книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

[•прмаций по уравнениям (3.2) при задании аналогичного пути де­ формирования. В указанных случаях соотношения (3.1) и (3.2) ♦шляются обыкновенными дифференциальными уравнениями, ко­ эффициенты которых зависят от некоторых параметров. Число п.фаметров в этой главе по сравнению с предыдущей увеличиилстся.

Предположим, что в поликристалле имеется случайное поле начальных упругих микродеформаций Е°ц (е?/), не нарушающее макроскопической однородности и изотропности тела в исходном п о состоянии. Ввиду требования статистической однородности тгла этот случайный тензор должен быть стационарной функцией координат, а ввиду требования статистической изотропии все его I.иизные направления должны быть равновероятными, из чего г:н'дует, что плотность вероятности шестимерной случайной ве­ тчины Е?/ может быть функцией только инвариантов е?/.

При этом для дальнейшего представляет интерес лишь девиаторная часть тензора Е°/, поскольку именно она оказывает влия­ ние на развитие пластических деформаций. Ввиду этого, а также *читая, что шаровая и девиаторная части Е?/ суть независимые случайные величины, будем в дальнейшем полагать, что Е°ц яв­ ляется девиатором (чтобы не вводить специального обозначения

и третьего инвариантов е?/, а его математическое ожидание <е?/> должно быть равно нулю. Однако, естественно сделать дополни­ тельное предположение, что не только все главные направления КV/ равновероятны, но и равновероятны все виды начальных ми­ кродеформаций, поскольку нет оснований ожидать, что имеется предпочтение для какого-либо из них (например, хотя бы для чпетого сдвига или растяжения). Тогда остается единственная полможность — плотность вероятности есть функция его второго

Заметим, что положительная случайная величина 8° ограни-

и котором G — модуль упругого сдвига (строго говоря, локаль­ ный модуль упругого сдвига). Однако в духе рассматриваемой риближенной теории, в которой осреднение по ориентациям кристаллитов предполагается выполненным заранее, G следует •|иждествить с эффективным модулем сдвига поликристалла.

<мысл неравенства (3.4) состоит в том, что при остывании м< млла в нем не могут возникнуть начальные микронапряжения интенсивностью, превосходящей локальный предел текучести. Мри этом в зависимости от локальной ситуации е° может оказаться к нк равным <t/(2G), так и меньше этого значения. Однако в целях

41

упрощения теории представляется допустимым заменить нера­ венство (3.4) равенством

Такое предположение, как очевидно, направлено в сторону преувеличения влияния начальных микронапряжений на микро­ скопическую картину пластического деформирования, поскольку интенсивность упругих начальных микродеформаций оценивается при этом по верхнему ее пределу. Нетрудно заметить, что в такой теории упругая область деформаций должна отсутствовать! любое сколь угодно малое изменение нагрузки, произведенное в любом направлении, должно вызывать пластические деформации, по­ скольку сила сухого трения согласно (3.5) оказывается уравнове­ шенной начальными микронапряжениями. Тем самым в такой теории будет отсутствовать понятие границы текучести в том смысле, как оно понимается обыкновенно в курсах теории, пла­ стичности.

Однако, как известно, понятие границы текучести (предела текучести) является результатом идеализации экспериментально наблюдаемой картины пластического деформирования. В действи­ тельности пластические деформации происходят при любых из­ менениях нагрузки, и чем точнее постановка опыта, тем скорее они обнаруживаются. Известно, что технический предел теку­ чести при растяжении определяется как такое напряжение, при котором пластическое удлинение достигает 0,2 %. То обстоя­ тельство, что на практике предел текучести приходится опреде­ лять, задаваясь значением пластической деформации, подчерки­ вает условность этого понятия. Таким образом, отсутствие в тео­ рии, основанной на равенстве (3.5), понятия предела текучести не является ее пороком, а скорее свидетельствует о сближении тео­ рии с экспериментом.

Следует подчеркнуть, что и в этом варианте теории могут быть введены понятия предела текучести и границы текучести, если задаться порогом интенсивности пластической деформации, т. е. такой интенсивности, начиная с которой пластические деформации учитываются, а ниже которой ими пренебрегают. Естественно, что размеры и форма получаемых при этом границ текучести будут зависеть от величины этого условного порога, что и наблю­ дается экспериментально [200].

Наряду с вариантом теории, основывающемся на равенстве (3.5), ниже рассматриваются и некоторые другие упрощенные варианты теории. В частности, будет исследован вариант, бази­

42

Оказывается, что в такой теории имеется понятие границы и'кучести в обычном понимании, причем на этой границе в про­ цессе пластического деформирования образуются угловые точки.

Принятое допущение (3.5) устанавливает однозначную взаимо-

ных упругих деформаций, причем плотность распределения е° должна быть тождественна плотности распределения <в/(2G). (’ учетом начальных микронапряжений второе из уравнений (3.1)

Ч;т,е.сь учитывается, что начальные упругие микродеформации <пособствуют или, наоборот, препятствуют преодолению локаль­ ного сухого трения в зависимости от того, как они направлены — одинаково или противоположно действующим напряжениям. Ска- <MI})ный коэффициент а в (3.8) считается в дальнейшем констаниж. Уравнение (3.8) может быть приведено к виду, идентичному

C U ) :

и I чего следует, что в указанной выше постановке задачи учет начальных упругих микродеформаций может быть формально ппдменен введением поля начальных пластических деформаций

Совокупность формул (3.9), (3.1), (3.5) образует вариант ква1и<татистической теории пластичности микронеоднородных телучмтывающий начальные упругие микродеформации. Для воз, мпжности применения этих формул, в частности для вывода из них соотношений между микроскопическими напряжениями <о4у>

и макроскопическими пластическими деформациями (е?/), надо,

• in плотность вероятности является функцией только его интен-

43

бой линейной зависимостью eg* = 0, пять независимых величин!

в! = У 4 е°1ь е§ = у Т (е§2 +4-®?»).

рассматривая их как компоненты пятимерного вектора, длина которого

Величину е£ будем трактовать как реализации случайного пя­ тимерного вектора Е£. В силу описанных ранее свойств случай­ ного тензора Е°/ математическое ожидание этого пятимерного вектора равдго нулю, а его плотность вероятности является функ­ цией только е°. Следовательно [161, вектор Е% распределен по нормальному закону, т. е. его плотность вероятности опреде­ лится выражением

Воспользуемся для этого известным выражением для плотности распределения случайной величины %а с k степенями свободы [1901. Положив в нем k = 5 и перейдя от случая единичной дис­ персии к дисперсии а2, получим

Из этой формулы, дающей плотность распределения (е0)2, вытекает следующее выражение для плотности распределения е°:

распространяющее на пятимерные векторы известный закон Рэлея, определяющий плотность распределения длины случай­ ного плоского вектора, компоненты которого суть независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному закону рас­ пределения. Подробно теория случайных многомерных векторов со сферической симметрией изложена в работе [16].

В рамках теории, основывающейся на предположении (3.5), плотность распределения интенсивности сил сухого трения р (т)

44

определяется той же формулой (3.17) при замене в ней а2 на

е.

(3.19)

Приведенные выше формулы позволяют вычислять математи- •<ггкие ожидания и дисперсии любых случайных величин, являю­ щихся функциями случайного тензора е?/ и случайного скаляра и. При этом, хотя формула (3.19) была получена в тесной связи » предположением (3.5), следует пользоваться ею и в других ва­ риантах теории, считая тем самым, что тензор сил сухого трения иг имеет ни предпочтительных ориентаций главных осей, ни ка­ кого-либо более вероятного чем другие, значения параметра Поде. В условиях предположения (3.5) инвариант е° не является <амостоятельным случайным параметром [поскольку он связан

• г равенством (3.5)1. Последнее надо учитывать при вычислении математических ожиданий или дисперсий случайных величин, пнисящих от ф и в?/. В общем случае е° следует считать незави­ симой случайной величиной в области, ограниченной неравен-

. гном (3.4). Из (3.19) вытекает, что математическое ожидание интенсивности сил сухого трения (которое может быть истолко­ пано, как макроскопический предел текучести поликристалла, гмободного от начальных микронапряжений) определяется вы­ ражением

(3.20)

т е. оказывается пропорциональным среднему квадратическому отклонению случайного скаляра ч? (интенсивности диссипатив­ ных сил, сопротивляющихся пластической деформации). Это обстоятельство постоянно практически используется металловелами с целью повысить предел текучести сплавов путем введения и них кристаллические решетки легирующих включений, назначгние которых заключается в увеличении разброса локальных пределов текучести относительно их среднего значения, т. е. и повышении дисперсии 6а.

3.2.МАКРОСКОПИЧЕСКИ ОДНОМЕРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ТЕЛА

СНАЧАЛЬНЫМИ МИКРОДЕФОРМАЦИЯМИ

Применим рассматриваемую теорию к случаю одномерной де- [•ормации, воспользовавшись при этом уравнениями

46

и считая, что имеются начальные пластические деформации ef/°. Систему (3.21) целесообразно заменить эквивалентной ей систе­ мой с пятью независимыми неизвестными

Величина (oh) выражается через (atj) по формулам, аналогич­ ным (3.23). Нетрудно проверить (если учесть при этом равенства

е?/ = 0, (<т//> - 0), что система (3.21) действительно является следствием (3.22). Введем далее еще одну замену переменных

после чего уравнения (3.22) приведутся к следующему наиболее простому видуг.

причем

(3.26)

Применим (3.25) к случаю макроскопически однородного на­ гружения. При этом

где pfto — значения pfe прл у = 0, т. е. в момент начала одноосного пластического нагружения.

Из (3.30) следует, что

46

Теперь интегрирование системы (3.28) сводится к интегриро­

н пределах которой деформации упруги, т. е. pft = pft0. Система (3.33) легко интегрируется. Ее решение с учетом

нулю. Последний случай возможен и для дальнейшего является <ущественным. Ранее (в ' предыдущем параграфе) было пред­ положено, что интенсивность начальных случайных мик- (чжапряжений в каждой точке тела равна локальному пределу

Полученные выше формулы позволяют решить первую часть ■ЛД.1ЧИ об одномерном нагружении тела с начальными упругими мнкродеформациями, а именно! они выражают локальные, пла-

47

стические деформации через макроскопические напряжения и локальное значение упругих микродеформаций, т. е. определяют одну из возможных реализаций пластической деформации в по­ ликристалле. Для того чтобы найти макроскопическую пласти­ ческую деформацию надо решить и вторую часть задачи: зная закон распределения начальных микродеформаций (3.13) и за­ висимость от них локальных пластических деформаций, выра­ жаемую формулами (3.37), (3.38), (3.40), вычислить математи­ ческое ожидание пластической деформации. Пользуясь извест­ ным выражением для математического ожидания величин, зави­ сящих от компонент случайного вектора,

подставляя в него вместо р (eg) выражение (3.14), а вместо е%

и

где интегрирование выполняется по всем «рк0 в пределах от 0 до с»; 62 — дисперсия интенсивности тензора сил сухого трения (3.18).

При фактическом вычислении интегралов (3.44) следует поль­ зоваться сферическими координатами в пятимерном простран­ стве рь0, полагая

При этом 47 играет роль радиуса-вектора этой сферической системы координат. Введенные новые координаты имеют следующие диа­ пазоны изменения:

0 ^ 47 со, 0 01 ^ я, 0 ^ 0а я, 0 ^ 08 ^ я, 0 04 ^ 2я,

(3.46)

в пределах которых существует однозначное соответствие между всеми точхами пятимерного эвклидова пространства и криволи­

48

нейными координатами. Якобиан данной сферической системы координат

J = и4,sin8 0! sin2 0а sin 08. (3.47)

и, следовательно, формула (3.44) в координатах qr, 0ft записывается как

Это выражение может быть использовано для вычисления математических ожиданий пластических деформаций как в рас­ смотренном выше частном случае одномерного нагружения, так и для других видов нагружения. Остановимся в заключение на

определении математического ожидания е?/ в общем случае, когда вместо равенства р0 = 1 принимается неравенство р0 <; 1.

ничение математически эквивалентно требованию, чтобы в области е° > T/(2G) совместная плотность распределения sft и <г равнялась нулю. Введя опять сферические координаты в пятимерном про­

поскольку именно такая замена означает, что вероятно только значение е°, совпадающее с <о/(2G).

Однако здесь следует сделать следующее замечание. Если для выбора закона распределения р (е°) были приведены сообра­ жения в пользу обобщенного распределения Рэлея, то при усло­ вии е° Ф n/(2G) однозначного ответа о характере совместной функции распределения е®/, <в получить нельзя. Предложение (3.49) записано по аналогии с (3.17). По-видимому, более пра-

49

где функция f (<в) должна быть определена на основе опвггных данных.

Начнем исследование результатов теории с наиболее простого частного случая, а именно’ предположим, что начальных микро­

напряжений нет. Тогда е? будут функциями только скалярного

Полученное решение остается справедливым и при pft0 == 0,

Возвращаясь к первоначальным обозначениям и полагая для

Здесь для простоты написания дальнейших формул опущены

индексы / у 8? и (oi). Подставив (3.55) в (3.53), приходим к сле­ дующей формуле, выражающей зависимость между математи­ ческими ожиданиями напряжений и пластических деформаций в случае одномерного нагружения!

оо

т.е. математическое ожидание пластической деформации при

отсутствии начальныхмикронапряжений оказывается пропор­ циональным двукратному интегралу от плотности распределения предела текучести. На рис. 3.1—3.3 показаны кривые, изобра­ жающие

(3.59)

50