книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

процессом нагружения опасного уровня, эффективные частоты появления расчетных циклов напряжений и распределенйя ам­ плитуд этих напряжений.

Таким образом, к ошибкам анализа, обусловленным выбором модели процесса, добавляются статистические ошибки, обуслов­ ленные использованием конечных реализаций. Разделение этих ошибок при анализе реальных процессов нагружения затрудни­ тельно.

Комплексное решение задачи об адекватном выборе модели случайного процесса и об оценке точности расчетов в принципе возможно как в строгой статистической постановке, так и в при­ кладном плане, когда производится сопоставление используемых в расчете характеристик процессов, полученных методами теории случайных функций и методами непосредственного счета с записей (осциллограмм) процессов [12].

Первый путь связан ~с рядом нерешенных статистических про­ блем и требует чрезвычайно большой исходной информации. Второй путь позволяет получить требуемые оценки точности лишь при суммарном влиянии всех исходных ошибок. Получае­ мые таким путем результаты могут существенно зависеть от при­ меняемых методик обработки осциллограмм процессов и особен­ ностей методик расчета. Поэтому такой путь требует накопления определенного опыта в подобных исследованиях. Несмотря на указанные недостатки второй путь является более естественным при решении прикладных задач и поэтому применяется в насто­ ящее время в качестве основного при решении задач оценки точ­ ности расчетов и возможности практического использования той или иной математической модели случайного процесса.

Поскольку в формулы для определения вероятности статиче­ ского разрушения и для расчета долговечности при стационарных Гауссовских процессах нагружения в качестве основных харак­ теристик входят средние частоты появления нулей п0 и экстрему­ мов па, то точность их расчетного определения, проверяемая по данным, полученным непосредственно с осциллограмм реальных процессов, рекомендуется принимать в качестве критерия для выбора этой модели процесса. При этом одномерная плотность рас­ пределения процесса не должна противоречить распределению, характерному для данной модели случайного процесса.

Таким путем проведена проверка возможности использования модели Гауссовского стационарного процесса для описания нагруженности элементов конструкций некоторых автомобилей, тракто­ ров, прицепов и других подобных мобильных машин при различ­ ных режимах их работы и движения, которая показала примени­ мость этой модели случайного процесса [12, 34, 35].

Обоснование применимости различных моделей нестационарных и негауссовских процессов рекомендуется разделить на три этапа1 феноменологическое обоснование математической модели не­

стационарного (негауссовского) процесса типа (1.3);

221

статистическое обоснование стационарной части процесса; статистическое обоснование квазидетерминистической части

процесса, сводимое к обоснованию методами математической статистики вида одномерных функций распределений.

37. Методика обработки осциллограмм и получения оценок корреляционных функций

Для получения оценок корреляционных функций по осциллографическим записям случайных процессов рекомендуется ис­ пользование следующей методики.

1. Назначают наибольшую частоту процесса f , которую не­ обходимо зарегистрировать. Эту частоту принимают обычно рав­ ной трем-четырем значениям наивысшей частоты собственных колебаний системы.

2. Определяют шаг квантования процесса A t таким, чтобы обеспечить регистрацию частот до f включительно.

На основании теоремы В. А. Котельникова [38]

At — \!f.

3.По величине шага квантования At выбирают скорость за­ писи процесса на регистрирующей аппаратуре из условия удоб­ ства обработки получаемых осциллограмм.

4.На осциллограмме процесса выбирают произвольную линию

отсчета и замеряют значения процесса xt (i — 1, 2, 3, ...) через равные промежутки времени A t от этой линии.

5. Вычисляют оценку для среднего значения процесса по формуле

Iп

*= — Е х>-

£=1

где п — t/At — число отсчетов; / — время записи процесса.

Время записи процесса t выбирают из условия обеспечения необходимой точности расчетов.

6. Вычисляют оценки для корреляционных моментов по формуле

Моменты, определяемые по формуле (6.1), должны удовлетво­ рять условию: при т оо и п -*■ оо /( ->• 0.

222

7. Величину статистической погрешности вычислений, обу­ словленную конечной длительностью t реализации, оценивают

по дисперсии корреляционных моментов:

8. Коэффициент корреляции между двумя значениями кор­ реляционных моментов вычисляют по формуле

п—т—1

S M v 0 * ( 4 i ') +

Оценку точности вычисления корреляционной функции К (т) можно также получить, если корреляционные моменты, опреде­ ляемые по формуле (6.1), сгладить подобранными методами наи­ меньших квадратов аналитическими выражениями.

В этом случае

00

|- К (s --- т -{-■и) К (s — т)] ds.

Если, например, для корреляционной функции выбирают выражение

223

Л . X cos 2|5т -)- е 2а*

Аналогично может быть определена точность производных кор­ реляционных функций. Так, для второй производной корреля­ ционной функции (6.4)

К (т) = 2аК (т) (2ата — 1)

имеем

38. Оценки спектральных плотностей

Спектральная плотность S (ю) представляет собой преобра­ зование Фурье от корреляционной функции

О 0

S (<о) = — j К (т) cos сотdx.

Этим соотношением, вообще говоря, нельзя воспользоваться для получения оценки S* (со) по оценке К* (т), так как получа­ емые при этом значения S (со) оказываются статистически несо­ стоятельными, т. е. их дисперсии при бесконечном увеличении времени регистрации процесса не стремятся к нулю. Можно показать [45], что эти дисперсии стремятся к квадрату значения самой спектральной плотности, т. е.

£>{S*(oo)[-^S2((o).

Построение состоятельных оценок для 5 (со) может быть вы­ полнено на основе следующих свойств спектральной плотности. Для процессов с непрерывной спектральной плотностью корреля­ ция между соседними ее значениями при увеличении времени t уменьшается, и оценка S (<о) имеет сильно флуктуирующий ха­ рактер. Усреднением (сглаживанием) 5* (to) по малому интервалу частот получают оценку спектральной плотности с убывающей

224

дисперсией. Сглаживание S * (со) может быть выполнено различ­ ными способами.

Получение состоятельной оценки спектральной плотности мо­

Состоятельные оценки для спектральной плотности можно также получить по формулам Бартлетта, Тьюки, Парзена и др. [17].

39. Оценка частоты и сложности структуры процессов

Для расчета долговечности элементов, нагруженность которых описывается случайными процессами, достаточно иметь рас­ пределение амплитуд и частоту появления циклов. Последнюю для Гауссовских стационарных процессов можно оценить по эффек­ тивной (средней) круговой частоте циклов, образованных нулями

процесса

оо j оо \ 0 , 5

или по эффективной круговой частоте циклов, образованных со­ седними одноименными экстремумами

Для определения средней круговой частоты появления точек перегиба, вторая производная в которых равна нулю, имеем:

.0.6

225

где К (0), X ( 0),K IV (0), KVI(0)— значения корреляционной функции и ее вто­

рой, четвертой и шестой производных в точке нуль; 5 (со) — спектральная плот­ ность процесса.

Среднее число нулей процесса в единицу времени п0 = со0/я,

и <оц. Сравним выражения (6.6)—(6.8) между собой и с центральной частотой (в*, определяемой по положению центра тяжести фи­ гуры, ограниченной кривой S (со) и осью со:

о/ о

Воспользуемся неравенством Буняковского—Шварца:

- f t Т 2 Ь Ь

си2 5 ( со) do) | S (со) da) j co4S (со) dai;

оо

■ 2

ство достигается только при спектре, заданном в виде импульсной 6-функции.

Таким образом, центральная частота со* является нижней

оценкой со0, со0 — нижней оценкой соа, а соэ — нижней оценкой соп. Рассмотрим несколько частных спектров, анализ которых по­ зволяет получить качественные оценки и реальных спектров.

226

П

Рис. 6.1. Равномерные спектры с ограниченными полосами частот:

а — для процессов с k г: 1,36; б — для процессов с k « 1,13; в — для процессов

с kta 1,04

1, Пусть спектральная плотность процесса задана соотноше­ ниями («белый шум» в ограниченной полосе частот):

Ш при со* — « < <о <;«* + о.

^ * \ 0 при остальных значениях со,

где — центральная частота (рис. 6. 1).

Используя формулы (6.6)—(6.8), получаем:

где р = а/м,.

Заключаем, что при увеличении ширины полосы спектра уве­

личивается и различие в значениях со*, со0, соэ и со„. Для коэффициента k имеем:

•1 + |5 а/3

Процессы, имеющие одинаковые параметры 0, имеют и одинаковые значения k, т. е. ширина полосы частот 2а еще не предопределяет количества сложных циклов. Важно место положения этой по­ лосы частот на оси ю, чем дальше она расположена от нулевой частоты, тем меньше в процессе сложных циклов. На рис. 6.1 показаны спектры, имеющие разную ширину полосы частот, но

227

Опишем теперь варианты практического использования фор­ мул (6.6)—(6.8). Заметим, что фактически корреляционная функ­

аппроксимациями К (т), либо формулами численного дифференци­ рования. При использовании первого варианта следует иметь в виду, что если для К (т) применять наиболее изученные и ши-

228

роко применяемые в статистической радиотехнике соотношения, основанные на выражении ехр (—а]т|):

ческой особенности приходится использовать редко применяе­

Для случаев, когда корреляционная функция не является симметричной (для взаимных корреляционных функций двух случайных процессов), имеем;

Опыт использования формул (6.14)—(6.19) показал, что ре­ зультаты, полученные с их помощью, существенно зависят от шага квантования процесса. Чем этот шаг меньше, тем выше точ­ ность. Однако практически сделать этот шаг достаточно малым затруднительно, поэтому соотношения (6.6)—(6.8) чаще более целесообразно использовать в записи через интегралы й спек­ тральную плотность процесса S (to). Построение состоятельной оценки S (со) по К (т) было рассмотрено выше. Для вычисления интегралов в формулах (6.6)—(6.8) целесообразно использовать соотношения Ньютона-Котеса:

где а>о, <*>n — наименьшая и наибольшая из регистрируемых частот; п — число интервалов квантования S (ю); S (юк) — значение спектральной плотности на

частоте <ок; В™— коэффициенты Котеса, т = 0, 2, 4, ...

229

Заметим, что в некоторых случаях целесообразно произвести сглаживание корреляционных функций выражениями типа (6.13). Тогда для спектральной плотности получаем аналитические выра­ жения, и интегралы в формулах (6.6)-—(6.8) могут быть вычислены, если ограничить их предел наибольшей из регистрируемых частот.

Остановимся теперь на оценке точности вычисления частоты процесса. Она зависит от точности вычисления корреляционной функции и ее второй и четвертой производных в точке нуль. Точность вычисления корреляционной функции процесса в точке нуль определяется соотношением (6,2) при т = 0. Точность вы­ числения второй и четвертой производных в точке нуль можно оценить по их дисперсиям:

144/1*0 {К (0)} - ЭООроо + 1024ри + 4р22 -

36h*D \K1V (0)} = 31Зброо + 6084ри + 576р22 + 4р33 —

— 8236р01 + 2688р02 — 224р03 — 3744р12 + З12р13— 96р28, (6.21)

где Л — шаг квантования корреляционной функции; рг-у— коэффициенты кор­ реляции, определяемые по формуле (6.3).

Аналогично могут быть. записаны выражения для коэффици­

ентов корреляции между К (0) и К (0), Z(IV(0) и J(vl (0) и т. п. Поскольку распределения значений корреляционной функ­ ции и ее производных можно принять нормальными [38], то соот­ ношения (6.14), (6.15), (6.20) и (6.21) позволяют вычислить рас­ пределения частот ш0 и шэ как распределения функций с нор­ мально-распределенными аргументами и оценить тем самым точ­ ность их определения. Задача сводится к определению распреде­

ления функции где z = xiy\ х и у — случайные величины.

Более простые оценки точности вычисления частот о>0 и соэ можно получить, если воспользоваться известным правилом «трех стандартов». Для этого случая имеем:

где максимальные и минимальные значения в круглых скобках определяют путем перебора значений /Cj max, min 0 = 0, 1 , 2 , 3), вычисленных по правилу

трех стандартов.

230