книги / Неустойчивость горения

было показано, см. формулу (1.2.27), что при фазовом сдвиге ф между колебания­ ми давления и скорости га­ зообразования, равном О, зона горения совершает в течение периода колебания максимальную работу. Та­ ким образом, для любого времени т можно всегда по­ добрать такое значение со, при котором положительная

работа, совершаемая зоной горения, максимальна. Горение с плавной кривой выгорания можно представить как сгорание большого числа малых порций топлива, каждой из которых со­ ответствует свое время т. Если кривая выгорания имеет форму ступеньки, то всегда можно подобрать такую частоту со, при которой все топливо сгорает с оптимальной для возбуждения ко­ лебаний фазой.

Для плавной кривой выгорания этого сделать нельзя, так как часть топлива будет обязательно иметь фазу большую, а часть — меньшую оптимальной. Очевидно, что, чем кривая выгорания бу­ дет более растянута, тем большая часть топлива будет сгорать при неоптимальном значении фазы. Этим в основном и объясня­ ется стабилизирующее влияние растягивания кривой выгора­ ния.

Деформация кривой выгорания. Чтобы получить аналог пере­ менного времени запаздывания для плавной кривой выгорания, учтём зависимость последнего от времени. Зависимость ф (т, t)

аналогии с тем, что имело место при ступенчатой кривой выго­ рания).

Пусть колебания расхода топлива отсутствуют. Поступим, как в предыдущем разделе. Вычислим массу жидкой фазы, содержа­ щейся в камере сгорания, а затем, взяв от этой величины произ­ водную по времени, йайдем скорость газообразования, обуслов­ ленную деформацией кривой выгорания.

Масса жидкой фазы, содержащейся на участке dx длины ка­ меры сгорания, равна dQm= ( l —ф)р*Fdx, где р* — масса топли­ ва, которая содержалась бы в единице объема газа при отсутст­ вии горения. Положив в уравнении (2.2.4) бф(£—х')=& , найдем р*=G/Fv. Подставив это выражение в формулу для dQm после интегрирования по объему зоны горения, получим

61

где Qm— суммарная масса жидкой фазы в зоне горения. Про­ изводная по времени от Qm, взятая с обратным знаком, равна скорости газообразования, обусловленной деформацией кривой выгорания. После перехода в уравнении (2.2.15) к малым без­ размерным отклонениям и дифференцирования, найдем

Закон деформации кривой *р(т, t) зададим следующим спосо­ бом (рис. 2.2). Порция топлива, сгорающая на стационарном ре­ жиме через время %' после поступления в камеру сгорания, на не­ стационарном режиме сгорает в момент х\, который может быть представлен в вдде TI,= T/+ 6 T (T/, t), где 6т (т', t) — некоторое приращение, задаваемое принятой феноменологической моделью. Конкретные примеры функции 8т (т', t) будут приведены несколь­ ко позже. Использование функции 6т (т', t) позволяет, как это не­ посредственно следует из рис. 2.2, получить соотношение, связы­ вающее стационарную кривую выгорания с нестационарной:

ф(т') =цр[т'+6т(т', ()]. После перехода к новой независимой пе­ ременной т= т' + 8т(т', (), разложения в ряд и отбрасывания членов второго порядка малости получим t

После подстановки соотношения (2.2.17) в уравнение (2.2.16) окончательно находим

Для ступенчатой кривой выгорания ср(т)=6(т'—т). Подстановка этого выражения в уравнение (2.2.18) приводит с точностью до обозначений к уравнению (2.1.3). Рассмотрим два примера, при­ менения выражения (2.2.18).

П р и м е р 1. Пусть закон выгорания на стационарном режиме задан не­ которой кривой выгорания ф(т), при этом значения 6т для каждой порции

62

Подставив найденное значение производной в уравнение (2.2.18), найдем составляющую колебаний скорости газообразования, обусловленную деформа­ цией кривой выгорания. Другая составляющая, обусловленная коле­ баниями расхода, была получена ранее, см. формулу (2.2.9). Суммарная ско­ рость газообразования в рассматриваемой модели с учетом сказанного равна

во .

bGr == —А- 1 1 <р (т ') Ьр (t — т') d xn +

функция, в принципе, может быть найдена путем расчета стационарной кри­

вой выгорания. Определение функции п(т') требует использования дополни­ тельных гипотез. Можно показать [30], что при п = const плавная кривая дает

более устойчивый процесс, чем ступенчатая. Для ступенчатой кривой выгора­ ния и /г= const частотные характеристики, соответствующие первому и вто­ рому интегралам уравнения (2.2.20), представляют собой периодические функ­ ции с периодом 2я. Важным следствием «растягивания» кривой выгорания является нарушение периодичности: увеличение фазового сдвига на 2nk (k = = 1,2, ...) приводит при больших k к уменьшению радиуса-вектора годографа

АФЧХ. Из этого следует, что условия возбуждений колебаний при больших

по-прежнему считать, что капля по прошествии времени т, определяемого со­ отношением (2.1.14), мгновенно превращается в продукты реакции.

Обозначим посредством ty(a)da долю топлива, содержащегося в каплях, радиус которых заключен в интервале a... a+da. Пусть время запаздывания,

по прошествии которого капля на стационарном режиме мгновенно превраща­ ется в продукты сгорания, связано с начальным диаметром капли соотноше­ нием

Между функциями ср(т') и ф(а) существует очевидная связь:

сгорающего в тот момент т', когда доля выгоревшего топлива равна qT(x'), оп­ ределяются выражением

Подставив найденное таким образом выражение для 6т в уравнение (2.2.18), получим выражение для составляющей скорости газообразования, обусловлен­ ной колебанием начального диаметра капель:

63

оо

(2 .2 .2 4 )

Для того чтобы получить выражение для суммарной скорости газообразова­ ния, составляющую, определяемую уравнением (2.2.24), необходимо дополнить членом, описывающим газообразование вследствие расходного механизма. Вы­ полнив это, получим

Так же как и в предыдущей модели, выражение для 6(?г содержит две про­ извольные функции.

Для того чтобы извлечь из полученного соотношения некоторые физиче­

64

Напомним, что необходимым условием потери устойчивости является пе­ ресечение годографа АФЧХ звена рабочего процесса вертикальной прямой, описывающей обратную АФЧХ акустического звена (см. рис. 1.8, б). В связи с этим уменьшение радиуса-вектора АФЧХ звена рабочего процесса способ­ ствует повышению устойчивости. Таким образом, мы вновь приходим к вы­ воду о стабилизирующем влиянии растягивания кривой выгорания.

2. Пусть Т2С Т 1. Тогда в области достаточно низких частот

Из формул (1.2.7) и (1.2.9) непосредственно следует, что правая часть уравнения (2.2.30) совпадает с правой частью выражения для АФЧХ звена рабочего процесса модели ступенчатой кривой выгорания с постоянным значе­ нием времени запаздывания. Таким образом, в области низких частот колеба­ ний доминирующую роль играет расходный механизм.

3. Пусть сот2>1. Тогда

Из выражения (2.2.31) следует, что в области высоких частот колебаний доминирующую роль играет обратная связь, обусловленная колебаниями на­ чального диаметра капель. Такой же вывод был получен в разд. 2.1 для Т2=0. Однако для ступенчатой кривой выгорания увеличение со сопровождается не­ ограниченным ростом радиуса-вектора годографа АФЧХ 6Gv/opt что указывает на отсутствие предельного значения h, выше которого система всегда устойчи­

ва. В рассматриваемом случае это не так:

вием устойчивости является m ax|63r/6p | < 1 , то в первом случае система заве­ домо будет устойчива при т<CL а во втором — при т< (2TI/T2— 1) “ У2..

Формула (2.2.33) не содержит h, что указывает на определяющую роль

обратной связи, обусловленной колебаниями начального диаметра капель. Разобранная модель демонстрирует стабилизирующую роль растягивания

кривой выгорания и усиление влияния этого фактора по мере роста частоты колебаний. Интересной особенностью модели является то, что в ней одновре­ менно учитываются два механизма обратной связи (расходный и связанный с колебаниями начального размера капель). При этом по мере роста частоты колебаний происходит смена одного механизма обратной связи другим.

Заключительные замечания о феноменологическом подходе, основанном на кривых выгорания. В этом и предыдущем разде­ лах простейшая динамическая модель постоянного времени за­ паздывания была уточнена в двух направлениях: было учтено колебание времени запаздывания и влияние формы кривой выго­ рания. Рассмотрение дополнительных факторов позволило объ­ яснить возникновение так называемой внутрикамерной неустой­ чивости, а также прогнозировать увеличение устойчивости систе­ мы по мере увеличения растягивания кривой выгорания^. Это потребовало, однако, привлечения, помимо одного «подгоночно­ го» параметра т, двух произвольных функций: ф'(т) и п(т) или

3. АКУСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАМЕРЫ СГОРАНИЯ

Гармонические возмущения в газе при умеренном уровне ам­ плитуд колебаний распространяются в виде звуковых волн. Дли­ на звуковых волн X=c/f, где с — скорость звука, / — частота ко­ лебаний. Значение К определяет характерную длину, на которой давление и скорость существенно изменяются. В области доста­ точно низких частот, когда длина волны много больше характер­ ных размеров камеры сгорания, изменением параметров вдоль камеры сгорания можно пренебречь. Этот предельный случай рассматривается в теории низкочастотных колебаний. В области достаточно высоких частот колебаний длина волны становится соизмеримой с характерным размером камеры сгорания и воз­ никает необходимость учитывать зависимость параметров газа не только от времени, но и от пространственных координат. В пер­ вом случае газовый объем представляет собой систему с сосре­ доточенными параметрами, во втором — с распределёнными. Другим типичным примером системы с распределенными пара­ метрами являются трубопроводы питания камер сгорания, кото­ рые рассматривались в разд. 1.4.

В камерах сгорания с хорошей организацией рабочего про­ цесса горение в основном завершается на небольшом участке, примыкающем к форсуночной головке. В остальной части объема идут сравнительно медленные процессы выравнивания состава продуктов сгорания и догорания топлива, не оказывающие существеннщо влияния на устойчивость процесса горения. В этом слу­ чае к акустическому звену можно отнести весь участок камеры сгорания, на котором осуществляется догорание, условно приняв, что процесс горения полностью заканчивается до него. Восполь­ зовавшись этим обстоятельством, выделим специальное акусти­ ческое звено, динамические свойства которого определяются волновыми процессами в газовом объеме, заполненном продук­ тами реакции.

Входными координатами акустического звена в общем случае являются колебания расхода газа, энтропии и вихря, выходны­ ми— колебания давления в начале зоны горения и в некоторых случаях пульсации скорости газа в плоскости, перпендикулярной оси потока.

Наиболее важную роль в рассматриваемых далее вопросах играют колебания расхода и давления, на которых и будет сосре­

доточено основное внимание. Вопросы, связанные с распростра­ нением волн энтропии и вихря в потоке газа в камерах сгорания со сверхзвуковым истечением газа через сопло произвольной фор­ мы, освещены в работе [38].

Динамические характеристики акустического звена зависят от формы поперечного сечения камеры сгорания. Наиболее рас­ пространены цилиндрические камеры сгорания и с прямоуголь­ ным сечением. Поскольку все основные качественные выводы тео­ рии устойчивости для камер сгорания этих видов идентичны, да­ лее будут рассмотрены только цилиндрические камеры сгорания.

3.1. В О Л Н О В О Е У Р А В Н Е Н И Е И ЕГО Р Е Ш Е Н И Е

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую трубу,'ис­ точник колебаний в которой расположен во входном сечении (х = 0 ). Будем считать, что в стационарном состоянии движение газа одномерно и направлено слева направо, акустические коле­ бания газа трехмерны и изоэнтропичны.

Уравнения сохранения количества движения и вещества име­

ющие продольной, радиальной и угловой координатам; р и р — давление и плотность.

Поскольку движение газа изоэнтропично, то плотность и дав­

68

где М =й/с — число Маха.

Два граничных условия, которым должен удовлетворять по­ тенциал скорости, следуют из равенства нулю радиальной скоро­ сти на стенке канала и требования непрерывной зависимости ре­ шения от угловой координаты 0:

где го — радиус поперечного сечения канала. Граничные условия, связанные с продольной координатой х, будут конкретизированы несколько позже.

Рассмотрим режим гармонических колебаний. Зависимость потенциала скорости от времени в этой случае может быть пред­

ставлена в виде ф =ф(г, 0, лг)е‘ш<. Потенциал скорости <р в силу граничного условия (3.1.9) является периодичной функцией уг­ ловой координаты 0 и, следовательно, может быть разложен в тригонометрический ряд Фурье по 0. Выполнив это, получим

69

где m — 1, 2, ... .

После подстановки выражения (3.1.10) в волновое уравнение (3.1.8) находим

оо

Выражение (3.1.11) можно трактовать как разложение в ряД Фурье функции, тождественно равной нулю. Согласно известной теореме коэффициенты Фурье этой функции (в данном случае выражение, стоящее в прямых скобках) равны нулю:

Найдем решение уравнения (3.1.12) в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от г, а другая — толь­ ко от х (метод Фурье):

Выражение, стоящее в первых квадратных скобках, зависит только от г, а во вторых — только от х, что возможно только в том случае, когда каждое из этих выражений постоянно. Обозна­ чив постоянные величины, которым равны выражения в первых и вторых скобках, соответственно через —k r2 и —Их2 получим со­ отношение

k?-{-kx=<t>2/c2. (3.1.15)

Из определения kr2 и fo2 непосредственно следует

70