ одические функции типа показанных на рис. 2.16, с постоянными

3*

67

Из уравнений (2.91) и (2.92) с учетом законов изменения вероят­ ностных характеристик случайных возмущений (2.101) и (2.102) получаем

т го = { [ £ - * ( Т ) Г 11 К ( Т х т) В d x ^ m f ;

При действии одной возмущающей силы fh получаем

Математические ожидания компонент вектора решений равны

Дисперсии Zj получают из соотношений (2.99) и (2.100), если вынести Dfk из-под знака интеграла:

DH(f) = D ^ p , t, (0 < / « / , ) ;

11.Стационарные случайные колебания

Вп. 10 были рассмотрены нестационарные колебания линейной системы с п степенями свободы. Когда время входного процесса много больше времени переходного процесса, а действующие на

68

системы силы являются стационарными случайными функциями, колебания системы можно рассматривать как стационарные.

Уравнение (векторное) вынужденных колебаний линейной системы с п степенями свободы имеет вид

где М, В, С и Bi_ — матрицы с элементами, не зависящими от времени; / — век­

тор случайных возмущений, математические ожидания компонент которого равны нулю.

Вероятностные характеристики компонент вектора f считаются известными; в частности, известны их спектральные плотности Sfc (со). В более общем случае, когда компоненты f t (t) зависимы,

должны быть известны и взаимные спектральные плотности

Рассмотрим более подробно случайные возмущения fk (/)- Выяс­ ним в частности, при каких дополнительных условиях центриро­ ванную стационарную случайную функцию fk (t) можно предста­ вить в виде интеграла Фурьеоо

Корреляционная функция стационарной случайной функции должна зависеть от разности моментов времени, поэтому рассмо­ трим корреляционную функцию

ход к комплексно-сопряженным величинам.

Подынтегральное выражение в соотношении (2.105) будет зависеть от разности моментов времени, если выражение М (Ф*Ф| 1 удовлетворяет условию

М \Фк(со)ФДсо'Я = Slk (со') S(0)' - (О), где б (со) — дельта-функция.

В этом случае

69

Аналогично получаем выражения для взаимных корреляцион­ ных функций

ооо о

Из соотношений (2.107) следует, что в общем случае стационар­ ные случайные функции могут быть связаны нестационарно, так как их взаимная корреляционная функция зависит от двух мо­ ментов времени t и f , а не от разности. Но если

Подставив соотношения (2.104) и (2.110) в уравнение (2.103), получим

Из соотношения (2.111) получаем решение в скалярной форме

ОО

Подставив в соотношение (2.112) выражение для х0к (<»). получим

70