книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

роль модуля упрочнения, а ее начальная ордината равна мате­ матическому ожиданию предела текучести. Кривые на рис. 3.3 похожи на экспериментальные кривые (а) = / (<ер>) для мате­ риалов, не имеющих площадки текучести, что свидетельствует о том, что закон распределения (3.19) является удовлетворитель­ ной аппроксимацией к истинному закону распределения локаль­ ных пределов текучести в реальных поликристаллических мате­ риалах указанного типа.

В основу предшествующих рассуждений было положено пред­ положение, что компоненты начальных микродеформаций е£ суть независимые случайные величины, подчиняющиеся нормаль­ ному закону распределения. После ряда рассуждений и выкла­ док это привело к формулам (3.48) и (3.49), определяющим осредненные пластические деформации при условии (3.5) йли (3.4).

51

Рассмотрим упрощенный вариант этой теории, основывающийся на приближенной замене плотности распределения интенсивности сухого трения р (т) (3.19) и плотности интенсивности упругих начальных микродеформаций (3.50) выражениями

Использование приближенных формул (3.61) означает, что при вычислении случайных величин, зависящих от <в и е°, все реализации этих последних величин в первом приближении отождествляются с их математическими ожиданиями. Подста­ вив (3.61) взамен соответствующих членов подынтегрального вы­ ражения (3.49) или (3.48), получим

(е£) = J J" J J j j е£б (т — (т)) 6 (е° — (е°)) sin3 0t sin2 02 sin 03 X

Эта формула существенно проще общих соотношений (3.49). Тем не менее она позволяет выявить ряд интересных черт пред­ лагаемой теории. Воспользовавшись результатами, полученными ранее для случая одномерного нагружения, и подставив их в (3.62), находим

о

где е1 определяется по формулам (3.24) и (3.27).

На рис. 3.4 приведены типичные кривые развития локальных пластических деформаций (построены в зависимости от угла 0Хпри 2Ge°/q/ = 1). Следует обратить внимание на то, что зави­

Из кривых видно, что величина (е0) (математическое ожидание интенсивности начальных микродеформаций) существенно влияет на характер упрочнения. Возрастание (е°) (при фиксированном значении (т>) приводит к более раннему появлению пластических деформаций и более медленному их стремлению к асимптоте. Соответственно, чем больше (е°), тем длительнее оказывается процесс стабилизации петли гистерезиса при циклическом де­ формировании (рис. 3.6).

52

Приведенные выше кривые, выражающие зависимость е? от (аг), были построены для трех различных соотношений между 2G (е°> и.<т> исходя из упрощенной теории, основанной на за­ мене всех реализаций случайных величин е° и т их математиче-

53

посредственно пользуясь общими формулами (3.48), (3.49), что, однако, связано с более громоздкими вычислениями. Нетрудно предвидеть, что для монотонного одномерного нагружения общая теория будет давать результаты, отличающиеся от приведенных выше приближенных результатов следующим образом.

1. Граница текучести в точном смысле этого слова будет отсут­

Понятие границы текучести может быть введено в общую тео­ рию только путем задания некоторого допуска А на величину (еР>, начиная с которого макроскопические пластические дефор­ мации принимаются во внимание, как это и делается на прак­ тике.

2. С возрастанием отношения 2G <е°>/<т> условный предел текучести (о) (т. е. значение макроскопических напряжений, при котором <зр) достигает величины А) понижается, а кривая <а) = / ((вр>) медленнее стремится к своей асимптоте. Оба эти эффекта качественно сохранились и в изложенной выше прибли­ женной теории, однако в более резкой форме.

3.3.О ПРЕДЕЛЬНЫХ ВАРИАНТАХ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ, УЧИТЫВАЮЩЕЙ НАЧАЛЬНЫЕ МИКРОНАПРЯЖЕНИЯ

И. Л. Сандерс в работе [1701 привлек внимание читателей к возможности анализа сложных нагружений, используя поня­ тие плоских поверхностей нагружения. Макроскопическая по-

54

верхность тек|учеети при этом определяется как огибающая всех плоеких поверхностей текучести. При этом оказалось, что су­ ществует область, в которой предсказание деформационной теории пластичности совпадает с результатами, вытекающими из работы

[170].Было обнаружено, что по своим следствиям теория близка

кпредсказаниям теории скольжения [7]. В работе [91] для плоского случая конкретизирован подход Сандерса и показано,

что теории [7, 91, 92,* 154] идентичны. Представляет интерес в связи с этим рассмотреть и обсудить предельные варианты тео­ рии пластичности, когда локальные поверхности текучести ста­ новятся плоскими. За исходные примем соотношения (3.22). Положение начальных локальных поверхностей текучести опре­ деляется уравнением

( ш — «eg(0)) («Oft> — ««£<0)) = <*eg(D) = р“, рa = V pgpg-

Будем считать сначала, что в локальном законе течения каждому значению ч/ отвечает одно значение р0тогда огибающая всех по­ верхностей текучести будет поверхностью текучести Мизеса с ра­ диусом —р0. Далее устремим в определяющих уравнениях <и и р к бесконечности, но так чтобы ч?—р = ат = const, где ат — макроскопический предел текучести материала.

Вэтом случае поверхности станут плоскими, а их огибающая

вначальном состоянии вновь определяет поверхность текучести

вформе Мизеса. Сделанное предположение упрощает картину пластических сдвигов и, соответственно, рассматриваемую тео­ рию. Однако при этом в теории утрачивается взаимосвязь ло­ кальных скольжений и тем самым существенно преувеличивается влияние начальных микронапряжений на макроскопическую деформацию. Одни микроэлементы реагируют только на нагру­ жение в прямом направлении, другие же — только на нагружение

впротивоположном направлении. Тем не менее стоит проследить,

кчему приведет такой подход, хотя бы для того, чтобы получить представление о теофии Сандерса (а вместе с тем и о простейших вариантах теории скольжения) в свете теорий, учитывающих микронеоднородность развития пластических деформаций. Из сформулированной теории вытекает, что поверхности текучести движутся независимо одна от другой, удаляясь от начала коорди­ нат, как только точка в пространстве напряжений достигнет их

границы. Определяющие уравнения имеют весьма простой вид:

5

55

Для наглядности ограничимся анализом плоского случая, тогда имеем

ае£ = {joiJ cos ф + (cr2) sin ф — сгт; е? = в£cos ф; е2 = е£ sin ф;

Казалось бы, основная трудность теперь состоит в суммиро­ вании всех локальных пластических деформаций для плоскостей текучести, вступивших в движение. Однако и эта задача легко разрешима, если учесть, что при заданном напряженном состоя­ нии всегда можно найти те плоскости текучести, на которых пла­ стические деформации еще не начали развиваться (или перестали развиваться). Так, при одноосном нагружении (т. е. в случае, когда в пространстве напряжений отлична от нуля только одна компонента) имеем аг? = (о^) cos2 ф — от cos ф, (о^) cos ф0 = = ат, где ф0 — граничное значение угла ф, при котором пло­ скость текучести не перемещается.

Отсюда получим

Эти формулы выражают параметрическое задание кривой одно­ осного нагружения.

Уравнения (3.66) впервые предложены в работе [92]. Соот­ ветствующая им кривая ер = f (о) имеет весьма характерный вид. Начальный модуль упрочнения равен бесконечности, и кривая выходит на следующую асимптоту:

вР = - ^ г ( а - 4стт/я).

Если считать предел текучести стт зависящим от накопленной пластической деформации, то соотношения (3.65) примут вид

е£ = ф (<Oi) cos ф + <02> sin ф), ef = в£ cos ф, е2 = е£ sin ф.

о

И эти соотношения вытекают из работы [92]. После одноос­ ного нагружения соответствующая поверхность текучести имеет вид, отвечающий простейшей теории скольжения [7]. Существует довольно широкая зона нагружения, в которой предсказания этой теории и теории малых упругопластических деформаций тождественно совпадают. Следует отметить, однако, что при цик­

56

лических нагружениях такая теория не приводит к результатам, совпадающим с экспериментом, так как она не учитывает взаим­ ного влияния локальных пластических деформаций и, как след­ ствие, изменения положения одних плоскостей текучести в за­ висимости от движения других.

Вновь обратимся к общей теории пластичности (см. пара­ граф 2.1). Для плоского случая определяющие уравнения имеют вид (в пространстве Ильюшина [49])

Рассмотрим вариант теории, когда с (ф, ф') = const; тогда

cos ф (oi — aef — т (ef)) sin ф (a2 — ae2 — m (e2)) = aT.

Вновь обратимся к одноосному нагружению. Исследуем по­ ведение тех плоскостей текучести, которые двигаются пассивно, т. е. не вызывают пластических деформаций. В этом случае

По сравнению с теорией (3.63) здесь имеется член, вносящий существенные коррективы. Огибающая семейства (3.69) запи­ сывается как

(oi — т (е?))2 + а! = а?.

Касательные к этой поверхности образуют макроскопическую поверхность текучести. Эта поверхность имеет вид, изображен­ ный на рис. 3.8. На этой поверхности имеется четко выраженная угловая точка, но существенно менее выраженная, чем в клас­ сическом варианте теории скольжения.

При монотонном нагружении

57

При последующем нагруже­ нии противоположного знака до­ полнительные пластические де­ формации происходят за счет дру­ гой группы плоскостей нагруже­ ния. Эта одна из характерных осо­ бенностей рассматриваемого обоб­ щенного варианта теории пла­ стичности Сандерса, состоящая в том, что в различных направле­ ниях ответственными за пластиче­ скую деформацию могут быть раз­

ные поверхности текучести, но их перемещение теперь в простран­ стве напряжений взаимосвязано одно с другим. Отметим, что циклическое мягкое нагружение с амплитудой <а>) — ± а 0 при­ водит к исчезающей петле гистерезиса, т. е. материал ведет себя как циклически упрочняющийся.

3.4. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Сформулируем теперь общие принципы построения теории пластичности, которые вытекают из соображений, изложенных в гл. 2 и 3. Для. построения теории необходимо:

сформулировать локальный закон пластического течения, связывающий напряжения и деформации.

Этот закон содержит один или несколько случайных параметров. Такими параметрами выбраны предел текучести материала и поле начальных микро­ напряжений и микродеформаций;

задать совместную функцию распределения случайных па­ раметров, которая определяется с учетом экспериментальных данных;

считать справедливыми обобщенные соотношения Кренера, связывающие отклонения напряжений и деформаций.

Эти соотношения позволяют связать локальные законы пластического дефор­ мирования с макроскопическими законами пластического деформирования.

С учетом изложенного общие соотношения теории запишем следующим образом [73, 74, 75, 85, 142]:

58

тически она означает следующее. Локальные поверхности теку­ чести плоские, они поступательно перемещаются при активном нагружении; пластические деформации направлены по нормали к плоским поверхностям текучести. Тогда в соответствии с (3.71) имеем

ац £ £2, в которых происходит активное микропластическое де­

(3.76)

N

Величину T (т0, atJ) назовем интенсивностью разрешающих на­ пряжений.

59

В новых обозначениях условие течения (3.75) примет сле­

Из условия (3.77) вытекает непосредственно физический емысл интенсивности разрешающих напряжений. Она характеризует текущее распределение локальных пределов текучести в направ­ лении atj для частиц, начальный предел текучести которых был равен <0ОПричем, как следует из (3.76), на разрешающие напря­ жения частицы влияет не только микропластическая деформация в направлении а у, но и микропластические деформации осталь­ ных микрочастиц в других направлениях. В дальнейшем функ­ цию R\ (<г<ь Фо, оь*/, aj/), характеризующую взаимовлияние микропластических деформаций, будем называть функцией влияния.

Остановимся подробнее на условии течения (3.77). Поскольку направляющий девиатор aijt выше никак не конкретизировался, его можно представить, например, в виде диадного произведения ортогональных единичных векторов»

Если теперь принять, что единичные векторы пх и 1г опреде­ ляют соответственно нормаль к выделенной в теле материальной площадке и направление на ней, то из (3.77) очевидным образом получим

Равенетво в (3.79) достигается для тех направлений ati и значений <и0, для которых имеет место микропластическое дефор­ мирование. Последнее утверждение, как известно, представляет собой закон Шмидта, который обычно закладывается в основу построения теорий скольжения 1162]. Таким образом, если микро­ пластическая деформация трактуется как чисто сдвиговая, что свойственно теориям скольжения, то из (3.77) следует закон Шмидта.

В области активного микропластического деформирования можно записать и дифференциальное условие течения!

Здесь точка означает производную по. времени.

Последнее уравнение является основным разрешающим урав­ нением теории и служит для определения интенсивности скорости микропластической деформации ёр (т0, аи). Неравенство (3.77). совместно с условием ёр (т0, а^) > 0 можно трактовать как усло­ вия для\ определения области активного микропластического де-

60