книги / Механика трещин

Наиболее существенные отличия этого издания от первого издания

(в частности, масштабные эффекты, легко определяющиеся в балочном приближении) вынесены в отдельную (первую) главу. При этом энер­ гетический критерий Гриффитса, в котором учитываются „поверхност­ ные” повреждения (их энергия пропорциональна площади поверхно­ сти магистральной трещины), обобщен учетом „объемных” поврежде­ ний (энергия пропорциональна объему, который ими охвачен). Этим теория трещин объединяется с классическими представлениями о прочности.

Четвертая глава (в первом издании - третья) дополнена описанием двухконстантной теории распространения трещин в пластине при циклической нагрузке. Туда же перенесен параграф, относящийся к динамике трещин в упругопластическом теле. Введена новая гла­ ва - шестая, посвященная механике трещин в средах со структурой: в решетках, армированных (слоистых) материалах, в средах блочной структуры. Кроме того, внесено много дополнений и изменений. Опущен материал, представляющийся автору второстепенным или недостаточно завершенным. В результате объем книги остался прак­ тически прежним.

Отзывы о книге просим присылать по адресу: 191065, Ленинград, ул. Гоголя, 8, издательство „Судостроение” .

к становлению сравнительно нового направления в науке о прочно­ сти - механики разрушения, и в частности механики трещин. Впрочем, интерес к механике трещин обусловлен не только проблемами разра­ ботки материалов, проектирования и эксплуатации конструкций. Можно назвать и другие области, где статика и динамика трещин играют не последнюю роль: геология, сейсмология, разработка полез­ ных ископаемых, судоходство в ледовых условиях и т. д.

Теория трещин занимает особое место в механике твердого дефор­ мируемого тела. Дело в том, что распространение трещины опреде­ ляется процессами, происходящими как на макроуровне, так и на раз­ личного масштаба микроуровнях. Поэтому проблема разрушения не может быть полностью решена лишь на основе классических конти­ нуальных моделей деформируемой среды.

Конечно, такое свойство материала, как упругость, также опре­ деляется законами микромира - характером межатомного взаимодей­ ствия. Однако картина на макроуровне, осредненная по большему числу микрообъектов, оказывается достаточно устойчивой, поэтому упругость материала может быть экспериментально установлена без привлечения данных о его строении. В несколько меньшей степени это утверждение справедливо и в отношении пластичности. Что же касает­ ся распространения трещин, то здесь все существенно сложнее.

Результаты анализа „внешней” задачи - определения полей напря­ жений и деформаций в окрестности края трещины на основе макро­ теории (теории упругости, пластичности) еще не позволяют вынести суждение о том, будет ли трещина распространяться. Во-первых, при приближении к краю трещины, где материал претерпевает большие деформации, его свойства изменяются и указанные теории теряют силу. Во-вторых, такие теории не содержат никаких характеристик прочности. В этих условиях естественно ввести критерий, по которому на основании экспериментального определения некоторых свойств материала и решения внешней задачи можно было бы судить о возмож­ ности развития трещины. Так в механике трещин и поступают. Однако достаточно общего стабильного критерия найти не удается.

Это*обусловлено тем, что на сопротивляемость материала зарожде­ нию и развитию трещин влияет много различных факторов, часть из которых трудно поддается учету и взаимосвязь которых еще не­ достаточно ясна. К таким факторам, кроме теоретической прочности и пластических свойств (в частности, при больших растягивающих напряжениях), можно отнести температуру, „историю” деформирова­ ния, влияние внешней среды, остаточные напряжения, конструктив­ ные и технологические дефекты и пр.

В связи с этим не следует думать, что единственная цель теории - дать методы расчета прочности конструкции, в которой появилась трещина. Теория трещин должна служить для понимания, а не только для расчета: для понимания того, как следует выбирать материал, как его испытывать, как проектировать конструкцию, какие требования необходимо предъявить к технологии ее изготовления, чтобы исклю­ чить или уменьшить вероятность хрупкого разрушения. С учетом этой

цели наряду с экспериментами достаточно важным представляется теоретический анализ модельных задач о трещинах. Расчетные методы для статики и в особенности для динамики трещин необходимы также при исследовании процессов разрушения и сопутствующих явлений в других областях, например, как уже упоминалось, в сейсмологии или в горном деле.

Данная книга в основном посвящена анализу внешней задачи теории трещин, причем трещина трактуется как разрез по некоторой поверхности внутри тела. Кроме того, обсуждаются вопросы, связан­ ные с наиболее употребительными критериями роста трещины.

Рассматриваются типичные задачи статики трещин - в рамках линейной теории упругости, а также в „балочном приближении” , при котором асимптотически точно определяется поток энергии, стекаю­ щей в край трещины при ее продвижении. Приводятся различные спо­ собы расчета потока энергии. Отмечается, что энергетический и сило­ вой критерии не эквивалентны. В частности, это обнаруживается при анализе задачи об изменении направления роста трещины.

Из линейной теории упругости следует, что, по крайней мере в условиях медленного роста трещины, вся высвобождающаяся энер­ гия деформации тела должна поглощаться при образовании новых поверхностей. Показано, что этот парадоксальный вывод - следствие некорректности континуальной модели упругой среды (без внутрен­ ней структуры), не позволяющей описать возможный отток энергии от края трещины.

Полученные на основе линейной теории упругости решения задач о трещине не удовлетворяют условиям применимости этой теории: повороты оказываются большими, деформации - неограниченными. В связи с этим рассматривается геометрически точная модель сплош­ ной упругой среды. Даются две интерпретации линейной теории упру­ гости как геометрически точной теории, в которой связь между напря­ жениями и градиентом перемещения определяется законом Гука.

Далее на основе геометрически точных соотношений делаются некоторые общие выводы о состоянии у края трещины. При этом конкретные физические зависимости не привлекаются, вводятся лишь предположения об упругости, т. е. о том, что энергия деформации потенциальна, или об устойчивости материала.

Рассматриваются квазистатические задачи о трещине в упруго­ пластическом материале. Исследуется распределение напряжений и деформаций у края трещины в условиях, когда при нагружении тела трещина не растет и когда трещина растет в нагруженном теле. Анализ проводится на основе геометрически линейных соотношений при усло­ вии текучести Треска - Сен-Венана и ассоциированном законе пласти­ ческого течения.

Для этих двух случаев результаты оказываются существенно раз­ ными. Первый отвечает, по существу, некоторому нелинейно-упругому телу. При этом учет пластичности приводит к увеличению концентрации

деформаций. Во втором случае, когда при продвижении трещины реализуется разгрузка, пластичность ослабляет концентрацию дефор­ маций, в результате чего в край трещины энергия не стекает: вся энергия, высвобождающаяся в упругой области, поглощается в пласти­ ческой. Таким образом, в данной модели пластического течения нельзя учесть поверхностную энергию, так что энергетический крите­ рий Гриффитса здесь не подходит.

На основе деформационного критерия с учетом различия в кон­ центрации деформаций, отвечающих указанным двум состояниям, объясняется возможность устойчивого роста трещины при увеличении нагрузки на тело, а также развитие трещины при циклических нагрузках.

Рассматриваются типичные задачи динамики трещин в линейно­ упругом теле. Исследуются стационарная, нестационарная и автомо­ дельная задачи. Плоская задача о неравномерно движущейся трещине решается на основе факторизации, приводящей к расщеплению фунда­ ментального решения (решения задачи Лэмба) на направленные волно­ вые возмущения. Представлено решение соответствующей смешанной задачи и для того случая, когда скорость точки раздела граничных условий (скорость края трещины) переходит через критическое зна­ чение, в частности через значение скорости волн Рэлея. Автомодель­ ные задачи решаются путем привлечения аналитических представле­ ний, которые даются формулой обращения двойного интегрального преобразования.

Наряду с „точным” рассматривается более простое приближенное описание динамики трещин. Построены графики функций, входящих

вточные и приближенные решения.

Сростом скорости трещины при фиксированном коэффициенте интенсивности напряжений поток энергии в ее край неограниченно увеличивается. В результате должен увеличиться и отток энергии. Роль этого фактора обсуждается в связи с известным эксперименталь­ ным результатом - более низким уровнем предельной скорости тре­ щины по сравнению с определяемым теорией упругости, т. е. по срав­ нению со скоростью волн Рэлея.

Рассматривается стационарная динамическая задача о распростра­ нении трещины в упругопластическом теле. Основная особенность ре­ шения антиплоской задачи - снижение концентрации деформаций по сравнению с квазистатикой. В плоской динамической задаче деформа­ ции оказываются ограниченными и малыми при достаточно большой скорости трещины. В этом случае полностью оправдывается примене­ ние геометрически линейных соотношений.

Чтение книги почти нигде не требует обращения к другим источ­ никам. Сообщаемые в ней формулы и другие результаты, как правило, выводятся. Исключением являются лишь некоторые общеизвестные соотношения, например формулы Колосова-Мусхелишвили, которые приводятся без вывода. В первых параграфах каждой из четырех глав сообщаются необходимые для дальнейшего сведения из соответствую­ щей теории сплошной среды. Предполагается, однако, что читатель

знаком с основами теории функций комплексной переменной, с интегральными преобразованиями, а также с обобщенными функция­ ми и их аналитическими представлениями.

По различным аспектам механики трещин имеется довольно много книг (часть из них указана в списке литературы). Данная книга, одна­ ко, отличается от ранее опубликованных известных автору книг не только изложением, но и содержанием.

Читатель, интересующийся библиографией по каким-либо вопро­ сам механики трещин, должен обратиться к другим источникам, так как по ссылкам, сделанным в данной книге, нельзя составить пред­ ставление о громадной журнальной литературе. К тому же ссылки не всегда даются на первоисточники.

В книге принята нумерация формул по параграфам. При ссылке на формулу другой главы дополнительно указывается номер этой гла­ вы. Например, если упоминается формула (3.2.1), то это означает ссылку на формулу (2.1) третьей главы.

Существенные замечания по первоначальному тексту книги сдблал ее научный редактор В. В. Новожилов. Рукопись читали также Е. И. Григорьева, . А. М. Михайлов (гл. 1), В. А. Сарайкин (гл. 4), К. Ф. Черных (гл. 2), Е. И. Григорьева и В. А. Сарайкин провели, кроме того, расчеты к иллюстрациям. Автор выражает всем им искреннюю признательность.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО СЛЕДСТВИЯ

Развитие разрушения - разрыв межатомных связей - проявляется на макроуровне, т. е. в теории сплошной среды, в изменении жестко­ сти тела, что влечет за собой выделение энергии. Критерий Гриф­ фитса - критерий распространения трещины - состоит в том, что если этой энергии достаточно для образования новой поверхности, точнее, если выделяющаяся энергия не меньше поверхностной, то будет развиваться трещина. То же заключение можно сделать и относительно повреждений, распределенных по объему тела. Локализация - образо­ вание магистральной трещины - может происходить после длитель­ ного накопления повреждений или сразу же после достижения напря­ жениями критического уровня, почти одновременно с возникнове­ нием повреждений, распределенных по объему. Но независимо от типа

иуровня объемных повреждений выделяющаяся из упругого тела энергия пропорциональна напряжениям и, следовательно, отвечающий им критерий состоит в нормировании напряжений.

В§ 1.1 формулируется и обсуждается указанный энергетический критерий. В следующем параграфе на простейших моделях упругих тел (в „балочном приближении”) продемонстрировано применение этого критерия. Учет обеих возможностей - распространения трещины

иразрушения по классическому критерию (по уровню напряжений) - позволяет, как показано в § 1.2, описать сильный масштабный эффект, в частности изменение типа разрушения при увеличении размера.

В§ 1.3 рассматриваются различные способы вычисления энергии, высвобождающейся из упругого тела при росте трещины.

§1.1. Общие энергетические соотношения и критерии разрушения

Рассмотрим упругое тело, на которое действуют обобщенные силы Рк. Как известно, при фиксированных силах полная энергия

в положении устойчивого равновесия (локально) минимальна (У - по­ тенциальная энергия деформации, ик- обобщенные перемещения). Этот минимум достигается на возможных вариациях перемещений, не приводящих к изменению жесткости тела. Последнее ограничение

существенно. Если его снять, то минимум А окажется недостижимым. Действительно, пусть данное состояние равновесное. Нанесем телу некоторое (малое) повреждение, которое уменьшит его сопротивление деформации в каком-либо месте, например надрежем его. При этом рассматриваемое состояние уже не будет равновесным. Тогда при переходе к новому положению равновесия полная энергия уменьшится:

сил на дополнительных перемещениях оказывается больше увеличе­ ния потенциальной энергии деформации.

Для частного случая - разреза в линейно-упругом теле - этот факт можно проиллюстрировать диаграммой Р - и (рис. 1.1). Вначале тело нагружается по „пути” ОА, затем проводится некоторый разрез, умень­ шающий жесткость тела (нагружению тела с разрезом соответствует „путь” ОВ). При этом обобщенное перемещение увеличивается на дли­ ну отрезка АВ, а работа силы Р (численно равная площади фигуры 0ABD) превышает накопленную потенциальную энергию (площадь 0BD) ровно на столько же, на сколько увеличилась потенциальная энергия в результате надреза (площадь треугольника ОАВ, равная разности площадей 0BD и ОАС).

Рассмотрим пример. Пусть упругая полоса растянута в поперечном направлении и так закреплена. Будем ее медленно разрезать в про­ дольном направлении. Тогда вследствие разгрузки энергия, запасен­ ная при растяжении полосы, будет высвобождаться.

Итак, при повреждении энергия выделяется. Почему же тогда твердое тело не разрушается самопроизвольно и чем обусловлена его прочность? Ответ на этот вопрос очевиден: повреждения сами по себе, без затрат энергии, не возникают. Ясно, что если выделяющаяся при данном возможном повреждении энергия меньше требуемой - погло­ щаемой при том же повреждении, то такое повреждение без воздей­ ствия извне (без применения „режущего инструмента” ) произойти не может. При обратном неравенстве разрушение будет происходить динамически, равенству соответствует квазистатическое, сколь угодно

медленное разрушение, в процессе которого непрерывно поддержи­ вается состояние равновесия.

Предположим, что существуют несколько типов повреждений, часть из которых распределена по объему (поры, рассеяннее микротрещины), - затраты энергии пропорциональны объему, охваченному данным типом повреждения, а часть - по поверх­ ности (поверхности скольжения,