книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

то для определения неизвестного вектора и получаем уравнение

Уравнение (2.48) имеет отличное от нуля решение при условии,

Уравнение (2.49) дает возможность определить частоты коле­ баний системы pt. Зная частоты, находим соответствующие этим частотам векторы u t из алгебраических однородных уравнений (считая, что все частоты различны и отличны от нуля)

Из общей теории линейных алгебраических уравнений известно, что система (2.50) имеет решение, зависящее от произвольного множителя. Например, из систем уравнений (2.50) можно п — 1 компонент вектора u t выразить через первую компоненту я*,, т. е.

Первую компоненту uit вектора я г можно взять любой и, в част­

(2.54) равна нулю. Правую часть можно преобразовать к виду (учитывая, что М — М г)

51

которое наЗы&ается условием Ортогональности векторов ttj и а*.

Можно показать, что матрицы UTMU и UTCU [с учетом условия ортогональности (2.56) ] являются диагональными

1 Л М и = М 1 '\ UrCU = C<'l

Диагональные элементы матриц М (,) и С<'> соответственно равны

m ‘i 1] и%ту,

'2V1 2

—piZjUjimj.

Вскалярной форме из уравнения (2.58) получаем

Введенные новые неизвестные q-t называются главными коор­ динатами. Решение уравнения (2.59) при нулевых начальных ус­

ловиях имеет вид

t

52

Метод главных координат позволяет получить решение в ко­ нечном виде, что весьма удобно при исследовании влияния от­ дельных параметров системы на процесс в целом. Изложенный метод был применен к системе уравнений [или векторному урав­ нению (2.45) ], не содержащей сил сопротивления. При наличии сил сопротивления, пропорциональных скорости, уравнение движе­ ния системы (2.33) после замены х на Uq и умножения на транспо­ нированную матрицу Uт принимает вид

U'MUq + V TBUq -f U'CUq = IP В , f x.

Так как матрицы (JTM U и UTCU диагональные, то возможны два случая, когда матрица UTBU — В('> диагональна. Матрица В диагональна и ее элементы пропорциональны соответствующим диагональным элементам матрицы М, т. е.

Во втором случае элементы матрицы В пропорциональны эле­ ментам матрицы С

Если условия (2.62) и (2.63) не выполняются, то уравнения относительно qt оказываются .связанными и упрощения при ре­ шении этот метод не дает. Так как распределение сил трения является практически неизвестным, а известен только интеграль­ ный эффект действия сил трения, то можно принять любую гипо­ тезу о распределении сил трения, эффект действия которых экви­ валентен интегральному эффекту. Поэтому естественно предполо­

53

где (t), К {2) (t) и К ( t — т) — диагональные матрицы с элементами, соот­ ветственно равными

Матрица А имеет вид

#12 • ■■ aln

A —

# n l # n 2 • • • # n n

Определив <7г, находим компоненты вектора х [решения исход­ ного уравнения (2.33) ] в аналитической форме записи

/ ь гг

£= 1

Вматричной форме записи решение уравнения (2.34) может быть представлено в виде

Запись решения в форме (2.68) удобна, когда требуется полу­ чить вектор состояния системы (координаты и их первые произ­

54

роятностные характеристики / также от времени i не зависят, поэтому из выражений (2.71) и (2.72) получаем

При действии потока воздуха (см. рис. 2.8) можно считать, что силы f t пропорциональны, т. е.

f i = Pt/i (i = 1, • • •, п),

поэтому из соотношений (2.73) и (2.74) имеем

Lv= i/ = i

где pH— неслучайные множители, зависящие от формы тела (массы пц).

Аналогичные выражения получаем и для вероятностных ха­

рактеристик первых производных ick и xk. Полученные выраже­ ния для вероятностных характеристик компонент вектора реше­ ний дают возможность определить максимально возможные зна­

чения отклонений (Xi) и их первых производных (xlt x t) аналогично тому, как это было изложено в п. 8, где были рассмотрены слу­ чайные колебания при действии случайных импульсов. Считая, что законы распределения компонент вектора состояния системы x t и их первых производных являются нормальными (при нормаль­ ных законах распределения / ) , получим следующие выражения для максимально возможных значений решений

Рассмотрим теперь случай, когда направление внезапно при­ ложенной постоянной сил /('> случайно (силы / параллельны плоскости хгОх2(см. рис. 2.8, а). В этом случае силы / ( '' удовлетво­ ряют условиям

56

Уравнение движения системы для этого случая можно пред­ ставить в виде (вектор х имеет 2п компонент)

где обобщенные векторы имеют 2я компонент.

Решение уравнения (2.76), выраженное через главные коор­

Xn

Рассмотрим несколько частных задач, возникающих при рас­ четах систем амортизации объектов, воспринимающих воздействие внезапно приложенных постоянных во времени случайных сил. В ряде случаев требуется определить максимально возможные отклонения некоторой массы т} системы в направлении задан-

57

ного единичного вектора е (рис. 2.9), т. е. требуется определить максимум ска­ лярного произведения

Jj = (Xj-e) = max,

то из соотношений (2.78) и (2.79) получаем следующие формулы:

Рассмотрим частный случай, когда вектор е совпадает с од­

При дополнительных условиях (2.79) это приводит к следующему функционалу

Из соотношения (2.81) получаем уравнения для определения векторов fit, сообщающих максимальное значение функционалу jy для каждого фиксированного момента времени t

dJ1 = о, (Р = 1, . . . , пх)

или

58

Соотношения (2.79) и (2.82) дают возможность определить

Определив Яр, из соотношения (2.82) находим

t

(С(р))~ ‘ J K*(p/)/idx

"у/”(C<p)_1) J К* <р/)*1 dxj K*{p!\ d x

Подставив полученные выражения для векторов / р в соотно­ шение (2.80), получаем максимально возможное значение компо­ ненты смещения лг;1 для каждого момента времени

/г,

Условия (2.85) выполняются в том случае, если возникающие аэродинамические силы параллельны вектору скорости потока воздуха (когда сосредоточенные массы имеют форму тел вращения

относительно оси ха) или силы имеют одно направление, не сов­ падающее с направлением вектора потока скорости воздуха, что имеет место, если геометрические формы тел подобны. В этом случае проекции сил зависят от угла а (см. рис. 2.7). Если же гео­ метрические формы тел различны, то вектора аэродинамических сил fj, действующих на массы ту, имеют различные направления (рис. 2.10), определяемые углами |3Р или случайными углами ар

59

между проекцией вектора f Q на плоскость хх0хз и направлениям оси х х. При случайном напра­

влении потока воздуха (и слу­ чайной, в общем случае, скоро­ сти потока |ю|) векторы f j слу­

чайны как по модулю, так и по направлению (по отношению к оси хх), но считать эти пара­

метры статистически независимыми^нельзя, так как углы Рр не случайны. Полученные оконча­ тельные выражения | для макси­ мального значения хп анало­

гичны выражению (2.19), по­ этому при определении вероят­ ностных характеристик (Хд)тах

(при известном законе распределения модуля случайного век­ тора fx ) получаем

Ш(*Л)шах = C lim a x =

где тj и 5ft определяют так же, как в случае использования соотношения (2.19).

Зная закон распределения случайного смещения Хц, можно по правилу трех стандартов определить его возможное максималь* ное значение. '

В общем случае, когда направления сил / р различны, для оп-

ределения максимально возможного смещения (*/i)ffl«x необхо­ димо предварительно получить закон его распределения, линейно

если векторы / р вызваны, например, действием потока воздуха, считать их независимыми нельзя, т. е. закон распределения (*л)тах не является композицией законов распределения / р. Если геометрические формы тел т} мало отличаются от тел вра­

щения, то приближенно можно считать, что векторы / р параллель­ ны, т. е, выполняются условия (2.85). В этом случае максимально

60